胡 巖，關(guān) 朕，吳 偉

(沈陽(yáng)工業(yè)大學(xué)，遼寧沈陽(yáng)110023)

0 引 言

目前，異步起動(dòng)永磁同步電動(dòng)機(jī)作為一種高效節(jié)能的動(dòng)力設(shè)備被廣泛用于紡織化纖、陶瓷玻璃工業(yè)、風(fēng)機(jī)等眾多領(lǐng)域。眾所周知，對(duì)起動(dòng)性能所涉及參數(shù)的精確計(jì)算始終是異步起動(dòng)永磁同步電動(dòng)機(jī)研究的重要課題［1］，在眾多參數(shù)中，轉(zhuǎn)子漏抗是其中重要的一個(gè)，它直接影響電動(dòng)機(jī)起動(dòng)性能的優(yōu)劣，而其中主要部分又是槽漏抗，它在轉(zhuǎn)子漏抗中所占比重很大，所以準(zhǔn)確求算轉(zhuǎn)子槽漏抗是電動(dòng)機(jī)性能計(jì)算的基礎(chǔ)［2，3］。

傳統(tǒng)磁路法計(jì)算轉(zhuǎn)子槽漏抗時(shí)通常忽略了鐵心磁阻，并假設(shè)電流在槽內(nèi)均勻分布，且漏磁磁力線(xiàn)平行于槽底。顯而易見(jiàn)，這僅是一種粗略的近似計(jì)算，準(zhǔn)確度不高，而對(duì)于工程中一些對(duì)準(zhǔn)確度要求高、需要對(duì)電動(dòng)機(jī)瞬態(tài)變化有較好模擬的場(chǎng)合不能勝任。目前，采用有限元電磁場(chǎng)分析法可以對(duì)轉(zhuǎn)子繞組中磁場(chǎng)分布、集膚效應(yīng)、磁路飽和程度等進(jìn)行準(zhǔn)確模擬，計(jì)算結(jié)果準(zhǔn)確度較高，但其計(jì)算量較大、計(jì)算時(shí)間較長(zhǎng)是其一大缺點(diǎn)。有人提出采取分層原理，先將槽分成塊再在每塊中分層，逐層計(jì)算每層的電流、磁鏈，盡量模擬電流變化趨勢(shì)，通過(guò)計(jì)算證實(shí)分層方法與傳統(tǒng)磁路計(jì)算法相比，其精度有所提高，且與有限元結(jié)果較為符合，用時(shí)還較少［4-8］。但前人的這種方法是建立在每層電流均勻分布的假設(shè)上，所求結(jié)果的精確度并不算高，而且若層分得過(guò)多，計(jì)算量相應(yīng)地也會(huì)變大。為此本文在前人分析基礎(chǔ)上做些改進(jìn):在求得的每層實(shí)際尺寸上考慮集膚效應(yīng)，推導(dǎo)出此時(shí)每層的等效尺寸，再利用這些尺寸求出槽漏抗。此方法不僅使之達(dá)到較高精度且計(jì)算量小，而且可對(duì)不同槽型編寫(xiě)通用程序進(jìn)行快速高效地求解。將該種方法與磁路法相結(jié)合來(lái)計(jì)算電動(dòng)機(jī)參數(shù)，會(huì)對(duì)電動(dòng)機(jī)起動(dòng)性能的準(zhǔn)確計(jì)算帶來(lái)幫助。

1 異步起動(dòng)永磁同步電動(dòng)機(jī)的結(jié)構(gòu)

本文所設(shè)計(jì)電動(dòng)機(jī)的主要參數(shù)如表1所示，電機(jī)截面結(jié)構(gòu)如圖1所示。

表1 11 kW、4極異步起動(dòng)永磁同步電動(dòng)機(jī)技術(shù)參數(shù)表

圖1 11 kW、4極異步起動(dòng)永磁同步電動(dòng)機(jī)截面圖

2 利用分層改進(jìn)法對(duì)槽漏抗計(jì)算

起動(dòng)轉(zhuǎn)矩是電動(dòng)機(jī)重要的性能指標(biāo)，為了能準(zhǔn)確計(jì)算起動(dòng)轉(zhuǎn)矩，需要對(duì)電動(dòng)機(jī)參數(shù)尤其是槽漏抗做精準(zhǔn)的計(jì)算。為此，本節(jié)將采用分層改進(jìn)法對(duì)轉(zhuǎn)子槽漏抗進(jìn)行計(jì)算，使計(jì)算精度得到提高。

分層改進(jìn)法對(duì)于半閉口、閉口的各種形狀的槽均適用。在工程中常見(jiàn)的槽形基本上都是由半圓形(或準(zhǔn)半圓)、梯形(矩形為其特例)組成。如圖2所示的半閉口梨形槽囊括了這幾部分，所以本文將先通過(guò)此槽形來(lái)介紹分層改進(jìn)法，并推導(dǎo)出相應(yīng)各部分尺寸公式以及槽漏抗的通用計(jì)算公式。而對(duì)于其它形狀的槽形，可由這幾部分拼接而成，例如本文所設(shè)計(jì)的電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子槽為開(kāi)口矩形槽，可看成是半閉口梨形槽槽口矩形與中部的梯形組成。

與傳統(tǒng)分層法相同，在槽分塊完畢后，緊接著對(duì)每塊分層?？紤]到電動(dòng)機(jī)起動(dòng)時(shí)集膚效應(yīng)使電流呈現(xiàn)上密下疏的分布特點(diǎn)，可將半閉口梨形槽槽口及上半圓面積分的層數(shù)多些，中部梯形次之，下半圓疏些。在每塊內(nèi)，原來(lái)不規(guī)則的每一小層近似成一個(gè)矩形，每一矩形層則被視為一個(gè)微型導(dǎo)條，而整個(gè)槽內(nèi)導(dǎo)條看成是由這些微型導(dǎo)條并聯(lián)構(gòu)成的，當(dāng)層分得較小時(shí)，近似效果較好。半閉口梨形槽分塊、分層示意圖如圖2所示。

各層電壓關(guān)系可以用矩陣形式表示如下:

圖2 半閉口梨形槽分層示意圖

式中:μ、R、l2、λ分別為每層的磁導(dǎo)率、電阻、導(dǎo)體長(zhǎng)度、比漏磁導(dǎo);U·、Z、I·分別為層端電壓矩陣、阻抗矩陣、電流矩陣。

由式(1)可以看出，每層漏抗的求解與層電流和比漏磁導(dǎo)有關(guān)，而且每層阻抗實(shí)部在電流作用下產(chǎn)生轉(zhuǎn)子銅耗，虛部在電流作用下產(chǎn)生的是某一時(shí)刻的層漏磁能，而槽總漏磁能為每層漏磁能之和。所以如果能求出總漏磁能與層電流便可以求出槽漏抗。按照上述分析可以按以下步驟來(lái)求槽漏抗:

2.1 每層導(dǎo)體幾何尺寸的確定

如圖2所示的半閉口梨形槽，槽口為矩形，層數(shù)設(shè)為n0;槽面上、下兩部分均為半圓形，其層數(shù)分別設(shè)為n1、n2;中部為梯形，層數(shù)設(shè)為n3。則槽的總層數(shù)為nsum=n0+n1+n2+n3。

關(guān)于每層導(dǎo)體的尺寸計(jì)算:槽口矩形計(jì)算比較簡(jiǎn)單，每層寬等于槽口寬，每層高等于槽口高的而半圓形相對(duì)較為復(fù)雜，以圖2槽上部半圓為例，設(shè)陰影層為第k層，該層高為，層寬可利用三角形原理求得為，利用同樣方法可以求出中部梯形與下部半圓的每層尺寸。經(jīng)過(guò)整理歸納，槽內(nèi)每層尺寸如下:

對(duì)于本文所設(shè)計(jì)的電動(dòng)機(jī)，僅需要槽口處的尺寸公式與式(2)中的第三組公式。

考慮集膚效應(yīng)時(shí)的導(dǎo)條層相對(duì)高度［9］:

式中:hB、bB分別為由式(2)求得的每層導(dǎo)體的實(shí)際高度與寬度為導(dǎo)條寬與槽寬之比，對(duì)于銅導(dǎo)條，為轉(zhuǎn)子電流頻率;ρB為電阻率。

設(shè)微層導(dǎo)體電阻等效高度為hR、電抗等效高度為hx，其計(jì)算公式［9］:

對(duì)于第i層導(dǎo)體，根據(jù)矩形導(dǎo)體層截面積與其電阻不變?cè)瓌t，該微層導(dǎo)體等效寬度:

于是每層等效后的高與寬可用通式(6)表示:

式中:p、hkp、bkp分別為每部分的號(hào)碼、求漏抗時(shí)的矩形層等效高度和寬度。

2.2 每微層導(dǎo)體漏抗以及槽總漏抗的計(jì)算

由式(1)，計(jì)算每層漏抗需先求出微層導(dǎo)體的比漏磁導(dǎo)λi(1≤i≤n)，其推導(dǎo)過(guò)程如下:

(1)在第i層矩形導(dǎo)條內(nèi)，由本層導(dǎo)條電流產(chǎn)生的漏磁鏈設(shè)為Ψ′zi;第i層矩形導(dǎo)條電流也會(huì)在k(i+1≤k≤n)層產(chǎn)生與其自身相交鏈的漏磁鏈

式中:λLi、λUi分別表示與對(duì)應(yīng)的比漏磁導(dǎo)，它們與每層矩形導(dǎo)體的寬度和長(zhǎng)度有著緊密聯(lián)系，

所以由第i層導(dǎo)體總的自感比漏磁導(dǎo)λii可表示:

(2)求第i層總的互感比漏磁導(dǎo)λik的步驟與(1)類(lèi)似。先求第i層以下的導(dǎo)條層對(duì)第i層產(chǎn)生的互感比漏磁導(dǎo)，再求出第i層以上的第k層(i＜k≤n)對(duì)第i層的互感比漏磁導(dǎo)，最后將這兩者相加即所求。

①設(shè)第i層以下的第k(1≤k＜i)層產(chǎn)生與第i層導(dǎo)條相交鏈的互感漏磁鏈為Ψ(1)hik;在第i層上方的第m層也存在著第k層的磁場(chǎng)分布，其與第i層相交鏈的漏磁鏈設(shè)為Ψ(2)hik，則:

所以，由上式可歸納出第k層(1≤k＜i)對(duì)第i層的互感漏磁導(dǎo):

式中:

②根據(jù)①的求解方法，可直接求出第i層以上的第k層(i＜k≤n)對(duì)第i層的互感比漏磁導(dǎo)。分布于第m層(m≥k+1)的由第k層產(chǎn)生的磁場(chǎng)，對(duì)第i層的互感比漏磁導(dǎo)設(shè)為λ″Uik;第k層內(nèi)部磁鏈對(duì)第i層的互感比漏磁導(dǎo)設(shè)為λ″Lik，則總互感比漏磁導(dǎo):

③第i層總的互感比漏磁導(dǎo)λik:

(3)層電流的求解

由式(9)與式(13)得第i層導(dǎo)體總漏比磁導(dǎo):

于是第i層的阻抗值表示如下:

又由式(1)可以求出第i層、i+1層的端電壓

由于相鄰兩層端電壓相等，聯(lián)立上面兩式求解并化簡(jiǎn)，可得電流通式:

(4)轉(zhuǎn)子槽漏抗的求解

由上面電流通式可以看出，由于每層自感與互感的比漏磁導(dǎo)為定值，電流大小取決于頻率和相鄰的層電流，在頻率一定時(shí)，通過(guò)這一遞推的關(guān)系，每層電流都可以求出。待每層電流(有效值)求得后，總漏磁場(chǎng)能量進(jìn)而由層電流與磁鏈求出:

轉(zhuǎn)子每相槽漏抗需折算到定子側(cè)，所以轉(zhuǎn)子每相槽漏抗:

式中:m1、N1、Kdp1、Q2分別表示電動(dòng)機(jī)相數(shù)、定子每相繞組串聯(lián)導(dǎo)體數(shù)、折算系數(shù)、定子繞組系數(shù)、轉(zhuǎn)子槽數(shù)。

3 轉(zhuǎn)子槽漏抗的有限元仿真計(jì)算

為了驗(yàn)證改進(jìn)后的分層法的準(zhǔn)確性，本文利用有限元法計(jì)算轉(zhuǎn)子槽漏抗，將其結(jié)果作為比照。

有限元法是基于變分原理發(fā)展起來(lái)的，它應(yīng)用于含有拉普拉斯方程和泊松方程的泛函極值問(wèn)題中，在求解過(guò)程中，先將所要求的電磁場(chǎng)域剖分成有限個(gè)單元，再用插值法將單元中離散的網(wǎng)格點(diǎn)函數(shù)值展開(kāi)，各個(gè)點(diǎn)上的場(chǎng)函數(shù)組成了含待定參數(shù)的代數(shù)方程組，對(duì)這些方程進(jìn)行求解得到的就是有限元的數(shù)值解?？梢?jiàn)有限元法計(jì)算結(jié)果準(zhǔn)確度高，但由于計(jì)算量很大會(huì)影響到求解速度。Ansoft Maxwell 12是基于有限元法的電磁場(chǎng)計(jì)算軟件，它不僅具有完善的靜態(tài)電磁場(chǎng)分析功能，而且對(duì)瞬態(tài)電磁場(chǎng)分析計(jì)算也很卓越，具有強(qiáng)大的后處理功能，其計(jì)算精度很高［10］。

所設(shè)計(jì)的電動(dòng)機(jī)激勵(lì)源采用三相對(duì)稱(chēng)的電壓源;電動(dòng)機(jī)外圓邊界和軸的外邊緣設(shè)置狄利克萊邊界條件;考慮到電動(dòng)機(jī)初始位置選取對(duì)起動(dòng)過(guò)程的影響，本文根據(jù)嘗試最終設(shè)初始位置角為仿真的時(shí)步長(zhǎng)設(shè)為0.000 2 s，磁場(chǎng)信息保存時(shí)步長(zhǎng)設(shè)為0.001 s;鼠籠所用材料為紫銅，其電阻率為0.021 7 Ω·mm2/m，鼠籠槽尺寸:h0=0.08 cm;b0=0.1 cm;b1=0.3 cm;b2=0.2 cm;hr2=1.0 cm。

利用有限元求出導(dǎo)條漏磁場(chǎng)能和電流，根據(jù)Xs2可以求出較準(zhǔn)確的轉(zhuǎn)子槽漏抗。圖3、圖4、圖5分別是利用有限元仿真得到的電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子導(dǎo)條電流、磁能、槽漏抗的動(dòng)態(tài)變化曲線(xiàn)。從圖3、圖4看出，在電動(dòng)機(jī)剛起動(dòng)時(shí)，轉(zhuǎn)子導(dǎo)條內(nèi)的電流與磁能很大，隨著電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速逐漸變大并漸入同步，轉(zhuǎn)差率和轉(zhuǎn)子電流頻率逐漸減小，電流與磁能越來(lái)越小。從圖5可以看出，轉(zhuǎn)子槽漏抗隨時(shí)間變化而改變，在電動(dòng)機(jī)剛起動(dòng)時(shí)導(dǎo)條的集膚效應(yīng)比較強(qiáng)烈，轉(zhuǎn)子槽漏抗值約為0.23 Ω，之后變大，最大約為0.72 Ω，隨著電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速加快，轉(zhuǎn)子電流的頻率在減小，槽漏抗整體上呈減小的變化趨勢(shì)，在電動(dòng)機(jī)將要進(jìn)入同步即轉(zhuǎn)子電流頻率較低時(shí)，轉(zhuǎn)子槽漏抗逐漸穩(wěn)定于一個(gè)很小值。

本文根據(jù)前人的分層法和本文所采用的改進(jìn)分層法分別編寫(xiě)了計(jì)算程序，分層改進(jìn)法計(jì)算出的槽漏抗曲線(xiàn)如圖6所示。圖中曲線(xiàn)的變化與圖5相似，但在電動(dòng)機(jī)將遷入同步時(shí)，轉(zhuǎn)速會(huì)達(dá)到一個(gè)最大值，轉(zhuǎn)子電流頻率出現(xiàn)較大的負(fù)值，這將影響到電流與磁能，從而使曲線(xiàn)在150 ms后出現(xiàn)了短暫的負(fù)值。

將這兩個(gè)程序的計(jì)算結(jié)果與有限元仿真結(jié)果進(jìn)行了比較，數(shù)據(jù)如表2所示。轉(zhuǎn)子槽共分50層，e表示與仿真值的誤差。

表2 不同方法求得歸算后的槽漏抗值對(duì)比

從表中數(shù)據(jù)可以看出，改進(jìn)后的分層法較先前的分層法在計(jì)算精度上有所提高，尤其在剛開(kāi)始起動(dòng)時(shí)，先前的方法與仿真值差距較大，改進(jìn)后的值與有限元誤差較小，說(shuō)明了改進(jìn)分層法能對(duì)電動(dòng)機(jī)的集膚效應(yīng)有更好的模擬，使計(jì)算值更加準(zhǔn)確。而在電動(dòng)機(jī)將牽入同步時(shí)，集膚效應(yīng)作用很小，此時(shí)改進(jìn)前后的方法與有限元誤差相近。

4 改進(jìn)分層法的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

將由改進(jìn)分層法得出的電動(dòng)機(jī)起動(dòng)時(shí)的槽漏抗計(jì)算值代入異步起動(dòng)永磁同步電動(dòng)機(jī)的電磁計(jì)算程序，得到空載電壓、額定轉(zhuǎn)矩、起動(dòng)轉(zhuǎn)矩、失步轉(zhuǎn)矩、起動(dòng)電流等電機(jī)性能指標(biāo)的計(jì)算值，分別與有限元仿真值和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比，如表3所示。根據(jù)這些性能指標(biāo)對(duì)比可反映出槽漏抗計(jì)算的準(zhǔn)確與否。

表3 11 kW、4極異步起動(dòng)永磁同步電動(dòng)機(jī)計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)比

從表3數(shù)據(jù)對(duì)比情況可以看出，有限元計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)值誤差很小，說(shuō)明了有限元分析的準(zhǔn)確度很高，這也證明了本文采用有限元結(jié)果作為改進(jìn)分層法的比照依據(jù)是合理和正確的;電磁計(jì)算結(jié)果與有限元結(jié)果及實(shí)驗(yàn)值符合，說(shuō)明采用改進(jìn)后的分層法計(jì)算的槽漏抗值是精確的。數(shù)據(jù)還顯示，電磁計(jì)算值與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差較有限元稍大些，其中主要原因是由程序中一些參數(shù)帶來(lái)的，例如，軛部磁路校正系數(shù)、轉(zhuǎn)子單位端部漏磁系數(shù)等，由于這些參數(shù)多為經(jīng)驗(yàn)值，導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果誤差大些，但這些參數(shù)可以通過(guò)電磁場(chǎng)數(shù)值計(jì)算方法來(lái)修正。

5 結(jié) 語(yǔ)

改進(jìn)分層法是在前人分層法基礎(chǔ)上，對(duì)層導(dǎo)體考慮集膚效應(yīng)，求出每層相應(yīng)的等效尺寸，利用等效尺寸來(lái)計(jì)算轉(zhuǎn)子槽的槽漏抗。這種方法不僅具有傳統(tǒng)解析法計(jì)算快捷的優(yōu)點(diǎn)，它還能較好地模擬轉(zhuǎn)子槽內(nèi)電流分布，更好地處理集膚效應(yīng)的影響，對(duì)各種槽形都適用。本文通過(guò)對(duì)一臺(tái)11 kW的異步起動(dòng)永磁同步電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)子槽漏抗進(jìn)行計(jì)算，并以計(jì)算精度很高的有限元計(jì)算數(shù)據(jù)作為比照，證明本文所采用的方法計(jì)算精度較前人的分層法要高，并且通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證可知，利用改進(jìn)分層法計(jì)算的結(jié)果是合理的、準(zhǔn)確的，滿(mǎn)足技術(shù)計(jì)算要求，適合高精度的工程計(jì)算。

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