沈雪明，袁衛(wèi)明，陳法鑫，劉際軒，李凌豐

（1.浙江申達(dá)機(jī)器制造股份有限公司，浙江杭州310038；2.浙江大學(xué)機(jī)械工程學(xué)系，浙江杭州310027）

電動(dòng)注塑機(jī)用滾珠絲杠副的動(dòng)態(tài)應(yīng)力分析

沈雪明1，袁衛(wèi)明1，陳法鑫1，劉際軒2，李凌豐2

（1.浙江申達(dá)機(jī)器制造股份有限公司，浙江杭州310038；2.浙江大學(xué)機(jī)械工程學(xué)系，浙江杭州310027）

通過(guò)建立電動(dòng)注塑機(jī)用滾珠絲杠副接觸角等結(jié)構(gòu)參數(shù)以及速度和加速度的動(dòng)態(tài)受力模型，利用螺母和絲杠的速度關(guān)系，得到二者之間加速度的關(guān)系。應(yīng)用赫茲應(yīng)力公式推導(dǎo)出螺母?jìng)?cè)和絲杠側(cè)的接觸應(yīng)力公式，并進(jìn)一步分析了接觸角等結(jié)構(gòu)參數(shù)以及速度和加速度對(duì)絲杠副接觸應(yīng)力的影響。結(jié)果表明，對(duì)于電動(dòng)注塑機(jī)用滾珠絲杠副，速度的增大會(huì)造成接觸應(yīng)力的明顯增加，加速度的增加也會(huì)造成接觸應(yīng)力的增加。

滾珠絲杠副；電動(dòng)注塑機(jī)；動(dòng)態(tài)受力模型；加速度；離心力；赫茲接觸應(yīng)力

0 前言

全電動(dòng)注塑機(jī)具有環(huán)保、節(jié)能、噪聲低、注射控制精度高、制品品質(zhì)好等優(yōu)點(diǎn)，但在合模動(dòng)作時(shí)，其合模機(jī)構(gòu)中滾珠絲杠副由于負(fù)載大而磨損較為嚴(yán)重。對(duì)于這一問(wèn)題，目前還沒(méi)有很好的解決辦法［1－2］。滾珠螺旋絲杠副實(shí)際工作過(guò)程中內(nèi)部及外部復(fù)雜的傳動(dòng)力學(xué)因素往往是造成滾珠絲杠副失效的主要原因。失效是由接觸應(yīng)力引起的接觸疲勞破壞造成的，降低滾珠接觸應(yīng)力可有效抑制滾珠、絲杠及螺母的磨損，從而提高滾珠絲杠副的工作壽命。國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者對(duì)滾珠絲杠副的彈性變形和接觸應(yīng)力進(jìn)行了深入研究。程光仁等［3］對(duì)滾珠絲杠副的接觸變形進(jìn)行了原理性闡述；Wei等［4］對(duì)考慮彈性變形和變化的接觸角情況下的滾珠絲杠副進(jìn)行了動(dòng)態(tài)分析；Mei等［5］對(duì)存在加工誤差情況下滾珠間的載荷分布進(jìn)行了計(jì)算，提出可通過(guò)正向誤差來(lái)使載荷分布更加均勻，但誤差會(huì)引起滾珠絲杠副的振動(dòng)；Braccesi等［6］應(yīng)用彈塑性理論對(duì)返回裝置變形前后的載荷及應(yīng)力進(jìn)行了計(jì)算和分析。但這些研究都集中于研究工藝參數(shù)對(duì)接觸應(yīng)力的影響，運(yùn)動(dòng)參數(shù)方面的研究還很少，而合模用絲杠副在實(shí)際工作過(guò)程中是變速運(yùn)動(dòng)，工作負(fù)荷也隨著工作過(guò)程不斷變化，滾珠和螺母都受到一定程度的沖擊，另外，當(dāng)絲杠高速運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)，滾珠離心力的作用也不可忽略。

本文主要通過(guò)建立滾珠絲杠副的動(dòng)態(tài)受力模型，將絲杠側(cè)和螺母?jìng)?cè)區(qū)別開(kāi)來(lái)，分別推導(dǎo)出包含接觸角等結(jié)構(gòu)參數(shù)以及速度和加速度的彈性形變公式，并進(jìn)一步分析絲杠副的結(jié)構(gòu)參數(shù)以及轉(zhuǎn)速和加速度對(duì)接觸應(yīng)力的影響。為方便計(jì)算：本文作以下假設(shè)：（1）忽略摩擦力和潤(rùn)滑因素；（2）滾珠與絲杠和螺母之間是純滾動(dòng)。

1 滾珠絲杠副動(dòng)態(tài)受力模型

建立如圖1所示坐標(biāo)系，X′OYZ′和XOYZ坐標(biāo)系，X′軸是絲杠軸線(xiàn)方向，YOZ′為絲杠軌道法向截面。

圖1 絲杠副動(dòng)態(tài)受力模型Fig.1 Dynamic stress model of ball screw

設(shè)滾珠直徑為d，滾珠螺旋副的滾珠中心圓直徑為d0，t為滾道曲率比值，是一設(shè)計(jì)經(jīng)驗(yàn)值，接觸角為β，螺旋升角為λ，導(dǎo)程為L(zhǎng)，滾珠絲杠副工作時(shí)的瞬時(shí)載荷為F，絲杠轉(zhuǎn)速為n，螺母直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)速度為v，加速度為a，滾珠水平方向的加速度為a1，在接觸力方向上的加速度為a2。滾珠在A點(diǎn)和絲杠接觸，在B點(diǎn)和螺母接觸，考慮到加速度的存在和曲率半徑的不同，2點(diǎn)的接觸應(yīng)力顯然不同。

不考慮滑動(dòng)，滾珠中心的線(xiàn)速度（v0）為［7］：

絲杠旋轉(zhuǎn)一周，螺母前進(jìn)一個(gè)導(dǎo)程，可以得到螺母的速度：

分別對(duì)公式（1）和（2）求導(dǎo)，可得加速度之間的關(guān)系：

由圖1幾何關(guān)系可知：

2 滾珠與絲杠和螺母接觸點(diǎn)的主曲率

如圖1所示，滾珠與螺母軌道接觸點(diǎn)B處的4個(gè)主曲率分別為：

式中 R——螺母滾道的一個(gè)曲率半徑

螺母?jìng)?cè)綜合曲率為：

滾珠與絲杠軌道接觸點(diǎn)A處的4個(gè)主曲率分別為：

式中 R22——絲杠滾道的一個(gè)曲率半徑

絲杠側(cè)綜合曲率為：

3 動(dòng)態(tài)載荷與結(jié)構(gòu)、運(yùn)動(dòng)參數(shù)的關(guān)系

考慮到螺母加速度的影響，實(shí)際工作的載荷（Fd）為：

式中 m1——工作臺(tái)質(zhì)量

考慮螺旋升角的影響，若認(rèn)為在理想工作情況下，軸向工作載荷均勻地分配給所有的工作滾珠，且每個(gè)滾珠的法向力的合力通過(guò)絲杠軸線(xiàn)，忽略摩擦力因素，則法向力（P）為：

式中 z——總的工作滾珠數(shù)，可以用式（15）近似求

取：

式中 i——滾珠螺母的工作圈數(shù)乘以列數(shù)

式中 m——滾珠質(zhì)量

a2——接觸力方向上的加速度

r0——滾珠螺旋副的滾珠中心圓半徑

P1——螺母表面法向力

P2——絲杠表面法向力

4 動(dòng)態(tài)彈性接觸變形計(jì)算

根據(jù)彈性接觸理論，2個(gè)自由彈性體在壓力P作用下點(diǎn)接觸時(shí)，接觸橢圓區(qū)各點(diǎn)的應(yīng)力按半橢球規(guī)律分布，其值為［8］：

礦床儲(chǔ)量規(guī)模分布的數(shù)學(xué)模型是根據(jù)礦床儲(chǔ)量的統(tǒng)計(jì)自相似性，應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)方法建立模型，并通過(guò)模型及其分維值的數(shù)理分析，得出不同分維值的地學(xué)解釋 [3] 。

其中，長(zhǎng)半軸（a）、短半軸（b）的計(jì)算公式為：

式中 α、γ——主曲率確定的幾何系數(shù)，由文獻(xiàn)［9］確定

μ1、μ2——材料的泊松比

E1、E2——材料的彈性模量

進(jìn)一步求出最大接觸應(yīng)力為：

Z軸方向上，絲杠側(cè)和螺母?jìng)?cè)曲面均被壓縮，壓縮量為：

式中 J——主曲率值決定的橢圓積分

當(dāng)2個(gè)彈性體均為鋼時(shí)，由于鋼的彈性模量E＝2.1×105MPa，泊松比μ＝0.3，螺母表面的接觸彈性形變?yōu)椋?/p>

同理可得絲杠表面的接觸彈性形變：

由式（25）和（26）可知，滾珠絲杠副的結(jié)構(gòu)參數(shù)以及運(yùn)動(dòng)參數(shù)對(duì)于絲杠和絲杠螺母的接觸應(yīng)力起著決定性的作用。

5 算例和動(dòng)態(tài)接觸應(yīng)力影響因素分析

以某型號(hào)電動(dòng)注塑機(jī)上滾珠絲杠副為例，分析相關(guān)的結(jié)構(gòu)參數(shù)、速度和加速度對(duì)絲杠副接觸應(yīng)力的影響。滾珠絲杠副工藝參數(shù)如表1所示。

表1 滾珠絲杠副的結(jié)構(gòu)參數(shù)Tab.1 Structural parameters for ball screw

由于滾珠絲杠副整個(gè)工作過(guò)程中僅注塑過(guò)程存在較大的力的變化，而整個(gè)注塑過(guò)程可分為圖2中的5個(gè)步驟，根據(jù)工作壓力曲線(xiàn)圖2所示，用5段壓力近似代替整個(gè)注塑過(guò)程，確定各段壓力所占時(shí)間比例。由于縱向力與壓力成線(xiàn)性關(guān)系，相應(yīng)地計(jì)算各段的工作壓力值，將計(jì)算數(shù)值列于表2。滾珠絲杠副的運(yùn)動(dòng)參數(shù)如表3所示。

圖2 注塑過(guò)程的壓力曲線(xiàn)Fig.2 Pressure curve for plastic injection process

表2 注塑過(guò)程的壓力值Tab.2 Pressure value for plastic injection process

表3 滾珠絲杠副的運(yùn)動(dòng)參數(shù)Tab.3 Motion parameters for ball screw

5.1 接觸角β對(duì)動(dòng)態(tài)接觸應(yīng)力的影響

根據(jù)公式（18）和（19）得到圖3的彈性變形和接觸角的關(guān)系。由圖3可知，隨著接觸角的不斷增大，螺母?jìng)?cè)和絲杠側(cè)接觸應(yīng)力都是不斷減小，當(dāng)接觸角β接近45°（β＝0.7854rad），接觸彈性變形量趨于平緩。因此，合理地增大接觸角，不僅僅可以減少接觸應(yīng)力，還可以適當(dāng)?shù)靥岣叨ㄎ痪?。但?dāng)接觸角＞45°時(shí)，接觸應(yīng)力的變化就不再明顯，而且接觸角的增大會(huì)增加螺旋軌道的加工難度，因此設(shè)計(jì)時(shí)β通常不大于45°。另外，絲杠側(cè)和螺母?jìng)?cè)的彈性變形之所以出現(xiàn)圖3中的差異，除了綜合曲率半徑不同之外，滾珠產(chǎn)生的離心力大大增加了螺母?jìng)?cè)的彈性形變。

圖3 接觸應(yīng)力和接觸角β之間的關(guān)系Fig.3 Relationship between contact stress and contact angleβ

5.2 螺旋升角λ對(duì)動(dòng)態(tài)接觸應(yīng)力的影響

根據(jù)（25）和（26）得到圖4中彈性變形量和螺旋升角的關(guān)系。由圖4可知，絲杠側(cè)彈性變形量變化趨勢(shì)和螺母?jìng)?cè)一致，隨著螺旋升角的增大，接觸應(yīng)力不斷增大，絲杠側(cè)的接觸應(yīng)力之所以小于螺母?jìng)?cè)是因?yàn)槁菽競(jìng)?cè)要承受來(lái)自滾珠的離心力的作用。但考慮到螺旋角與導(dǎo)程之間存在所以螺旋角越小，導(dǎo)程越小，滾珠絲杠副的傳動(dòng)效率就會(huì)急劇降低，高速化性能也會(huì)減弱。再考慮到大導(dǎo)程絲杠副的加工是一個(gè)難題，所以一般螺旋升角的取值在3°～10°。

圖4 接觸應(yīng)力和螺旋升角λ的關(guān)系Fig.4 Relationship between contact stress and lead angleλ

5.3 速度對(duì)動(dòng)態(tài)接觸應(yīng)力的影響

滾珠在螺旋軌道內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，會(huì)產(chǎn)生離心力的作用，如圖5所示，隨著速度的不斷增大，螺母?jìng)?cè)的彈性變形量逐漸變大，速度提高10%，接觸彈性變形量也提高10%，基本呈現(xiàn)線(xiàn)性變化趨勢(shì)，絲杠側(cè)不發(fā)生變化。所以對(duì)于高速重載的滾珠絲杠副，滾珠質(zhì)量大，運(yùn)轉(zhuǎn)速度高，此部分的作用力十分明顯。因此，實(shí)現(xiàn)重載滾珠絲杠副高速化是很困難的。

圖5 接觸應(yīng)力和速度的關(guān)系Fig.5 Relationship between contact stress and speed

5.4 加速度對(duì)動(dòng)態(tài)接觸應(yīng)力的影響

實(shí)際工作過(guò)程中，合模機(jī)構(gòu)不是勻速運(yùn)動(dòng)，螺母也就不可能勻速運(yùn)動(dòng)，滾珠也不可能勻速地運(yùn)行，故工作臺(tái)和滾珠速度地變化都會(huì)造成沖擊載荷，從而使接觸應(yīng)力增大。本文討論的是高速重載滾珠絲杠副，加速度基本維持在5～15m／s2。如圖6所示，在加速度影響下，螺母?jìng)?cè)和絲杠側(cè)的彈性形變趨勢(shì)基本一致，加速度增加1m／s2，彈性變形量增加0.5μm。相對(duì)離心力引起的變化，加速度對(duì)接觸應(yīng)力的影響較小。但對(duì)于沖擊載荷較大的滾珠絲杠副，加速度達(dá)到一定值時(shí)對(duì)絲杠副的破壞還是十分明顯的。

圖6 接觸應(yīng)力和加速度的關(guān)系Fig.6 Relationship between contact stress and acceleration

5.5 滾珠螺旋副的滾珠中心圓直徑d0對(duì)動(dòng)態(tài)接觸應(yīng)力的影響

由式（16）和（17）知，滾珠與螺旋軌道的接觸應(yīng)力與滾珠螺旋副的滾珠中心圓d0成反比，d0的增加也會(huì)明顯增加絲杠的抗扭剛度和強(qiáng)度，而且，d0增加使設(shè)計(jì)大直徑滾珠的滾珠絲杠副成為可能，滾珠直徑越大，承受載荷的能力越強(qiáng)，這對(duì)高速重載的滾珠絲杠副具有很大的意義。但美中不足的是d0增加會(huì)造成絲杠副的尺寸增加，而滾珠直徑的增大會(huì)造成離心力的增加。

6 結(jié)論

（1）滾珠絲杠副的結(jié)構(gòu)參數(shù)決定了其工作性能，接觸角增大有利于減少接觸應(yīng)力；螺旋升角增大不僅增加接觸應(yīng)力，而且會(huì)使加工更加困難；滾珠螺旋副的滾珠中心圓d0和絲杠副接觸應(yīng)力近似反比例變化；

（2）速度對(duì)絲杠側(cè)的接觸應(yīng)力影響不大，但對(duì)螺母?jìng)?cè)接觸應(yīng)力造成很大影響，速度越大，接觸應(yīng)力越大，加速度對(duì)絲杠側(cè)和螺母?jìng)?cè)都會(huì)產(chǎn)生影響，加速度越大，接觸應(yīng)力也越大；

（3）本文推導(dǎo)出的公式，不僅適用于注塑機(jī)用滾珠絲杠副，對(duì)于普通的滾珠絲杠副也適用。

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Dynamic Stress Analysis of Ball Screw for Electric Operated Injection Molding Machine

SHEN Xueming1，YUAN Weiming1，CHEN Faxin1，LIU Jixuan2，LI Lingfeng2

（1.Zhejiang Sound Machinery Manufacture Co，Ltd，Hangzhou 310038，China；2.Department of Mechanical Engineering，Zhejiang University，Hangzhou 310027，China）

A dynamic force model of the ball screw used for electric operated injection molding machine was established using contact angle，velocity，acceleration，and others as structure parameters.Relationship between the velocity and acceleration of nut and screw was obtained.The contact stress at the nut and screw sides was described in terms of Hertz stress formula，and the effect of the structure and motion parameters on the contact stress of ball screw was further analyzed.It showed that，for a ball screw，increase in either velocity or acceleration could cause increase in contact stress significantly.

ball screw；injection molding machine；dynamic force model；acceleration；centrifugal force；Hertz contact stress

TQ320.66＋2

B

1001－9278（2012）03－0103－05

2011－12－30

聯(lián)系人，zjsounddjs＠163.com

（本文編輯：劉 學(xué)）