王啟民，何澤榮，江曉東

(杭州電子科技大學理學院運籌與控制研究所，浙江杭州310018)

0 引言

種群是生態(tài)學研究的重要單元，國內外學者進行了大量研究，積累了豐富的成果。就尺度分布模型而言，連續(xù)模型較多［1-3］，離散模型較少［4］。自從提出種群的離散模型并詳細分析了種群的穩(wěn)定分布后，一些研究者嘗試從離散角度來研究種群的動力學行為［4］。本文應用差分逼近法研究模型非負解的存在性問題，為其應用打好基礎。

1 模型

本文提出下列模型:

式中，a1〈x 〈b2，0 〈t〈T，m=1，2，pm(x，t)，gm(x，t)，βm(x，t)，μm(x，t)，λm(x，t)，ωm(x，t)，φm(x)，Pm(t)分別表示食餌和捕食者種群個體尺度密度，增長率，繁殖率，死亡率，相互作用因子，權重函數(shù)，初始密度，加權總量。

2 先驗估計

引理1 如果 ωm(x，t)，m=1，2，在 Q 上有界，則 Pm(t)在［0，T］上有界。

3 解的存在性

本節(jié)應用差分逼近法證明式1解的存在性。對于 m=1，2給出下列基本假設:(1)βm(x，t)，μm(x，t)，λm(x，t)，ωm(x，t)是關于 x，t的非負連續(xù)可微函數(shù)，(x，t)∈Q，并且為常數(shù)，滿足2g b×[μm(x，t)-λm(x，t)Pm(t)]≥0;()m(x，t)是關于 x，t的連續(xù)可微函數(shù)，gm(x，t)〉0，x∈[a，)[0 ，T]，gm(b，t)=0;(3) 對于充分小δ 〉0〈 + ∞;(4)φm(x)∈BV[a，b]，φm(x)≥0，滿足 gm(am，0)φm(am)=

式中，j=0，1，2，…，n，k=0，1，2，…，L-1，m=1，2，pm，k△x，定義)T，則式 1 可等價寫成下面的系統(tǒng)方程:

可以看出式3存在唯一一組非負解。

引理2 假設 Δt滿足 w1mΔt〈1，對于 m=1，2，有‖‖1≤ (1 -Δ t)-k‖pm，0‖1。

證明 在式2的第一個方程兩端分別乘以Δx，對j=1，2，…，n求和得到:因此

定理1 由引理6所定義的極限函數(shù)p1(x，t)，p2(x，t)是式1的解。

證明 令φ(x，t)∈ C1(Q)，記φ (xj，tk)。則有Δt。取極限 n→∞，L→∞知 pm(x，t)滿足解的定義。

4 結束語

本文在提出一類具有尺度分布的食餌-捕食者種群系統(tǒng)模型的基礎上，首先證明了模型解的有界性，然后對模型進行離散化，應用差分逼近方法及文獻5相關結論進一步研究了模型非負解的存在性。

［1］ JamesWSinko，William Streifer.A New Model For Age-Size Structure of A Population［J］.Journal of Ecology ，1967，48(6):910-918.

［2］ Oldfield D G.A Continuity Equation For Cell Population［J］.Bulletin of Mathematical Biophysics，1966，28(1):545-553.

［3］ Farkas JZ.Stability Conditions For A Non-Linear Size-Structured Model［J］.Nonlinear Analysis:Real World Applications，2005，6(5):962-969.

［4］ Leslie P H.On the use of matrices in certain population mathematics［J］.Journal of Biometrika，1945，33(3):183-212.

［5］ Smoller J.Shock Waves And Rection-Diffusion Equations［M］.New York:Springer-Verlag，1994:276.