王磊磊，劉 文 ，白象忠，吳榴紅

(1.燕山大學(xué) 理學(xué)院，河北 秦皇島 066004；2.燕山大學(xué) 建筑工程與力學(xué)學(xué)院，河北 秦皇島 066004；3.北方民族大學(xué) 信息與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，寧夏 銀川 750021)

電磁炮是利用電磁力加速驅(qū)動(dòng)彈丸，使彈丸達(dá)到超高速的一種發(fā)射裝置。如1978年澳大利亞的馬歇爾利用同級(jí)發(fā)電機(jī)和等離子體電樞成功地將3 g重的彈丸加速到5.9 km/s。某研究所率先建造了國(guó)內(nèi)首臺(tái)電磁軌道發(fā)射試驗(yàn)裝置，把0.34 g的彈丸加速到16.8 km/s的速度。相比之下常規(guī)火炮的發(fā)射速度僅能達(dá)到2 km/s，這一速度已接近物理極限。相反，電磁發(fā)射系統(tǒng)的推力比火藥發(fā)射的推力大10倍，能把彈丸加速到每秒幾公里至幾十公里的高速度，使彈丸具有巨大的動(dòng)能和極強(qiáng)的穿透力，從而大大提高了武器的射程和威力[1]。

文獻(xiàn)[2]分析了軌道的熱效應(yīng)，因此，主要考慮移動(dòng)載荷的電阻特性；文獻(xiàn)[3-4]考慮了電流的趨膚效應(yīng)，把彈丸看作是非線性變化的電阻和線性變化的電感；文獻(xiàn)[5]分析了電磁軌道炮的模型。本文簡(jiǎn)單介紹了電磁炮的基本原理，建立了電磁炮的電路模型，根據(jù)此模型和電動(dòng)力學(xué)原理，采用拉普拉斯變換求出了其二階欠阻尼條件下的電路方程。

1 電磁軌道炮基本原理

電磁炮按其結(jié)構(gòu)不同，可分為軌道炮、線圈炮和重接炮三種。電磁軌道炮主要是由兩條平行連接著大電流源的固定導(dǎo)軌和一個(gè)與導(dǎo)軌保持良好電接觸、能夠沿著導(dǎo)軌軸線方向滑動(dòng)的電樞組成[6-7]。

圖1給出了由電源、導(dǎo)軌、電樞和彈丸組成的電磁軌道炮發(fā)射裝置示意圖。當(dāng)接通電源時(shí)，電流經(jīng)過(guò)導(dǎo)軌、電樞后流回電源，構(gòu)成閉合回路。流經(jīng)導(dǎo)軌，電樞的電流在它們圍成的區(qū)域內(nèi)形成強(qiáng)磁場(chǎng)，該磁場(chǎng)與流經(jīng)電樞的電流相互作用，產(chǎn)生強(qiáng)大的電磁力，該力將推動(dòng)電樞和置于電樞前的彈丸沿著導(dǎo)軌作加速運(yùn)動(dòng)，直至將彈丸發(fā)射出去。

1.1 電樞所受電磁力分析

實(shí)際電磁軌道炮電樞運(yùn)動(dòng)過(guò)程要受到諸多因素的影響，如電樞與導(dǎo)軌內(nèi)壁的摩擦力，空氣阻力等，本文僅考慮電磁力對(duì)電樞的作用。假設(shè)在時(shí)刻t電樞所在的位置為x(t)，此時(shí)整個(gè)系統(tǒng)的電感量為L(zhǎng)(x)，如果此時(shí)軌道中流過(guò)的電流為I(t)，則整個(gè)系統(tǒng)的磁場(chǎng)能量為:

(1)

根據(jù)能量守恒原理，假設(shè)在極短的時(shí)間間隔Δt內(nèi)，電樞受電磁力作用而移動(dòng)了距離Δx，在此非常短的時(shí)間間隔內(nèi)I(t)不隨位置而變化，可以求得電樞所受的電磁力為[8]:

(2)

式中：電磁力F為電樞在軌道上受到的向前驅(qū)動(dòng)力；W為系統(tǒng)儲(chǔ)存的能量，主要為軌道分布電感的磁能；L′為電感增量，反映了單位長(zhǎng)度導(dǎo)軌的電感；x為電樞運(yùn)動(dòng)的位移量。

1.2 電感梯度的分析

單位長(zhǎng)度軌道的電感公式為[9]:

(3)

式中：d、w、h分別為導(dǎo)軌的厚度、間距和高度。

由式(3)可以看出電感梯度的變化與軌道的尺寸有密切的關(guān)系。

2 模型構(gòu)建

電磁軌道炮的等效電路系統(tǒng)如圖2所示，圖中UC(t)為儲(chǔ)能電容器上的電壓；E(t)為電樞反電動(dòng)勢(shì)；R(t)為回路總電阻；L(x)為回路總電感；I(t)為放電回路電流。

根據(jù)基爾霍夫第二定律，可得電磁軌道炮等效電路的回路方程[10]為:

(4)

由電路基本原理可知:

(5)

電磁力還可表示為:

F=B(t)I(t)w

(6)

式中：B(t)為磁感應(yīng)強(qiáng)度；w為軌道間距。

聯(lián)立式(2)和式(6)可得:

(7)

又因?yàn)榉措妱?dòng)勢(shì)可表達(dá)為[11]:

E(t)=vB(t)w

(8)

式中，v為電樞的運(yùn)動(dòng)速度。

聯(lián)立式(5)、式(7)、式(8)可得:

(9)

將式(5)和式(9)代入式(4)整理可得:

(10)

計(jì)算該二階電路的零輸入相應(yīng)。

(11)

(12)

由上式用分部積分法得:

(13)

式中:UC(s)為電壓UC(t)的象函數(shù)，且UC(t)e-st|t→∞=0。于是可得:

(14)

應(yīng)用上式的結(jié)果可得:

(15)

將式(14)和式(15)代入式(11)整理可得:

(16)

對(duì)式(16)求拉普拉斯反變換過(guò)程如下，令:

可知式(16)為真分式。因D(s)是s的二次多項(xiàng)式，故可分解因式如下:

D(s)=(s-J1)(s-J2)

(17)

由于D(s)無(wú)重根，故J1≠J2，式(16)寫(xiě)成部分分式的形式為:

(18)

式中:l1和l2為待定常數(shù)，稱(chēng)為UC(s)在各極點(diǎn)處的留數(shù)。為確定兩極點(diǎn)的留數(shù)，可將式(18)兩邊乘以因子(s-Jk)，k=1,2。這樣式(18)的右邊出現(xiàn)僅留下包含系數(shù)lk的一項(xiàng)，再令s=Jk，代入整理可得式(16)的原函數(shù)為:

(19)

對(duì)于放電回路電流I(t)，由式(5)可得:

(20)

對(duì)于電樞反電動(dòng)勢(shì)E(t)，由式(9)可得:

E(t)=-l1CL′vJ1eJ1t-l2CL′vJ2eJ2t

(21)

因此，由式(19)、(20)和(21)可以對(duì)電磁炮的電路方程進(jìn)行理論計(jì)算。本文通過(guò)對(duì)電感梯度的變換來(lái)分析說(shuō)明儲(chǔ)能電容器上的電壓、放電回路電流和電樞反電動(dòng)勢(shì)之間的關(guān)系。

3 數(shù)值分析

由于電磁軌道炮尺寸的差異，其電感梯度也有所不同。儲(chǔ)能電容器上的電壓，放電回路電流，電樞反電動(dòng)勢(shì)可能會(huì)對(duì)軌道的電路產(chǎn)生影響，因此，有必要對(duì)其作比較分析。本文選取的相關(guān)參數(shù)如下：初始電壓U0=10 kV，電容C=0.06 F，回路電感L=5×10-7H，回路電阻R=10-4Ω，出口速度v=3×103m/s(電磁炮目前努力達(dá)到的出口速度)。

圖3給出了不同電感梯度對(duì)電壓的影響。可以看出隨著時(shí)間的變化，電壓起初波動(dòng)較大，隨著電樞運(yùn)動(dòng)，時(shí)間變長(zhǎng)，電壓逐漸趨向于零。在所給的條件下，當(dāng)L′=0.451 μH/m的電路在t=0.2 ms時(shí)的電壓為U=5 394.930 2 V；而當(dāng)L′=0.754 μH/m的電路在t=0.2 ms時(shí)的電壓為U=6 019.809 4 V，前者比后者電壓減少了11.58%。

圖4給出了電感梯度對(duì)放電回路電流的影響?？梢钥闯鲭S著時(shí)間的變化，電流先是迅速升高，達(dá)到電流峰值后，由于受到回路電阻的影響迅速減小，并逐漸趨向于零。在所給的計(jì)算條件下，當(dāng)L′=0.451 μH/m的電路在t=0.22 ms時(shí)電流峰值達(dá)到I=2.157 5×106A；而當(dāng)L′=0.754 μH/m的電路在t=0.2 ms時(shí)的電流峰值為I=1.720 5×106A，前者比后者時(shí)間增加了10%，電流峰值增加了25.4%。

圖5給出了電感梯度對(duì)電樞反電動(dòng)勢(shì)的影響?？梢钥闯鲭S著時(shí)間的變化，電樞反電動(dòng)勢(shì)先是升高，達(dá)到峰值后開(kāi)始下降，最終趨向于零。在所給的條件下，當(dāng)L′=0.451 μH/m的電路在t=0.22 ms時(shí)電樞反電動(dòng)勢(shì)的峰值為E=1 459.541 1 V；而當(dāng)L′=0.754 μH/m的電路在t=0.2 ms時(shí)電樞反電動(dòng)勢(shì)的峰值達(dá)到E=1 945.886 3 V，前者比后者時(shí)間增加了10%，反電動(dòng)勢(shì)峰值減小了33.32%。

4 結(jié) 論

利用MATLAB軟件分析了不同電感梯度對(duì)儲(chǔ)能電容器上的電壓、放電回路電流和電樞反電動(dòng)勢(shì)的影響，分析結(jié)果表明：電感梯度越大，電壓波動(dòng)越小，電流波動(dòng)也越小，反電動(dòng)勢(shì)則越大。隨著時(shí)間的變化，它們的波動(dòng)頻率先是比較顯著，繼而逐漸趨向于零。這種變化符合電路系統(tǒng)的規(guī)律，有助于對(duì)電磁炮電路的進(jìn)一步研究和實(shí)驗(yàn)。

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