張薇 馮孝輝 鄧忠民

（1北京航空航天大學(xué)宇航學(xué)院，北京100191）（2航天東方紅衛(wèi)星有限公司，北京100094）

1 引言

多衛(wèi)星協(xié)同為空間交會、對接、捕獲、組裝及多方位觀測等在軌服務(wù)提供更強有力的技術(shù)支持，擴展了航天器的功能和技術(shù)性能，小衛(wèi)星編隊的應(yīng)用領(lǐng)域和應(yīng)用模式不斷拓展，在深空探測、科學(xué)試驗、對地觀測和空間控制等領(lǐng)域都將發(fā)揮巨大的作用。

國內(nèi)外已經(jīng)在小衛(wèi)星編隊方面取得了大量的研究成果。早期的研究多針對簡化的主從結(jié)構(gòu)研究編隊的保持問題，主從結(jié)構(gòu)隊形保持，主星不受控制，從星相對主星進行控制[1-3]。主星由于攝動等在空間發(fā)生漂移無法體現(xiàn)，可能造成在隊形一定情況下，編隊已經(jīng)偏離任務(wù)區(qū)域[4]。此外，主星失效勢必造成整個編隊飛行任務(wù)的失敗，因此目前的研究重點多集中于無主星的編隊控制問題。本文針對空間近距離衛(wèi)星編隊在隊形保持基礎(chǔ)上的整體轉(zhuǎn)移機動，推導(dǎo)了J2相對攝動力的表達式，建立了一種基于視線測量的無主星鏈?zhǔn)礁檯f(xié)同控制策略，控制方法利用滑模變結(jié)構(gòu)算法實現(xiàn)，控制模型考慮了模型不確定和噪聲干擾。建立了整體編隊機動的優(yōu)化模型。仿真算例表明，視線測量協(xié)同控制策略能夠?qū)崿F(xiàn)衛(wèi)星編隊構(gòu)形保持和編隊整體轉(zhuǎn)移機動。

2 相對運動分析

參考衛(wèi)星和主動衛(wèi)星做近距離相對運動，即兩航天器之間的相對距離遠小于航天器與地心之間的距離，可以在參考衛(wèi)星坐標(biāo)系中建立相對運動方程[5]

由J2引起的地球重力加速度在慣性坐標(biāo)系里分量為[6]：

由Kepler軌道方程：

參考衛(wèi)星在慣性坐標(biāo)系中的位置坐標(biāo)為

式中Lio為地心軌道坐標(biāo)系到慣性坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)化矩陣[7]。

用 （xyz）T表示主動衛(wèi)星在參考衛(wèi)星軌道坐標(biāo)系中的位置矢量，那么，它在慣性坐標(biāo)系中的分量為

式中Lic為軌道坐標(biāo)系到慣性坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣[8]。它們的相對位置引起的攝動力之差（在慣性坐標(biāo)系中的分量）為

將式（3）轉(zhuǎn)到參考衛(wèi)星軌道坐標(biāo)系中有：

式中Lci是Lic的逆矩陣；fxc，fyc，fzc則為相對位置引起的J2項對衛(wèi)星的相對攝動力。

3 協(xié)同控制器設(shè)計

基于上述相對運動分析，建立無主星編隊。隊形控制采用基于視線測量的循環(huán)協(xié)同控制方法，即編隊每個成員向自己軌道前一成員建立視線測量，如圖1所示。假定N（N≥3）個衛(wèi)星組成的編隊，編隊衛(wèi)星Sm跟蹤自己最臨近的前方編隊衛(wèi)星Sn，S1根據(jù)上級控制層指令追蹤目標(biāo)軌道，產(chǎn)生鏈?zhǔn)骄庩牐敲丛趖時刻，衛(wèi)星Sm視線矢量lm（t），（t）可以定義[1]為

其中有N≥3，n＝m-1，m≥2，ρm（t）和（t）為Sm的位置矢量和速度矢量。

編隊航天器在機動中的誤差可以表示為[8]

式中l(wèi)d（t），d（t）為參考軌道的位置矢量和速度矢量，而控制系統(tǒng)的目標(biāo)就是在一定控制時間使em，趨向于0，實現(xiàn)給定的位置跟蹤。為了便于控制器的設(shè)計，考慮系統(tǒng)不確定性及干擾，式（1）可改寫為

圖1 循環(huán)編隊示意圖Fig.1 Chain formation flight

或

式中x＝[x，y，z，，，]T為系統(tǒng)的狀態(tài)，輸入為擾動項為

式中 ΔA表示模型參數(shù)的不確定性；ΔB表示輸入的干擾和不確定性；d代表任意匹配的攝動。D滿足系統(tǒng)的匹配條件，‖D‖≤δ，2δ認(rèn)為是干擾的界限。

滑?？刂频幕Ｃ嬖O(shè)計[9]為

式中S＝[s1，s2，s3]T；C＝diag（c1，c2，c3），為滑?？刂茀?shù)。

設(shè)計滑模系統(tǒng)的趨近律為

式中K＝diag（k1，k2，k3）是控制增益矩陣，k1，k2，k3為常數(shù)，ki＞ δ，i＝1，2，3。因此系統(tǒng)的輸入可以得到：

符號函數(shù)sgn（S）為

利用李雅普諾夫函數(shù)對控制系統(tǒng)進行穩(wěn)定性分析，系統(tǒng)的函數(shù)可以記為

所以有：

因此，系統(tǒng)是漸進穩(wěn)定的。

為減少系統(tǒng)的抖振，對系統(tǒng)進行如下轉(zhuǎn)化：

其中ε為常數(shù)，因此系統(tǒng)的輸入變?yōu)?/p>

4 優(yōu)化模型

滑模變結(jié)構(gòu)控制的控制效果與控制器的滑模面選取，趨近率和邊界層寬度有很大的關(guān)系。c越大，滑模運動段相應(yīng)越快，系統(tǒng)快速性越好，但過大的c值都將使控制量過大，實際中會引起抖振，設(shè)置整體編隊機動的優(yōu)化模型為

優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)：

式中w1，w2，…，wn為編隊成員衛(wèi)星燃料消耗的加權(quán)項；a1，a2，…，an為編隊成員衛(wèi)星最大位置誤差的加權(quán)項。

機動優(yōu)化的約束條件：

1）優(yōu)化變量的取值約束：

2）機動結(jié)束后的位置約束條件：

式中r為編隊成員衛(wèi)星在軌道坐標(biāo)系下的矢徑；rd為編隊成員衛(wèi)星機動的目標(biāo)矢徑。

5 算例分析

利用精度較高的相對軌道要素法，建立基于參考軌道的無主星三星圓形編隊，編隊參考軌道的軌道要素為：a＝7 300km，e＝0．01，i＝30°，Ω＝0°，ω＝0°，M＝45°。

在仿真中，采用非線性動力學(xué)模型公式（1），考慮攝動影響，J2攝動和隨機白噪聲干擾。使用了上文提供的協(xié)同控制方案以及基于非線性模型的低端滑?？刂破?，編隊衛(wèi)星在參考衛(wèi)星軌道坐標(biāo)系下的初始位置與速度如表1所示。

1）隊形整體機動仿真。在某時刻，假設(shè)S1衛(wèi)星接收地面指令或更高級控制層命令，編隊繞飛中心從參考衛(wèi)星軌道坐標(biāo)系中心改為（1，10，1）km，編隊整體執(zhí)行變軌，最終實現(xiàn)對期望軌道的跟蹤，S2跟蹤S1，S3跟蹤S2，通過視線測量信息，自主地完成隊形控制，控制參數(shù)設(shè)置為ε＝0．001，C＝diag[4×10-5，4×10-5，4×10-5]，K＝diag[7．6×10-5，7．6×10-5，7．6×10-5]，仿真結(jié)果如圖2所示。編隊整體機動過程中的星間距離如圖3所示。

表1 編隊衛(wèi)星初始狀態(tài)Tab.1 Initial status of formation satellites m

圖2 鏈?zhǔn)骄庩犼犘握w機動Fig.2 Chain formation maneuver

圖3 編隊整體機動過程中的星間距離Fig.3 Distance between satellites during formation whole maneuver

2）優(yōu)化機動仿真。趨近率參數(shù)k、邊界層參數(shù)ε與滑模面參數(shù)c的確定，往往受到多個相互制約因素的影響。為了得到較好的系統(tǒng)性能，運用遺傳算法（Genetic Algorithms，GA）來優(yōu)化和確定這些參數(shù)，在相互矛盾的約束條件下，取得最佳的控制效果。基于前面給出的優(yōu)化模型，初始條件采用表1中的衛(wèi)星編隊初始條件，設(shè)計編隊為三星低軌道圓形編隊，優(yōu)化目標(biāo)的權(quán)值取為1、1、1，0、0、0，即優(yōu)化目標(biāo)為編隊機動整體燃料消耗最少，優(yōu)化變量ε，c，k的取值范圍分別為[2×10-5，4×10-3]，[1×10-6，7.6×10-5]，[1×10-3，1×10-4]，利用遺傳算法進行優(yōu)化分析求解，可以得到如下的仿真結(jié)果：圖4給出了整體燃料消耗最少的編隊機動軌跡；圖5給出了遺傳算法尋優(yōu)結(jié)果，平均適應(yīng)度為0.645 39，最佳適應(yīng)度為0.343 7；圖6給出了編隊機動過程中的星間距，可以看出在優(yōu)化機動下編隊整體機動星間相對距離保持在8.5km之上，滿足相關(guān)的工程需求。

表2列出了上文兩種機動方法下的衛(wèi)星燃料消耗，并與參考文獻[9]進行了對比，可以看出，無主星協(xié)同與有主星協(xié)同的燃料消耗基本相當(dāng)，在本文的燃料最優(yōu)的機動目標(biāo)下，編隊整體機動的燃料消耗少了，但機動的誤差有所增加。

表2 編隊機動燃料消耗和誤差Tab.2 Fuel cost and error during formation maneuver

圖4 編隊機動優(yōu)化結(jié)果Fig.4 Formation maneuver optimization

圖6 編隊機動過程中的星間距離Fig.6 Distance between satellites during formation maneuver

6 結(jié)束語

本文提出了一種視線測量鏈?zhǔn)綗o主星衛(wèi)星編隊協(xié)同控制方法，通過隊形保持機動和編隊整體機動控制的仿真分析，可以得出如下結(jié)論：

1）相對主從結(jié)構(gòu)隊形保持，本文提出的視線測量鏈?zhǔn)綗o主星編隊各個衛(wèi)星都受控，能夠保證編隊長時間服務(wù)在任務(wù)區(qū)域；

2）視線測量鏈?zhǔn)綗o主星編隊，有利于編隊各衛(wèi)星自主性的發(fā)揮，能夠更好地滿足空間任務(wù)需要，實現(xiàn)自主、靈活的衛(wèi)星編隊機動。

[1]PINI GURFIL.Cyclic spacecraft formations：relative motion control using line-of-sight measurements only[J].Journal of Guidance，Control and Dynamics，2007，30（1）：214-235.

[2]SCHAUB HANSPETER，VADALI SRINIVAS，JUNKINS JOHN，et al.Spacecraft formation flying control using mean orbit elements[J].Journal of the Astronautical Sciences.2000，48（1）：69-87.

[3]IGOR BEIGILMAN PINI GUR.Graph-theory-based optimal impulsive formation keeping [J].AIAA Guidance，Navigation and Control Conference and Exhibit，Hilton Head，South Carolina，2007.

[4]孟云鶴，賀勇軍，戴金海.衛(wèi)星編隊的多沖量軌道機動路徑規(guī)劃方法 [J].宇航學(xué)報，2005，26（4）：491-495.MENG YUNHE，HE YONGJUN，DAI JINHAI.Path planning for satellite formation′s multi-impulse orbit maneuvers [J].Journal of Astronautics，2005，26 （4）：491-495.

[5]KOJI YAMANAKA，F(xiàn)INN ANKERSEN.A new state transition matrix for relative motion on an arbitrary elliptical orbit[J].Journal of Guidance，Control and Dynamics，2002，25（1）：60-66.

[6]MISHNE DAVID.Formation control of satellites subject to drag variations andJ2perturbations [J].Journal of Guidance，Control and Dynamics，2004，27（4）：685-692.

[7]肖業(yè)倫.航天器飛行動力學(xué)原理 [M].北京：宇航出版社，1995：101-103.XIAO YELUN.Spacecraft flight dynamics theory [M].Beijing：Astronautic Publishing House，1995：101-103.

[8]YEH HSIHAN，NELSON ERIC，SPARKS ANDREW.Nonlinear tracking control for satellite formations[J].Journal of Guidance，Control and Dynamics，2002，25（2）：376-386.

[9]LIU HUI，LI JUNFENG，BAOYIN HEXI.Sliding mode control for low-thrust earth-orbiting spacecraft formation transferring [J].Aerospace Science and Technology，2006，10（7）：636-643.