劉廣波，周星德，石星星，張安樂(lè)

(1.河海大學(xué)力學(xué)與材料學(xué)院，江蘇南京210098;2.河海大學(xué)土木與交通學(xué)院，江蘇 南京210098)

0 引言

目前，車(chē)-橋系統(tǒng)的動(dòng)力分析已經(jīng)發(fā)展相對(duì)成熟，而振動(dòng)控制策略的研究相對(duì)滯后，專門(mén)針對(duì)高速鐵路車(chē)-橋振動(dòng)控制的研究文獻(xiàn)并不多見(jiàn).

早期的國(guó)內(nèi)外學(xué)者采用調(diào)諧質(zhì)量阻尼器(TMD)對(duì)車(chē)-橋耦合振動(dòng)系統(tǒng)的某一振型模態(tài)進(jìn)行控制，有效地降低了橋梁在豎向的動(dòng)力響應(yīng)［1-3］.但隨著列車(chē)時(shí)速不斷提高，車(chē)橋耦合系統(tǒng)的共振問(wèn)題日益突出，單一的MTMD控制系統(tǒng)已無(wú)法滿足要求［4］.多頻調(diào)諧質(zhì)量阻尼器(MTMD)由多個(gè)小TMD組成，可以對(duì)系統(tǒng)的一段頻率進(jìn)行控制，對(duì)不同振型模態(tài)下的動(dòng)力響應(yīng)都有較好的控制效果［5-7］.MTMD相對(duì)于TMD具有多頻調(diào)諧的優(yōu)點(diǎn)，但MTMD需要較大的安裝空間［8］，其參數(shù)選取也較為困難，如何合理地選取MTMD并設(shè)計(jì)其參數(shù)，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)車(chē)-橋耦合系統(tǒng)的有效控制成為當(dāng)前研究的一個(gè)課題.針對(duì)以上出現(xiàn)的問(wèn)題，筆者對(duì)MTMD的參數(shù)設(shè)計(jì)進(jìn)行了研究，給出了MTMD各項(xiàng)參數(shù)的選取方法和最優(yōu)布置方案，改進(jìn)了參數(shù)的設(shè)計(jì)方法，降低了經(jīng)濟(jì)成本，提高了控制的效率.

1 車(chē)-橋-MTMD系統(tǒng)振動(dòng)方程

1.1 振動(dòng)方程［9］

圖1所示為車(chē)-橋-MTMD耦合振動(dòng)系統(tǒng)，車(chē)輛簡(jiǎn)化為半車(chē)模型，采用二系懸掛.

圖1 車(chē)－橋－MTMD系統(tǒng)截面Fig.1 Vehicle-bridge system cross-section

1.2 整體運(yùn)動(dòng)方程

式中:Mb、Mν、MM分別為橋、車(chē)、MTMD 的質(zhì)量矩陣;vb、vν、vM為橋、車(chē)、MTMD 的位移矩陣;Kbb、Kνν、KMM為橋、車(chē)、MTMD 的剛度矩陣;Cbb、Cνν、Cnm為橋、車(chē)、MTMD的阻尼矩陣.

1.3 豎向振動(dòng)方程

式中:m(x)為橋梁?jiǎn)挝婚L(zhǎng)度質(zhì)量;Cy(x)表示橋豎向振動(dòng)的阻尼;y(x，t)表示t時(shí)刻的豎向位移;E為彈性模量;I(x)表示截面慣性矩;Fy表示豎向作用力.

1.4 扭轉(zhuǎn)振動(dòng)方程

式中:Jm(x)為橋梁?jiǎn)挝婚L(zhǎng)度轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;Cθ(x)表示橋轉(zhuǎn)動(dòng)方向阻尼;θ(x，t)表示t時(shí)刻的轉(zhuǎn)角;G為剪切模量;J(x)表示轉(zhuǎn)動(dòng)慣性矩;Fθ表示扭轉(zhuǎn)力.

1.5 MTMD的振動(dòng)方程

跨中截面處第l個(gè)TMD的振動(dòng)方程如下:

式中:msl表示第l個(gè)TMD的質(zhì)量;csl表示第l個(gè)TMD的阻尼;ksl表示第l個(gè)TMD的剛度;zsl(t)表示第l個(gè)TMD的位移;esl表示第l個(gè)TMD到截面軸的距離;p為T(mén)MD的數(shù)量.

2 振動(dòng)方程解耦

橋梁的豎向位移和轉(zhuǎn)角為

式中:φ、φ分別為豎向振型函數(shù)和扭轉(zhuǎn)振型函數(shù).

將式(5)、(6)帶入方程式(2)、(3)并分別左乘φ、φ，對(duì)方程兩邊進(jìn)行積分，得到解耦后的方程如下:

式中:My、Cy、Ky為N階方陣，分別表示豎向模態(tài)下的質(zhì)量、阻尼、剛度矩陣;Mθ、Cθ、Kθ為 N 階方陣，分別表示轉(zhuǎn)動(dòng)模態(tài)下的質(zhì)量、阻尼、剛度矩陣.

3 MTMD布置及參數(shù)設(shè)計(jì)

3.1 MTMD奇數(shù)布置法

研究發(fā)現(xiàn)控制器安裝在受控模型位移峰值處時(shí)，結(jié)構(gòu)的控制效果達(dá)到最優(yōu)，筆者將MTMD安裝在跨中截面處.

MTMD在布置時(shí)往往采取對(duì)稱布置，對(duì)稱布置又分為奇數(shù)對(duì)稱布置和偶數(shù)對(duì)稱布置，見(jiàn)圖2.偶數(shù)對(duì)稱布置法以截面對(duì)稱軸為準(zhǔn)，兩側(cè)對(duì)稱安裝TMD.奇數(shù)對(duì)稱布置法首先在對(duì)稱軸處安裝TMD兩側(cè)依次布置，因此TMD的總數(shù)量要比偶數(shù)布置少，但頻帶寬度并未改變，因此二者的控制效果基本相同.

箱梁內(nèi)部空間有限，安裝和維修等都比較困難，因此MTMD中TMD的數(shù)量不宜過(guò)多.奇數(shù)對(duì)稱布置法在保證控制效果的前提下具有較少的TMD，減少橋的附加質(zhì)量以及TMD維護(hù)方面的問(wèn)題，因此更加合理.

圖2 奇數(shù)(偶數(shù))對(duì)稱布置Fig.2 Odd(even)symmetrical arrangement

3.2 MTMD最優(yōu)頻率

MTMD的特點(diǎn)就是多頻調(diào)諧，頻率的選取對(duì)控制效果有較大影響.

第j階振型模態(tài)下TMD的頻率比為

最優(yōu)頻率比可通過(guò)求解以下方程求得

式中:Rdvj為第j階模態(tài)的響應(yīng)比函數(shù).

最優(yōu)頻率的連續(xù)性越好，控制效果也就越好，因此在進(jìn)行頻率設(shè)計(jì)時(shí)要結(jié)合TMD的數(shù)量和最優(yōu)頻率特征值進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，頻率設(shè)計(jì)應(yīng)滿足連續(xù)性好、頻帶寬度大的要求.

4 實(shí)例分析

4.1 計(jì)算參數(shù)

以臺(tái)灣高速鐵路橋?yàn)槔M(jìn)行仿真計(jì)算，橋長(zhǎng)40 m，單位長(zhǎng)度質(zhì)量38 240 N·s2·m-2，截面慣性矩17.9 m4，單位質(zhì)量極慣性矩464 500 N·s2，慣性扭矩35 m4，列車(chē)偏心距2.35 m，阻尼比2.5%，1～2階豎向振動(dòng)頻率分別為22.54，90.24 rad/s，1～2階扭轉(zhuǎn)振動(dòng)頻率分別為 74.54，149.08 rad/s.列車(chē)采用法國(guó)TGV高速列車(chē)，車(chē)廂長(zhǎng)度 18.7 m，列車(chē)時(shí)速 240 km/h，半車(chē)質(zhì)量27 000 kg，轉(zhuǎn)向架質(zhì)量3 000 kg.

4.2 計(jì)算結(jié)果分析

4.2.1 扭轉(zhuǎn)振動(dòng)對(duì)動(dòng)力響應(yīng)的影響

由結(jié)果分析可知，考慮扭轉(zhuǎn)效應(yīng)后跨中位移比不考慮扭轉(zhuǎn)效應(yīng)的跨中位移增大，最大位移差達(dá)到0.6 mm，位移增大約24%，如圖3所示.

圖3 動(dòng)力響應(yīng)曲線Fig.3 Dynamic responses curve

扭轉(zhuǎn)效應(yīng)對(duì)新型高速鐵路橋梁的振動(dòng)響應(yīng)有較大的影響，因此對(duì)高速鐵路橋梁進(jìn)行動(dòng)力分析應(yīng)考慮扭轉(zhuǎn)效應(yīng)的影響.

4.2.2 MTMD減振效果

采用MTMD控制，跨中位移和加速度明顯降低，MTMD控制取得了顯著的控制效果，如圖4所示.針對(duì)列車(chē)上橋和下橋時(shí)存在的峰值跳躍現(xiàn)象，采用MTMD-MTMD或MTMD-TMD混合控制的方法進(jìn)行控制，將取得較好的效果.

圖4 跨中位移和加速度時(shí)程曲線Fig.4 Midspan displacement and acceleration curve

4.2.3 計(jì)算模態(tài)數(shù)及頻率取值

結(jié)構(gòu)的模態(tài)數(shù)對(duì)結(jié)構(gòu)的位移有較大影響，考慮較高的模態(tài)數(shù)能使結(jié)果更精確，但相應(yīng)的計(jì)算量也會(huì)增加.研究發(fā)現(xiàn)，高階模態(tài)下的響應(yīng)對(duì)結(jié)果影響較小，可以取較少的模態(tài)數(shù)進(jìn)行計(jì)算.取模態(tài)數(shù)N為2和20計(jì)算，豎向與扭轉(zhuǎn)位移曲線見(jiàn)圖5.

對(duì)峰值處的位移進(jìn)行誤差分析，最大誤差為0.05 mm.N=2相比N=20結(jié)果只減小了2.4%，但計(jì)算時(shí)間由38 s降低到2 s，這對(duì)于高速鐵路的實(shí)時(shí)控制有較大的意義.筆者建議在進(jìn)行仿真計(jì)算時(shí)可僅考慮前兩階模態(tài).

圖5 模態(tài)數(shù)N=2，N=20豎向位移曲線Fig.5 Vertical displacement curve with modal number N=2，20

由式(9)可知TMD的頻率由結(jié)構(gòu)固有頻率來(lái)確定.實(shí)際設(shè)計(jì)中rfl取值范圍介于0.75～1.25之間，ωyj隨著階數(shù)的增高會(huì)急劇變大，這對(duì)于TMD設(shè)計(jì)來(lái)講是比較困難的.高階模態(tài)下的動(dòng)力響應(yīng)對(duì)結(jié)果的影響不大，因此可根據(jù)結(jié)構(gòu)的低階頻率來(lái)確定小TMD的頻率.通過(guò)研究發(fā)現(xiàn)MTMD的頻率應(yīng)根據(jù)第一階模態(tài)來(lái)確定.

則式(9)改寫(xiě)為:

4.2.4 奇數(shù)布置法控制效果

當(dāng)列車(chē)過(guò)橋時(shí)，奇偶布置方法取得的控制效果基本相同，最大誤差僅為0.003 mm，見(jiàn)圖6.偶數(shù)布置法比奇數(shù)布置法安裝的TMD數(shù)量多，導(dǎo)致橋的附加荷載增大.采用奇數(shù)布置法既能保證控制效果，又能節(jié)約成本，具有工程實(shí)用價(jià)值.因此，采用奇數(shù)布置法來(lái)布置MTMD更合理.

圖6 MTMD奇偶布置位移曲線Fig.6 Displacement curve with odd and even MTMD

5 結(jié)論

(1)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)對(duì)結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性有較大影響，在進(jìn)行動(dòng)力分析時(shí)應(yīng)考慮扭轉(zhuǎn)效應(yīng).

(2)高階模態(tài)下車(chē)-橋系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)較小，在進(jìn)行仿真計(jì)算時(shí)可取較少的模態(tài)數(shù)進(jìn)行仿真計(jì)算，這樣可以大大減少工作量和計(jì)算時(shí)間，同時(shí)又能保證計(jì)算結(jié)果的精度.

(3)MTMD奇數(shù)對(duì)稱布置法設(shè)計(jì)更為合理，具有較大的工程意義.高階模態(tài)對(duì)計(jì)算結(jié)果影響較小，MTMD頻率應(yīng)根據(jù)第一階頻率來(lái)進(jìn)行設(shè)計(jì).

［1］ KWON H C，KIMMC，LEE I W.Vibration control of bridge under moving loads［J］.Computer＆ Structure，1998，66(4):473-480.

［2］ WANG J F，LIN C C.Vibration suppression for highspeed train bridge using tuned mass dampers［J］.International Journal of Solids and Structures，2003(40):465-491.

［3］ LIN CC，WANG JF，CHEN B L.Train-induced vibration control of high-speed railway bridges equipped with tuned mass dampers［J］.Journal of Bridge Engineering，2005，10(4):398-414.

［4］ WU J D，YANG Y B.Vibration reduction for cablestayed bridges traveled by high-speed train［J］.Finite Elements in Analysis and Design，2004(40):341-358.

［5］ YANGY B，CHANGCH，YAU JD.Element for analyzing vehicle-bridge systems considering vehicle pitching effect［J］.International Journal for Numerical Methods in Engineering，1999，46(7):1031-1040.

［6］ 肖艷平.橋梁振動(dòng)控制的初步研究［D］.成都:西南交通大學(xué)土木工程學(xué)院，2006.

［7］ 郭文華，路萍.TMD對(duì)高速列車(chē)通過(guò)簡(jiǎn)支箱梁時(shí)的振動(dòng)控制研究［J］.振動(dòng)與沖擊，2010，27(11):42-45.

［8］ 楊宜謙，張鍛.用調(diào)頻質(zhì)量阻尼器抑制鐵路橋梁豎向共振的研究［J］.中國(guó)鐵道科學(xué)，1998，3(1):12-18.

［9］ 潘家英，高芒芒.鐵路車(chē)-線-橋系統(tǒng)動(dòng)力分析［M］.北京:中國(guó)鐵道出版社，2008.