付義勝

（河南理工大學(xué)能源科學(xué)與工程學(xué)院， 河南焦作市 454010）

五種常規(guī)三軸強(qiáng)度準(zhǔn)則的比較＊

付義勝

（河南理工大學(xué)能源科學(xué)與工程學(xué)院， 河南焦作市 454010）

基于6種巖石的試驗(yàn)數(shù)據(jù)對5種常規(guī)三軸強(qiáng)度準(zhǔn)則進(jìn)行擬合。以擬合偏差絕對值之和最小為目標(biāo)確定強(qiáng)度準(zhǔn)則中待定參數(shù)，進(jìn)而比較擬合偏差以及單軸抗壓強(qiáng)度σC和抗拉強(qiáng)度T的預(yù)測值與試驗(yàn)值差異。研究發(fā)現(xiàn)：含有3個(gè)參數(shù)的廣義Hoek－Brown準(zhǔn)則、指數(shù)強(qiáng)度準(zhǔn)則和ROCKER準(zhǔn)則預(yù)測的單軸抗壓強(qiáng)度與試驗(yàn)值基本一致；ROCKER

準(zhǔn)則預(yù)測的單軸抗拉強(qiáng)度與試驗(yàn)值較接近；廣義Hoek－Brown準(zhǔn)則具有較小的擬合偏差，抗拉強(qiáng)度對強(qiáng)度準(zhǔn)則的擬合結(jié)果沒有明顯影響。

常規(guī)三軸強(qiáng)度準(zhǔn)則；Mohr－Coulomb強(qiáng)度準(zhǔn)則；Hoek－Brown準(zhǔn)則；指數(shù)強(qiáng)度準(zhǔn)則；ROCKER準(zhǔn)則

巖石常規(guī)三軸強(qiáng)度準(zhǔn)則一般寫為：

式中，σ1，σ3分別為最大和最小主應(yīng)力，以壓應(yīng)力為正。尤明慶［1－2］、石祥超等［3］比較了幾種強(qiáng)度準(zhǔn)則的擬合精度，但并未考慮強(qiáng)度準(zhǔn)則對抗拉強(qiáng)度的預(yù)測能力。Ghazvinian等［4］研究了有無抗拉強(qiáng)度數(shù)據(jù)對強(qiáng)度準(zhǔn)則預(yù)測單軸抗壓強(qiáng)度的影響，但巖石材料與強(qiáng)度準(zhǔn)則的選用都比較單一。Carter等［5］研究巖石強(qiáng)度準(zhǔn)則時(shí)強(qiáng)制擬合曲線通過抗拉強(qiáng)度數(shù)據(jù)點(diǎn)，導(dǎo)致其擬合曲線明顯偏離多數(shù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)。本文基于6種巖石的試驗(yàn)數(shù)據(jù)對5種常規(guī)三軸強(qiáng)度準(zhǔn)則進(jìn)行擬合，以擬合偏差絕對值之和最小為目標(biāo)確定強(qiáng)度準(zhǔn)則中待定參數(shù)，比較平均擬合偏差mf以及強(qiáng)度準(zhǔn)則所預(yù)測的巖石單軸抗壓強(qiáng)度和單軸抗拉強(qiáng)度與試驗(yàn)值的關(guān)系。

1 巖石的幾種常規(guī)三軸強(qiáng)度準(zhǔn)則

1.1 Mohr－Coulomb強(qiáng)度準(zhǔn)則

Mohr－Coulomb強(qiáng)度準(zhǔn)則（簡稱M－C準(zhǔn)則）是巖體力學(xué)中經(jīng)典強(qiáng)度理論：

式中，τ為剪切力，σn為破壞面上正應(yīng)力；c和φ分別是巖石材料的粘聚力和內(nèi)摩擦角。

M－C準(zhǔn)則還可以寫為主應(yīng)力的形式：

式中，m為相關(guān)參數(shù)；σC為巖石試樣的單軸抗壓強(qiáng)度。m和σC可用粘聚力和內(nèi)摩擦角表示：

單軸抗拉強(qiáng)度T和擬合曲線在σ3＝0的斜率K0分別由下式計(jì)算得出［2］：

Mohr－Coulomb強(qiáng)度準(zhǔn)則形式簡潔具體，具有明確的物理背景，廣泛應(yīng)用于巖體工程的設(shè)計(jì)和地質(zhì)構(gòu)造方面的分析［6］。

1.2 H－B準(zhǔn)則及GH－B準(zhǔn)則

Hoek－Brown強(qiáng)度準(zhǔn)則（簡稱H－B準(zhǔn)則）［7］：

式中，σ1，σ3分別為巖體破壞時(shí)的最大和最小主應(yīng)力；m、s為相關(guān)參數(shù)。完整巖塊，取s＝1。

單軸抗拉強(qiáng)度T和K0分別由下式得出［2］：

后修正為［8］：

式（8）又稱為廣義Hoek－Brown強(qiáng)度準(zhǔn)則（簡稱GH－B）。完整巖塊，取s＝1，式（8）可化簡為：

單軸抗拉強(qiáng)度T和K0為［2］：

1.3 指數(shù)強(qiáng)度準(zhǔn)則

M.You［9］構(gòu)造出含有3個(gè)巖石材料參數(shù)的指數(shù)強(qiáng)度準(zhǔn)則（簡稱EXP準(zhǔn)則）：

式中，Q∞為極限主應(yīng)力差；σC為巖石試樣的單軸抗壓強(qiáng)度；m為相關(guān)參數(shù)。

將σ1＝0，σ3＝－T代入上式可求得抗拉強(qiáng)度，而K0可由下式得出［2］：

1.4 ROCKER強(qiáng)度準(zhǔn)則

ROCKER強(qiáng)度準(zhǔn)則（簡稱Rock準(zhǔn)則）是由B.J.Carter等［5］提出的，其表達(dá)式為：

式中，T為巖石的單軸抗拉強(qiáng)度，為正值；σC為巖石的單軸抗壓強(qiáng)度；指數(shù)m取值范圍為0.3～1。

K0可由下式得出：

2 試驗(yàn)數(shù)據(jù)及擬合方式

用于評價(jià)強(qiáng)度準(zhǔn)則的巖石的試驗(yàn)數(shù)據(jù)從文獻(xiàn)中引用。Tyndall石灰?guī)r（TL）和Lac du Bonnet花崗巖（LG）的試驗(yàn)數(shù)據(jù)引自于文獻(xiàn)［5］；Mesaverde第3組頁巖垂直層理（S⊥）和平行層理（S∥）、第5組砂巖垂直層理（SS⊥）和平行層理（SS∥）的試驗(yàn)數(shù)據(jù)引自文獻(xiàn)［10］。同一圍壓下有兩組試驗(yàn)數(shù)據(jù)時(shí)擬合中取平均值。巖石試驗(yàn)數(shù)據(jù)的特征見表1。由于巖石的巴西劈裂強(qiáng)度與單軸拉伸強(qiáng)度都有較大離散性，兩者平均值大致相當(dāng)［11］，故下面不做區(qū)分。

本文采用偏差絕對值之和達(dá)到最小而不是常用的最小二乘法來確定擬合參數(shù)，擬合曲線能靠近大量的正常試驗(yàn)點(diǎn)，并使異常點(diǎn)具有較大的偏差［1－2］。

表1 巖石試驗(yàn)數(shù)據(jù)的特征

3 強(qiáng)度準(zhǔn)則的比較與分析

3.1 Tyndall石灰?guī)r

含3個(gè)參數(shù)的GH－B準(zhǔn)則、EXP準(zhǔn)則和ROCK準(zhǔn)則對Tyndall石灰?guī)r單軸抗壓強(qiáng)度的預(yù)測值與試驗(yàn)值均為52MPa，但含2個(gè)參數(shù)的M－C準(zhǔn)則和HB準(zhǔn)則的預(yù)測結(jié)果分別比試驗(yàn)值偏高近40.4%和14.4%（見表2）。ROCK準(zhǔn)則對單軸抗拉強(qiáng)度的預(yù)測值為3.5MPa，接近于試驗(yàn)值3.8MPa，其他4種強(qiáng)度準(zhǔn)則的預(yù)測結(jié)果與試驗(yàn)值互有高低，差異較大。有抗拉強(qiáng)度和無抗拉強(qiáng)度數(shù)據(jù)參與擬合對強(qiáng)度準(zhǔn)則預(yù)測單軸抗壓強(qiáng)度和抗壓強(qiáng)度的影響很小。M－C準(zhǔn)則的平均擬合偏差mf最大，GH－B準(zhǔn)則的相對最小。

表2 Tyndall石灰?guī)r的擬合結(jié)果

圖1為Tyndall石灰?guī)r無抗拉強(qiáng)度數(shù)據(jù)的強(qiáng)度準(zhǔn)則擬合曲線，因有抗拉強(qiáng)度數(shù)據(jù)的擬合曲線與其差別不大，故下面均不再給出。直線型的M－C準(zhǔn)則在低圍壓區(qū)域內(nèi)，擬合曲線偏離單軸抗壓強(qiáng)度和抗拉強(qiáng)度的試驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)。GH－B準(zhǔn)則的K0值相對最大，其對單軸抗拉強(qiáng)度的預(yù)測值比試驗(yàn)值顯著偏低。ROCK準(zhǔn)則的擬合曲線通過大多數(shù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)，擬合效果較理想。

圖1 Tyndall石灰?guī)r的強(qiáng)度準(zhǔn)則擬合曲線

3.2 Lac du Bonnet花崗巖

M－C準(zhǔn)則對Lac du Bonnet花崗巖單軸抗壓強(qiáng)度的預(yù)測值比試驗(yàn)值偏高近17.8%，其他4種強(qiáng)度準(zhǔn)則的預(yù)測值與試驗(yàn)值226MPa基本一致（見表3）。EXP準(zhǔn)則對單軸抗拉強(qiáng)度的預(yù)測值為11.8 MPa，較接近試驗(yàn)值13.0MPa，M－C準(zhǔn)則的預(yù)測結(jié)果是試驗(yàn)值的近2倍，其他3種準(zhǔn)則的預(yù)測值僅是試驗(yàn)值的一半甚至更低。M－C準(zhǔn)則的平均擬合偏差mf依然最大，GH－B準(zhǔn)則和ROCK準(zhǔn)則的相近。有抗拉強(qiáng)度和無抗拉強(qiáng)度數(shù)據(jù)參與擬合對擬合的結(jié)果影響很小，甚至沒有影響，如M－C準(zhǔn)則和H－B準(zhǔn)則。

表3 Lac du Bonnet花崗巖的擬合結(jié)果

從圖2中可看出，M－C準(zhǔn)則的擬合曲線依然偏離單軸抗壓強(qiáng)度和抗拉強(qiáng)度的數(shù)據(jù)點(diǎn)。H－B準(zhǔn)則、GH－B準(zhǔn)則和ROCK準(zhǔn)則的K0值接近，其擬合曲線基本重合。EXP準(zhǔn)則的擬合曲線較接近抗拉強(qiáng)度數(shù)據(jù)點(diǎn)，也大致通過其他試驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)，整體擬合效果較好。

圖2 Lac du Bonnet花崗巖的強(qiáng)度準(zhǔn)則擬合曲線

3.3 Mesaverde頁巖

Mesaverde頁巖有抗拉強(qiáng)度和無抗拉強(qiáng)度數(shù)據(jù)對擬合結(jié)果影響很小，這與以上Tyndall石灰?guī)r和Lac du Bonnet花崗巖的情形類似，故下面不再給出有抗拉強(qiáng)度數(shù)據(jù)的擬合結(jié)果。

GH－B準(zhǔn)則、EXP準(zhǔn)則和Rock準(zhǔn)則對Mesaverde頁巖單軸抗壓強(qiáng)度的預(yù)測值與試驗(yàn)值基本一致。H－B準(zhǔn)則對S⊥單軸抗壓強(qiáng)度的預(yù)測值與試驗(yàn)值一致，其對S∥的預(yù)測值比試驗(yàn)值偏高5.9%。這5種強(qiáng)度準(zhǔn)則對S⊥單軸抗拉強(qiáng)度的預(yù)測值與試驗(yàn)值差異較大，ROCK準(zhǔn)則的平均擬合偏差最小（見表4、表5）。GH－B準(zhǔn)則對S∥單軸抗拉強(qiáng)度的預(yù)測結(jié)果為17.6MPa，接近于試驗(yàn)值18.6MPa，其平均擬合偏差mf最小。

表4 Mesaverde頁巖垂直層理的擬合結(jié)果

表5 Mesaverde頁巖平行層理的擬合結(jié)果

5種強(qiáng)度準(zhǔn)則的擬合曲線均偏離抗拉強(qiáng)度的數(shù)據(jù)點(diǎn)（見圖3、圖4）。ROCK準(zhǔn)則的擬合曲線通過S⊥大多數(shù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)，而GH－B準(zhǔn)則擬合曲線通過S∥大多數(shù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)。

圖3 砂巖垂直層理的強(qiáng)度準(zhǔn)則擬合曲線

圖4 砂巖平行層理的強(qiáng)度準(zhǔn)則擬合曲線

3.4 Mesaverde砂巖

EXP準(zhǔn)則對Mesaverde砂巖垂直層理和平行層里的試驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合時(shí)，預(yù)測的單軸抗壓強(qiáng)度分別是150.6MPa和174.6MPa，比試驗(yàn)值82.0MPa和99.0MPa分別偏高83.7%和76.4%；預(yù)測的單軸抗拉強(qiáng)度分別為28.66MPa和18.47MPa，是試驗(yàn)值10.01MPa和13.55MPa的近3倍，這顯然是不合理的。

基于SS⊥和SS∥的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，直接設(shè)定EXP準(zhǔn)則單軸抗壓強(qiáng)度的預(yù)測值為試驗(yàn)值，對其分別又進(jìn)行一次擬合，擬合結(jié)果見表6和表7中＊EXP所示。此時(shí)，EXP準(zhǔn)則的平均擬合偏差稍有增加，其預(yù)測的單軸抗拉強(qiáng)度分別為12.68，18.47MPa，雖比試驗(yàn)值偏高，但相對于另外4種強(qiáng)度準(zhǔn)則更接近真實(shí)值。

如圖5，設(shè)定SS⊥的單軸抗壓強(qiáng)度為試驗(yàn)值后，＊EXP的擬合曲線在拉應(yīng)力區(qū)域更接近抗拉強(qiáng)度的試驗(yàn)值數(shù)據(jù)點(diǎn)，但又明顯偏離圍壓為30MPa附近的試驗(yàn)值點(diǎn)，SS∥的EXP和＊EXP擬合曲線圖與此相似，不再給出。試驗(yàn)過程中對SS⊥和SS∥加載的圍壓分別高達(dá)300MPa和400MPa，分別是單軸抗壓強(qiáng)度試驗(yàn)值的近3.6倍和4倍，可能由于端部摩擦或其他原因，使得文獻(xiàn)［10］中圍壓為30 MPa附近的試驗(yàn)值與真實(shí)情況不相符。尤明慶［1－2］也指出，指數(shù)強(qiáng)度準(zhǔn)則可以凸顯異常數(shù)據(jù)點(diǎn)。另外4種強(qiáng)度準(zhǔn)則的擬合結(jié)果及相關(guān)參數(shù)值見表6和表7，其具體的擬合曲線圖不再給出。

圖5 Mesaverde砂巖垂直層理的EXP和＊EXP擬合曲線

表6 Mesaverde砂巖垂直層理的擬合結(jié)果

表7 Mesaverde砂巖平行層理的擬合結(jié)果

H－B準(zhǔn)則、GH－B準(zhǔn)則和ROCK準(zhǔn)則對SS⊥和SS∥單軸抗壓強(qiáng)度的預(yù)測值與試驗(yàn)值基本一致，但其對單軸抗拉強(qiáng)度的預(yù)測值僅是試驗(yàn)值的近一半甚至更低。GH－B準(zhǔn)則的平均擬合偏差mf相對較小。

4 討 論

直線型的M－C準(zhǔn)則雖具有明確的物理背景，但不能預(yù)測巖石的單軸抗壓強(qiáng)度；H－B準(zhǔn)則對單軸抗壓強(qiáng)度的預(yù)測略有偏差；而含有3個(gè)參數(shù)的強(qiáng)度準(zhǔn)則都能預(yù)測單軸抗壓強(qiáng)度值。

圖7給出6種巖石的抗拉強(qiáng)度的綜合偏差β和綜合擬合偏差γ：

指數(shù)強(qiáng)度準(zhǔn)則對SS⊥和SS∥試驗(yàn)數(shù)據(jù)的擬合結(jié)果選取＊EXP。

由圖6可以看出，直線型的M－C準(zhǔn)則對抗拉強(qiáng)度的預(yù)測以及擬合偏差都最大。ROCK準(zhǔn)則對抗拉強(qiáng)度的預(yù)測值與試驗(yàn)值最接近，其次是GH－B準(zhǔn)則。EXP準(zhǔn)則對抗拉強(qiáng)度的預(yù)測不如含2個(gè)參數(shù)的H－B準(zhǔn)則，這是由于其擬合曲線在拉應(yīng)力區(qū)近乎直線。GH－B準(zhǔn)則的平均擬合誤差mf最低，ROCK準(zhǔn)則的與其相近，但略偏高。SS⊥和SS∥在圍壓為30MPa左右的試驗(yàn)數(shù)據(jù)可能與真實(shí)情況有差異，使得EXP準(zhǔn)則的擬合偏差明顯偏高。

圖6 5種強(qiáng)度準(zhǔn)則的綜合比較

抗拉強(qiáng)度遠(yuǎn)小于抗壓強(qiáng)度，不會對強(qiáng)度準(zhǔn)則的擬合結(jié)果產(chǎn)生明顯影響。而將抗拉強(qiáng)度看作是強(qiáng)度準(zhǔn)則擬合曲線的一個(gè)定點(diǎn)，如文獻(xiàn)［5］中強(qiáng)制擬合曲線通過點(diǎn)（－T，3T），可能降低強(qiáng)度準(zhǔn)則預(yù)測抗壓強(qiáng)度的準(zhǔn)確性和可行性?？偟膩碚f，用一個(gè)強(qiáng)度準(zhǔn)則描述所有巖石的強(qiáng)度特性是很難的，甚至是不可能的。

5 結(jié) 論

（1）含有3個(gè)參數(shù)的GH－B準(zhǔn)則、EXP準(zhǔn)則和ROCK準(zhǔn)則預(yù)測的單軸抗壓強(qiáng)度與試驗(yàn)值基本一致；ROCK準(zhǔn)則預(yù)測的抗拉強(qiáng)度與試驗(yàn)值較接近；GH－B準(zhǔn)則具有較小的擬合偏差。

（2）抗拉強(qiáng)度對強(qiáng)度準(zhǔn)則的擬合結(jié)果沒有明顯影響。

［1］尤明慶.巖石強(qiáng)度準(zhǔn)則的數(shù)學(xué)形式和參數(shù)確定的研究［J］.巖石力學(xué)與工程學(xué)報(bào)，2010，29（11）：2172－2183.

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國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（10572047）.

2012－01－28）

付義勝（1984－），男，河南商城人，碩士研究生，從事巖石力學(xué)方面的研究工作，Email：fuyisheng1984＠163.com。