余聯(lián)慶 王玉金 王立平 汪紅波 唐焱明

1.武漢紡織大學(xué)，武漢，430073 2.清華大學(xué)，北京，100084

3.浙江師范大學(xué)，金華，321019 4.鄂東職業(yè)技術(shù)學(xué)院，黃岡，438000

0 引言

在自然界和人類社會中，存在人類無法到達(dá)的地方和可能危及人類生命的特殊場合，如行星表面、工地、礦井、防災(zāi)救援的地方等。不規(guī)則和不平坦的地形是這些環(huán)境的共同特點(diǎn)，這使輪式機(jī)器人和履帶式機(jī)器人的應(yīng)用受到限制。由于足式機(jī)器人可以利用孤立地面作為支撐，具有較強(qiáng)的地形適應(yīng)性。在這種背景下，足式機(jī)器人的研究便蓬勃發(fā)展起來［1］。由于四足機(jī)器人具有較好的行走適應(yīng)性和穩(wěn)定性，所以國內(nèi)外開發(fā)了多種各具特色的四足機(jī)器人［2－4］。

在非結(jié)構(gòu)化環(huán)境中，平坦的地面十分有限，并且障礙物的形狀和大小不可預(yù)測。障礙物大體可以分為兩大類［5］：一類是體積遠(yuǎn)大于機(jī)器人系統(tǒng)、機(jī)器人系統(tǒng)無法逾越的障礙物，如水池、懸崖等，這時機(jī)器人必須繞道行駛或者另外規(guī)劃目標(biāo)路徑；另一類是體積與機(jī)器人相當(dāng)、機(jī)器人通過改變自身的構(gòu)形可以逾越的障礙物，包括坡型、臺階型和溝壑等障礙物。一般說來，機(jī)器人通過兩種基本方法改變自身構(gòu)形［6］：一為“重構(gòu)”，即模塊的重組；二為“變形”，即本身關(guān)節(jié)的運(yùn)動。國外學(xué)者做了大量的研究工作，研制了各種各樣的可重構(gòu)機(jī)器人［7－9］。四面體滾動機(jī)器人［10］及滾動三角形機(jī)器人［11］就是可變形重構(gòu)的機(jī)器人，通過改變伸縮臂長度來實(shí)現(xiàn)機(jī)器人的變形與移動。但此類機(jī)器人的越障速度和能力較低，移動過程不連續(xù)，很難在實(shí)際中得到運(yùn)用。

四足機(jī)器人傳統(tǒng)的越障方式是：采用三條腿作支撐，另一條腿跨越障礙，直至四條腿均越過障礙。四足機(jī)器人前后雙腿均含有髖關(guān)節(jié)、膝關(guān)節(jié)和踝關(guān)節(jié)，具備改變自身構(gòu)形的能力。本文充分利用四足機(jī)器人的關(guān)節(jié)運(yùn)動變形能力，提出一種基于機(jī)體翻轉(zhuǎn)的臺階翻越方式。首先對機(jī)器人翻轉(zhuǎn)式翻越臺階周期進(jìn)行了運(yùn)動規(guī)劃，然后對翻越過程進(jìn)行了運(yùn)動學(xué)建模與仿真分析，得到機(jī)器人各個關(guān)節(jié)角的變化曲線以及重心的移動軌跡。最后討論了機(jī)器人臺階翻越能力與幾何參數(shù)之間的關(guān)系。為了方便敘述，在下文中將翻越臺階簡稱為越障。

1 四足機(jī)器人結(jié)構(gòu)模型

機(jī)器人的本體結(jié)構(gòu)直接影響到機(jī)器人的性能和技術(shù)指標(biāo)，本文采用類似哺乳動物的四足機(jī)器人結(jié)構(gòu)模型，如圖1所示。四條腿采用同樣的結(jié)構(gòu)，每條腿均含有三個主動關(guān)節(jié)，即髖關(guān)節(jié)、膝關(guān)節(jié)和踝關(guān)節(jié)。大腿與小腿的長度相等，且為機(jī)體長度的一半。由于臀關(guān)節(jié)軸心線和機(jī)器人機(jī)體平面平行，所以髖關(guān)節(jié)可以繞軸線旋轉(zhuǎn)360°。假設(shè)足底與地面的摩擦因數(shù)足夠大，在越障過程中不會發(fā)生足底打滑現(xiàn)象。

2 翻轉(zhuǎn)式越障運(yùn)動規(guī)劃

四足機(jī)器人以翻轉(zhuǎn)方式越障時，前后雙腿分別執(zhí)行相同的動作，在運(yùn)動學(xué)分析時可將前后雙腿分別合并為一條腿。在越障時不考慮轉(zhuǎn)向問題，因此可將越障運(yùn)動視為平面運(yùn)動。從而將四足機(jī)器人越障運(yùn)動分析轉(zhuǎn)化為平面連桿機(jī)構(gòu)的運(yùn)動分析。

受到背越式跳高的啟發(fā)，本文對四足機(jī)器人翻轉(zhuǎn)式越障進(jìn)行了運(yùn)動規(guī)劃，如圖2所示。一個完整的運(yùn)動周期包括5個階段：①從站立到前雙腿膝關(guān)節(jié)著地（圖2a）；②后雙腿越障（圖2b）；③機(jī)體姿態(tài)的調(diào)整（圖2c）；④前雙腿越障（圖2d）；⑤機(jī)器人正常站立（圖2e）。每個階段中機(jī)器人的開始姿態(tài)用實(shí)線表示，結(jié)束時的姿態(tài)用虛線表示。

機(jī)器人從左往右運(yùn)動，前肢的踝關(guān)節(jié)、膝關(guān)節(jié)和髖關(guān)節(jié)分別用A、B、C表示；D、E、F分別表示后肢的髖關(guān)節(jié)、膝關(guān)節(jié)和踝關(guān)節(jié)。

3 運(yùn)動學(xué)分析模型

四足機(jī)器人在翻轉(zhuǎn)式越障周期中，姿態(tài)會隨著不同的階段而變化，其運(yùn)動學(xué)模型也要發(fā)生相應(yīng)的變化。在以下的運(yùn)動學(xué)分析中為了方便描述，以L1和L2分別表示前肢小腿和大腿，其長度分別用l1和l2表示；機(jī)體用L3表示，其長度用l3表示，O表示質(zhì)心；后肢大腿和小腿分別用L4和L5表示，其長度分別用l4和l5表示。以θij表示機(jī)體或腿Li到Lj的逆時針夾角，當(dāng)i或j為0時，表示直角坐標(biāo)系x軸正向。以θ0ij表示一個運(yùn)動階段的關(guān)節(jié)初始角，θ′ij表示該運(yùn)動階段末時刻的關(guān)節(jié)角。

3.1 前雙腿膝關(guān)節(jié)著地階段

機(jī)器人從站立到前雙腿膝關(guān)節(jié)著地的位姿變換過程中，足底始終與地面保持接觸，足與地面無相對滑動，可把足底與地面的約束看作固定約束。機(jī)器人由站立到前雙腿膝關(guān)節(jié)著地的位姿變換過程如圖3所示，虛線所示為位姿變換完成時的姿態(tài)，取關(guān)節(jié)點(diǎn)F為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系Fxy。

大腿與小腿長度相等，且為機(jī)體長度的一半，則

平面連桿機(jī)構(gòu)的自由度計(jì)算公式：

式中，n為平面連桿機(jī)構(gòu)的構(gòu)件數(shù)目；pi為自由度為i的運(yùn)動副數(shù)目。

由式（2）可得圖3中所示機(jī)構(gòu)自由度f＝3，設(shè)定主動輸入為關(guān)節(jié)A、E和F。在圖3所示的前雙腿膝關(guān)節(jié)著地階段，各關(guān)節(jié)角的初始角度以及膝關(guān)節(jié)著地結(jié)束時的角度如表1所示。

表1 前雙腿膝關(guān)節(jié)著地階段的關(guān)節(jié)夾角 （°）

前雙腿膝關(guān)節(jié)著地的時間為0→ta，將輸入關(guān)節(jié)的速度均取勻速，則由表1中各個關(guān)節(jié)角的初始角以及末時刻夾角可得：

在圖3所示的位姿變換運(yùn)動過程中，其運(yùn)動回路矢量方程為

關(guān)節(jié)F到關(guān)節(jié)A的距離與l3相等，將式（6）寫成在直角坐標(biāo)系Fxy中的標(biāo)量形式為

求解式（7）可得

同理，求解式（7）可得：

另外，θ23的求解公式如下：

機(jī)器人由站立到前雙腿膝關(guān)節(jié)著地質(zhì)心O的坐標(biāo)公式如下：

3.2 后雙腿越障

在后雙腿越障階段，腿L1與腿L2固定，使其保持在前肢膝關(guān)節(jié)著地完成時的姿態(tài)，則后雙腿越障的運(yùn)動學(xué)模型可簡化為一單開鏈平面四桿機(jī)構(gòu)，取關(guān)節(jié)點(diǎn)B為原點(diǎn)，在其上建立坐標(biāo)系Bxy，如圖4所示。

由圖4可以得出，在后雙腿越障過程中，各關(guān)節(jié)的初始角以及末時刻的角度如表2所示。

表2 后雙腿越障的關(guān)節(jié)夾角 （°）

由圖4所示的運(yùn)動學(xué)模型以及式（2）可以得出腿L5的末端自由度f＝3。設(shè)定關(guān)節(jié)C、D、E為輸入關(guān)節(jié)，后雙腿越障的時間為ta→tb，且輸入均為勻速。為保證機(jī)器人的運(yùn)動空間與障礙不發(fā)生干涉，使關(guān)節(jié)角θ45以及θ34先達(dá)到預(yù)定的值，再令關(guān)節(jié)C旋轉(zhuǎn)，則各關(guān)節(jié)的角度方程如下：

其中，tb1為關(guān)節(jié)C開始運(yùn)動的時刻。關(guān)節(jié)角θ50分為兩個階段，θ50為270°→360°時為一個階段，θ50為360°→180°（即0→180°）時為一個階段，則

機(jī)器人在后雙腿越障過程中質(zhì)心O的坐標(biāo)為

雙腿越障完成后，關(guān)節(jié)點(diǎn)B和E′之間的y軸方向距離即為機(jī)器人的越障高度h，其計(jì)算如下：

3.3 機(jī)體姿態(tài)調(diào)整

機(jī)體姿態(tài)調(diào)整階段，腿L5與地面平行接觸且無相對運(yùn)動，腿L1的踝關(guān)節(jié)A與足僅有相對轉(zhuǎn)動，且足底與地面為固定約束。機(jī)器人運(yùn)動簡圖可轉(zhuǎn)化為一單閉鏈平面五桿機(jī)構(gòu)，取關(guān)節(jié)點(diǎn)A為原點(diǎn)，在其上建立直角坐標(biāo)系A(chǔ)xy，如圖5所示。

由式（2）可知，機(jī)體姿態(tài)調(diào)整階段自由度f＝2，設(shè)定關(guān)節(jié)A、E為主動關(guān)節(jié)，其余關(guān)節(jié)為被動關(guān)節(jié)。機(jī)體姿態(tài)調(diào)整的時間為tb→tc。機(jī)體姿態(tài)調(diào)整的初始關(guān)節(jié)角及末時刻關(guān)節(jié)角見表3。

表3 機(jī)體姿態(tài)調(diào)整關(guān)節(jié)角 （°）

由機(jī)體姿態(tài)調(diào)整運(yùn)動模型以及主動關(guān)節(jié)初始角和末時刻夾角，令

如圖5所示，機(jī)體姿態(tài)調(diào)整運(yùn)動回路矢量方程為

將式（23）改寫為在坐標(biāo)系A(chǔ)xy中的分量形式：

由式（24）可解得

同理，可得

由圖5和圖4可知，在式（23）～式（26）中，有

由圖5所示的運(yùn)動關(guān)系，可得

θ34＝4π－（θ01＋θ12＋θ23＋θ45）（29）

機(jī)器人在機(jī)體調(diào)整階段質(zhì)心O的坐標(biāo)為

3.4 前雙腿越障

前雙腿越障階段，腿L5固定于地面，將腿L5取出，并令腿L1與腿L2之間的夾角θ12保持不變，則腿L4、機(jī)體L3以及腿L1與腿L2的組合是開鏈四桿機(jī)構(gòu)，其自由度f＝3，取E關(guān)節(jié)點(diǎn)為原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系Exy，運(yùn)動模型如圖6所示。

設(shè)定關(guān)節(jié)C、D、E為輸入關(guān)節(jié)，前雙腿越障作用時間為tc→td，其初始角以及末時刻的關(guān)節(jié)角見表4。

表4 前雙腿越障關(guān)節(jié)角 （°）

由初始角、末時刻角以及輸入關(guān)節(jié)運(yùn)動關(guān)系，令

關(guān)節(jié)D和關(guān)節(jié)C同樣取勻速運(yùn)動，可以保證工作過程中，質(zhì)心O始終落在支撐范圍內(nèi)，則

關(guān)節(jié)角θ01可分為兩個階段，當(dāng)θ01為98°→0時為一階段，當(dāng)θ01為0→142°（即360°→142°）時為一階段，則

前雙腿越障階段，機(jī)器人質(zhì)心O的坐標(biāo)為

3.5 機(jī)器人正常站立

機(jī)器人正常站立運(yùn)動學(xué)模型如圖7所示，在關(guān)節(jié)點(diǎn)F建立坐標(biāo)系Fxy。保持腿L1與腿L2的關(guān)節(jié)角θ12不變，則圖7所示機(jī)構(gòu)的自由度f＝2，其運(yùn)動學(xué)模型可看著單閉鏈平面五桿機(jī)構(gòu)，設(shè)立關(guān)節(jié)A、F作為主動關(guān)節(jié)。正常站立時間為td→te，初始及末時刻關(guān)節(jié)角見表5。

表5 正常站立關(guān)節(jié)角 （°）

正常站立過程中，腿L1與L2關(guān)節(jié)角θ12不變，并取關(guān)節(jié)A和關(guān)節(jié)F為勻速，則

如圖7所示，機(jī)器人正常站立運(yùn)動回路矢量方程為

式（41）在坐標(biāo)系Fxy中的標(biāo)量形式為

其中，關(guān)節(jié)F和關(guān)節(jié)A之間的距離：

｜FA｜＝l3（43）

由式（41）和式（42）可以解出：

同理，可得

而關(guān)節(jié)角θ23為

θ23＝6π－（θ01＋θ34＋θ45＋θ50）（46）

機(jī)器人質(zhì)心O的坐標(biāo)公式為

4 仿真分析

各關(guān)節(jié)角的角度方程建立后，根據(jù)式（1）取l1＝0.5m對機(jī)器人越障運(yùn)動進(jìn)行仿真。以翻轉(zhuǎn)式越障周期第一運(yùn)動階段所建立的坐標(biāo)系Fxy為基準(zhǔn)，其余運(yùn)動階段所設(shè)定的坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化到基準(zhǔn)坐標(biāo)系中。根據(jù)上文中的運(yùn)動學(xué)分析模型，利用MATLAB編程計(jì)算可以得出機(jī)器人在翻轉(zhuǎn)式越障階段各關(guān)節(jié)角位移的變化曲線，如圖8所示，以及質(zhì)心O的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)變化曲線，如圖9所示。

5 越障能力分析

越障能力和機(jī)器人的幾何參數(shù)、運(yùn)動方案以及越障時機(jī)器人與障礙物的距離有關(guān)，下面討論在現(xiàn)有的幾何參數(shù)并在規(guī)劃的運(yùn)動方案下機(jī)器人的越障能力。

機(jī)器人在整個翻轉(zhuǎn)式越障周期中，機(jī)體翻轉(zhuǎn)階段有兩個：后雙腿越障和前雙腿越障階段。機(jī)體在兩次翻轉(zhuǎn)過程中需保證機(jī)體質(zhì)心O在支撐面內(nèi)。在后雙腿越障階段（圖4），質(zhì)心O必須在支撐面內(nèi)，即

在前雙腿越障階段（圖6），機(jī)器人質(zhì)心O必須在支撐面內(nèi)，即

由圖9所示的變化曲線可以看出該運(yùn)動方案滿足翻轉(zhuǎn)條件。綜合關(guān)節(jié)角的運(yùn)動空間、機(jī)械結(jié)構(gòu)參數(shù)等可以得出機(jī)器人的最大越障高度為

則后雙腿翻轉(zhuǎn)越障完成時，機(jī)器人的機(jī)體L0、腿L3以及腿L4重合。

6 結(jié)束語

為了提高四足機(jī)器人的越障能力，本文提出一種基于機(jī)體翻轉(zhuǎn)的臺階翻越方式，并對其進(jìn)行了運(yùn)動規(guī)劃和運(yùn)動學(xué)仿真分析。分析中將機(jī)器人的結(jié)構(gòu)簡化為平面連桿機(jī)構(gòu)，使得仿真分析變得簡單。在給定輸入規(guī)律的情況下，得出了翻越臺階過程中各關(guān)節(jié)的角位移變化曲線以及重心的移動軌跡，從運(yùn)動學(xué)角度驗(yàn)證了該越障方法的有效性和可行性。本文對足式機(jī)器人的越障方式進(jìn)行了有益的探索，為進(jìn)一步的研究提供了理論基礎(chǔ)。

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