季 曄 劉宏昭 原大寧 王庚祥

西安理工大學(xué)，西安，710048

0 引言

機(jī)構(gòu)的性能評(píng)價(jià)是機(jī)器人研究的重要內(nèi)容之一，它對(duì)結(jié)構(gòu)參數(shù)的選取和控制策略的擬定具有決定性作用。為了量化機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)性能，很多學(xué)者都曾做過(guò)相關(guān)研究。早在1982年，Salisbury等[1]采用Jacobian矩陣條件數(shù)研究了機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)性能。1983年，Asada[2]采用廣義慣性橢球研究了機(jī)器人動(dòng)態(tài)性能特性。文獻(xiàn)[3]將機(jī)構(gòu)的Jacobian矩陣分離，分別研究了機(jī)構(gòu)的移動(dòng)性能和轉(zhuǎn)動(dòng)性能。文獻(xiàn)[4]研究了一種8PSS冗余并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)特性。近年來(lái)很多學(xué)者都曾對(duì)不同機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)特性進(jìn)行過(guò)較為深入的研究[5-8]。

少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有驅(qū)動(dòng)元件少、成本低、結(jié)構(gòu)緊湊和性價(jià)比高等優(yōu)點(diǎn)，是近年來(lái)研究的熱點(diǎn)[9]。為了更好地控制高速精密機(jī)器人，多角度研究機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)性能具有十分重要的意義。本文通過(guò)改變4UPU機(jī)構(gòu)中某個(gè)支鏈的運(yùn)動(dòng)副的布置方式，得到了一種變拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的具有四自由度的并聯(lián)機(jī)構(gòu)。根據(jù)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和運(yùn)動(dòng)特性，建立了機(jī)構(gòu)位置反解方程。利用求導(dǎo)法得到了機(jī)構(gòu)一階、二階影響系數(shù)矩陣，分析了機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)評(píng)價(jià)指標(biāo)，得到了各指標(biāo)與一階、二階影響系數(shù)矩陣之間的關(guān)系。考慮速度與角速度的量綱不同、力和力矩的量綱亦不同，將雅克比矩陣分離，單獨(dú)研究機(jī)構(gòu)的轉(zhuǎn)動(dòng)性能和移動(dòng)性能。最后采用“分層”研究的方式，得到了機(jī)構(gòu)各運(yùn)動(dòng)支鏈的加速度和慣性力性能評(píng)價(jià)結(jié)果。

1 機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)及自由度分析

1.1 機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)描述

圖1所示的并聯(lián)機(jī)構(gòu)由4個(gè)UPU支鏈連接上下平臺(tái)構(gòu)成，其中3個(gè)支鏈的U副布置方式一致，通過(guò)改變另一支鏈U副的空間位置，得到了一種變拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的并聯(lián)機(jī)構(gòu)。與運(yùn)動(dòng)平臺(tái)相連的U副用Ai(i=1,2,3,4)表示，與固定平臺(tái)相連的U副用Bi(i=1,2,3,4)表示。為了便于描述，Ai和Bi還表示動(dòng)平臺(tái)和固定平臺(tái)與支鏈的連接點(diǎn)。固定平臺(tái)幾何中心O為慣性坐標(biāo)系原點(diǎn)，其中x軸平行于B1B2，y軸平行于B2B3；運(yùn)動(dòng)平臺(tái)幾何中心O′為動(dòng)坐標(biāo)系原點(diǎn)，初始位置時(shí)x′軸平行于x軸，y′軸平行于y軸，利用右手定則確定z軸。A1B1、A2B2和A3B3支鏈的U副轉(zhuǎn)動(dòng)軸線平行于x軸和z軸；另外一條支鏈的U副轉(zhuǎn)動(dòng)軸線平行于y軸和z軸。機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)邊長(zhǎng)為2a和2d，固定平臺(tái)邊長(zhǎng)為2b和2c。

圖1 變拓?fù)銾PU并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖

1.2 機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)演繹與自由度分析

原始機(jī)構(gòu)為各支鏈結(jié)構(gòu)相同的4-UPU機(jī)構(gòu)。以B1為原點(diǎn)，各坐標(biāo)軸方向與固定坐標(biāo)系各軸方向相同建立螺旋坐標(biāo)系，則A1B1支鏈運(yùn)動(dòng)螺旋為

反螺旋為

θx、θy、θz為支鏈與固定坐標(biāo)系相應(yīng)坐標(biāo)軸的夾角。每個(gè)支鏈具有相同的反螺旋，因此機(jī)構(gòu)自由度為5。由于機(jī)構(gòu)只有4個(gè)驅(qū)動(dòng)支鏈，此構(gòu)型下機(jī)構(gòu)不可控。

對(duì)機(jī)構(gòu)中某條支鏈的U副進(jìn)行調(diào)整。將A4B4支鏈的U副變?yōu)閳D1所示，其運(yùn)動(dòng)螺旋為

反螺旋為

此時(shí)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)具有4個(gè)自由度，2個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度被限制(繞x軸和y軸轉(zhuǎn)動(dòng))。如果鎖住AiBi支鏈的4個(gè)移動(dòng)副，動(dòng)平臺(tái)自由度為0，機(jī)構(gòu)輸入合理。

2 機(jī)構(gòu)位置關(guān)系方程的建立

經(jīng)分析可知，機(jī)構(gòu)具有空間3個(gè)移動(dòng)和1個(gè)繞x軸轉(zhuǎn)動(dòng)的自由度，因此機(jī)構(gòu)的動(dòng)平臺(tái)自由度用廣義坐標(biāo)可表示為X=(x,y,z,α)T。

各支鏈的矢量為

Ii=TxA′i+(x,y,z)T-Bi

(1)

i=1,2,3,4

其中，A′i為動(dòng)平臺(tái)各鉸點(diǎn)在動(dòng)坐標(biāo)系下的向量；Bi為固定平臺(tái)各鉸點(diǎn)在慣性坐標(biāo)系下的向量；(x,y,z)為動(dòng)坐標(biāo)系原點(diǎn)在固定坐標(biāo)系下的矢量；Tz為動(dòng)坐標(biāo)系到慣性坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)變換矩陣，即

式中，α為動(dòng)平臺(tái)繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)的歐拉角。

以各支鏈移動(dòng)副作為輸入，通過(guò)改變支鏈的長(zhǎng)度來(lái)控制動(dòng)平臺(tái)的位姿，各支鏈長(zhǎng)度為

(2)

式中，Ii(1)、Ii(2)、Ii(3)分別為各支鏈?zhǔn)噶康牡谝恍小⒌诙?、第三行元素?/p>

3 運(yùn)動(dòng)影響系數(shù)的建立

并聯(lián)機(jī)構(gòu)的一階、二階影響系數(shù)求解方法主要有兩種：封閉向量求導(dǎo)法和旋量法。由于已知機(jī)構(gòu)的位置關(guān)系方程，因此采用前者進(jìn)行求解。

3.1 一階影響系數(shù)矩陣

機(jī)構(gòu)的輸入與輸出速度關(guān)系滿足：

(3)

當(dāng)J非奇異時(shí)，則

(4)

G=J-1

式中，J為各支鏈輸入速度對(duì)動(dòng)平臺(tái)位姿速度的一階影響系數(shù)矩陣；G為動(dòng)平臺(tái)位姿速度對(duì)各支鏈輸入速度的一階影響系數(shù)矩陣，即通常所說(shuō)的Jacobian矩陣。

3.2 二階影響系數(shù)矩陣

機(jī)構(gòu)的輸入和輸出之間存在解析關(guān)系，J和G中各元素可表示為

Jij=f(x,y,z,γ)

Gij=f(l1,l2,l3,l4)

i,j=1,2,3,4

根據(jù)機(jī)構(gòu)輸入、輸出速度關(guān)系方程式(式(3)、式(4))，分別對(duì)時(shí)間求導(dǎo)得

(5)

(6)

K和H可表示為

式(6)和式(5)為機(jī)構(gòu)加速度正逆解方程。K和H分別為支鏈輸入加速度對(duì)動(dòng)平臺(tái)位姿加速度的二階影響系數(shù)矩陣和動(dòng)平臺(tái)位姿加速度對(duì)各支鏈輸入加速度的二階影響系數(shù)矩陣。Ki和Hi可作為第i條支鏈的二階影響系數(shù)矩陣。

4 機(jī)構(gòu)性能評(píng)價(jià)指標(biāo)分析

機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)性能評(píng)價(jià)指標(biāo)主要包括速度、加速度、承載力、驅(qū)動(dòng)力和慣性力等。其中，速度、承載力、驅(qū)動(dòng)力等由機(jī)構(gòu)的一階影響系數(shù)決定，而加速度和慣性力不僅與一階影響系數(shù)有關(guān)，還與二階影響系數(shù)有關(guān)，各性能指標(biāo)分析如下。

4.1 速度性能指標(biāo)

(7)

其中,‖G‖‖G-1‖是Jacobian矩陣的條件數(shù)，表示矩陣計(jì)算對(duì)誤差的敏感性，是機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)精度的度量，記為kG。kG越小，機(jī)構(gòu)的速度偏差越小。

4.2 承載力、驅(qū)動(dòng)力性能指標(biāo)

機(jī)構(gòu)的承載力是機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)承受的廣義力，驅(qū)動(dòng)力為各支鏈在動(dòng)平臺(tái)位于不同位姿時(shí)所承受的軸向力。定義支鏈輸入的驅(qū)動(dòng)力為f，動(dòng)平臺(tái)廣義力為F。由于機(jī)構(gòu)速度映射與力映射之間存在明顯的對(duì)偶關(guān)系，則存在

F=GTf

因此機(jī)構(gòu)的承載力和驅(qū)動(dòng)力出現(xiàn)擾動(dòng)，其性能評(píng)價(jià)與速度性能指標(biāo)分析類(lèi)似。

4.3 加速度性能指標(biāo)

(8)

令

則有

存在

(9)

由于

即

存在

(10)

由式(9)和式(10)可知，加速度的擾動(dòng)與‖G‖‖G-1‖和‖H‖‖H-‖有關(guān)，而‖H‖·‖H-‖為H的條件數(shù)，記為kH。kG和kH越小，機(jī)構(gòu)的加速度偏差相對(duì)越小。

4.4 慣性力性能指標(biāo)

慣性力F為質(zhì)量與加速度的乘積，質(zhì)量是不變量，不受擾動(dòng)的影響。根據(jù)前述分析，性能指標(biāo)需同時(shí)包含G和H，文獻(xiàn)[10]采用g=‖G‖+‖H‖作為評(píng)價(jià)指標(biāo)。為了得到各支鏈擾動(dòng)對(duì)慣性力敏感程度，對(duì)機(jī)構(gòu)的慣性力性能研究進(jìn)行改進(jìn)，采用如下評(píng)價(jià)方法:

gi=‖Gi‖+‖Hi‖

(11)

5 機(jī)構(gòu)性能分析結(jié)果

圖1所示機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)選取如下：a=0.23m，b=0.95m，c=0.36m，d=0.22m。根據(jù)實(shí)際任務(wù)空間，機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)運(yùn)動(dòng)范圍為x,y∈[-0.2m,0.2m]，為了提高計(jì)算效率，分析性能指標(biāo)時(shí)，均取z等于0.9m、1.0m和1.1m三個(gè)運(yùn)動(dòng)層為研究對(duì)象。機(jī)構(gòu)的Jacobian矩陣G∈R4×4，其中前三行組成3×4矩陣，記為GT；最后一行為1×4矩陣，記為GR。GT和GR具有不同的量綱，分別作為速度和力、角速度和力矩的性能評(píng)定指標(biāo)，因此kG的圖譜由兩部分組成，結(jié)果如圖2所示。

(a)對(duì)應(yīng)GT的性能指標(biāo)

(b)對(duì)應(yīng)GR的性能指標(biāo)圖2 kG性能指標(biāo)圖譜

GT的條件數(shù)性能圖譜空間分布均勻，包含3層連續(xù)的曲面，從上到下各層分別對(duì)應(yīng)于z等于1.1m、1.0m和0.9m。當(dāng)動(dòng)平臺(tái)位于z=0.9～1.1m任務(wù)空間內(nèi)時(shí)，GT條件數(shù)分布于z=0.9m和z=1.1m性能圖譜構(gòu)成的曲面之間；不管機(jī)構(gòu)的動(dòng)平臺(tái)位于任務(wù)空間的任何位置，GR的條件數(shù)均為1。

為了更為細(xì)致地評(píng)定加速度性能指標(biāo)，采用“分層”研究的方式，說(shuō)明機(jī)構(gòu)的加速度性能。根據(jù)上述分析可知，加速度性能由兩部分決定，即輸入擾動(dòng)對(duì)M1和M2的影響。M1部分的指標(biāo)分析如圖2所示，M2部分的指標(biāo)分析如圖3所示。

(a)A1B1支鏈的二階影響系數(shù)性能指標(biāo)

(b)A2B2支鏈的二階影響系數(shù)性能指標(biāo)

(c)A3B3支鏈的二階影響系數(shù)性能指標(biāo)

(d)A4B4支鏈的二階影響系數(shù)性能指標(biāo)圖3 kHi性能指標(biāo)圖譜

kHi表示機(jī)構(gòu)的第i條支鏈存在擾動(dòng)時(shí)對(duì)M2的影響程度。第一、第四條支鏈對(duì)應(yīng)Hessian矩陣的第一和第四層，從圖3可以看出，這兩條支鏈存在擾動(dòng)時(shí)對(duì)動(dòng)平臺(tái)的影響相對(duì)較小，而第二、第三條支鏈存在擾動(dòng)時(shí)，動(dòng)平臺(tái)受到的影響相對(duì)較大。

對(duì)機(jī)構(gòu)慣性力的性能分析依然采用“分層”研究的方法，各支鏈的慣性力性能由g決定，計(jì)算結(jié)果如圖4所示。

(a)A1B1支鏈的慣性力性能指標(biāo)

(b)A2B2支鏈的慣性力性能指標(biāo)

(c)A3B3支鏈的慣性力性能指標(biāo)

(d)A4B4支鏈的慣性力性能指標(biāo)圖4 慣性力性能指標(biāo)圖譜

與加速度性能指標(biāo)類(lèi)似，第一、第四條支鏈的慣性力性能較好，其靈敏度和靈巧性好于第二、第三條支鏈。

在任務(wù)空間內(nèi)，上述各性能指標(biāo)計(jì)算結(jié)果范圍如表1所示。

當(dāng)運(yùn)動(dòng)平臺(tái)和固定平臺(tái)結(jié)構(gòu)尺寸b、c和d恒定，a分別取0.2m和0.3m時(shí)，機(jī)構(gòu)的GR的條件數(shù)不變，GT的條件數(shù)變化很小，Hi和gi的條件數(shù)隨a的增大而增大；當(dāng)運(yùn)動(dòng)平臺(tái)和固定平臺(tái)結(jié)構(gòu)尺寸a、b和c恒定，d取0.2m和0.28m時(shí)，機(jī)構(gòu)的GR的條件數(shù)不變，GT的條件數(shù)逐漸增大，而Hi和gi的條件數(shù)變化復(fù)雜，對(duì)應(yīng)條件數(shù)均大于d=0.23m時(shí)的計(jì)算結(jié)果，尤其是H3的條件數(shù)發(fā)生“跳動(dòng)”，最大值超過(guò)468；當(dāng)運(yùn)動(dòng)平臺(tái)和固定平臺(tái)結(jié)構(gòu)尺寸a、c和d恒定，b取0.9m和1m時(shí)，機(jī)構(gòu)的GR的條件數(shù)不變，GT的條件數(shù)均大于b=0.95m時(shí)的值，同時(shí)Hi和gi的條件數(shù)也有所增大，其中H3的條件數(shù)也出現(xiàn)“跳動(dòng)”，數(shù)值較大；當(dāng)運(yùn)動(dòng)平臺(tái)和固定平臺(tái)結(jié)構(gòu)尺寸a、b和d恒定，c取0.3m和0.4m時(shí)，機(jī)構(gòu)的GR的條件數(shù)不變，GT的條件數(shù)均大于b=0.95m時(shí)的值，同時(shí)Hi和gi的條件數(shù)也有所增大，其中H3的條件數(shù)依然出現(xiàn)“跳動(dòng)”，數(shù)值較大。

表1 性能指標(biāo)范圍

6 結(jié)語(yǔ)

通過(guò)改變機(jī)構(gòu)一條五自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)支鏈的結(jié)構(gòu)，得到了一種具有3個(gè)移動(dòng)和1個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度的并聯(lián)機(jī)構(gòu)。根據(jù)該變拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)機(jī)構(gòu)的位置關(guān)系方程，利用求導(dǎo)法得到了機(jī)構(gòu)的正逆Jacobian矩陣和Hessian矩陣。由于機(jī)構(gòu)的性能指標(biāo)與兩矩陣有直接關(guān)系，針對(duì)不同的性能指標(biāo)，得到了各指標(biāo)與兩矩陣之間的映射關(guān)系。根據(jù)不同量綱，將Jacobian矩陣分離，分析了機(jī)構(gòu)速度、承載力和驅(qū)動(dòng)力性能，得到了任務(wù)空間內(nèi)一階性能圖譜；利用“分層”研究的策略，得到了機(jī)構(gòu)各支鏈與動(dòng)平臺(tái)之間的加速度性能和慣性力性能，得到了二階性能圖譜。

計(jì)算結(jié)果表明，按照文中的尺寸參數(shù)選取，機(jī)構(gòu)各性能指標(biāo)在任務(wù)空間內(nèi)變化較小且分布均勻，具有良好的對(duì)稱(chēng)性，運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)性能較好。如果改變上平臺(tái)或下平臺(tái)的某個(gè)結(jié)構(gòu)參數(shù)可能會(huì)使機(jī)構(gòu)某些性能?chē)?yán)重下降，如H3的條件數(shù)過(guò)大，造成輸入和輸出之間加速度關(guān)系失真。上述分析為機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)確定提供了依據(jù)。

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