夏 潔,龐兆君,金棟平

(南京航空航天大學(xué)振動(dòng)工程研究所,機(jī)械強(qiáng)度與振動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 ,江蘇 南京 210016)

引 言

繩系衛(wèi)星作為一種新型空間技術(shù)具有巨大潛力,正日益受到學(xué)術(shù)和航天界的關(guān)注[1～5]。繩系衛(wèi)星系統(tǒng)為高維非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng),由于繩系衛(wèi)星在工作狀態(tài)往往需要穩(wěn)定的狀態(tài)保持,因此研究狀態(tài)保持階段繩系衛(wèi)星的非線性行為具有重要意義。Nixon對(duì)于繩系衛(wèi)星面內(nèi)外動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行了解析和數(shù)值研究,給出了系統(tǒng)參數(shù)對(duì)于周期、概周期及混沌運(yùn)動(dòng)的影響[6]。 Fujii等研究了系繩彈性和軌道偏心率引起的繩系衛(wèi)星狀態(tài)保持階段的分叉問(wèn)題[7]。Misra等研究了狀態(tài)保持階段的面內(nèi)非線性動(dòng)力學(xué)[8]。此后,他們又考慮了面內(nèi)外耦合的三維繩系衛(wèi)星系統(tǒng),結(jié)果表明圓軌道和橢圓軌道均存在混沌運(yùn)動(dòng)且混沌區(qū)隨Hamilton函數(shù)的增加而增大。Celletti和 Sidorenko等研究了“啞鈴”型繩系衛(wèi)星系統(tǒng)在圓軌道及橢圓軌道上的姿態(tài)動(dòng)力學(xué)。研究表明,圓軌道繩系衛(wèi)星系統(tǒng)的局部平衡位置是穩(wěn)定的,而橢圓軌道的平衡位置呈現(xiàn)出周期時(shí)變性[9]。此后,他們還研究了不計(jì)系繩質(zhì)量時(shí)彈性連接的繩系衛(wèi)星系統(tǒng)面內(nèi)周期運(yùn)動(dòng)的分叉及其穩(wěn)定性問(wèn)題[10]。

當(dāng)考慮系繩彈性時(shí),由于系繩縱向和面內(nèi)俯仰運(yùn)動(dòng)耦合,使得繩系衛(wèi)星系統(tǒng)成為一復(fù)雜的含陀螺項(xiàng)的非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)。在現(xiàn)有的研究中,人們大多集中于周期、概周期、混沌及其運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性分析,而對(duì)繩系衛(wèi)星系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)耦合導(dǎo)致的非線性共振尚未有深入研究。本文針對(duì)一彈性繩系衛(wèi)星系統(tǒng)的非線性耦合振動(dòng)問(wèn)題,應(yīng)用多尺度方法研究了其在狀態(tài)保持階段的非線性共振,分析了可能的參數(shù)組合所導(dǎo)致的共振問(wèn)題,獲得了基于 Jacobi橢圓函數(shù)的繩系衛(wèi)星系統(tǒng) 2∶1內(nèi)共振的解析解。

1 系統(tǒng)模型

研究“彈簧-質(zhì)點(diǎn)”型面內(nèi)繩系衛(wèi)星系統(tǒng)。點(diǎn)質(zhì)量分別為m1和m2的衛(wèi)星通過(guò)質(zhì)量為mt的一均質(zhì)分布的彈簧相連,系統(tǒng)質(zhì)心O1沿偏心率為e的未擾 Kepler橢圓軌道運(yùn)動(dòng),考慮整個(gè)系統(tǒng)在軌道面內(nèi)運(yùn)動(dòng),如圖1所示。設(shè)彈簧僅發(fā)生沿其自身的縱向振動(dòng),只考慮重力梯度且重力場(chǎng)局部呈線性。建立固連于地心的慣性坐標(biāo)系O-XY和固連于系統(tǒng)質(zhì)心的軌道坐標(biāo)系O1-xy。軌道坐標(biāo)系單位矢量i和 j分別指向天頂和繩系衛(wèi)星系統(tǒng)的質(zhì)心飛行方向。

根據(jù)圖1可知,系統(tǒng)質(zhì)心和衛(wèi)星的位矢分別為

式中 l k=(-1)klk(i cosθ+ j sinθ)為衛(wèi)星相對(duì)系統(tǒng)質(zhì)心的位矢,其中l(wèi)k=l[1-(mk+ 0.5mt)/m],m=m1+m2+mt為系統(tǒng)總質(zhì)量。彈簧長(zhǎng)度l=l0(1+X),l0為未變形的彈簧原長(zhǎng),X為彈簧的線彈性應(yīng)變。系統(tǒng)的廣義主動(dòng)力Qr和慣性力Q*r為

式中 _e=3.986×1014m3/s2為地球重力常數(shù)。Tk=k(l-l0)lk/lk為彈簧張力,k為彈性系數(shù)。vkr為衛(wèi)星關(guān)于廣義坐標(biāo)的偽速度。根據(jù) Kane方程Qr+Q*r=0,可得狀態(tài)保持階段系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程

式中 “.”表示對(duì)真近點(diǎn)角ν的導(dǎo)數(shù),K=(1+e cosν)-1,無(wú)量綱彈性系數(shù) k0=ka3(1-e2)3/(m^_e),m^=m1(m2+mt)/m,a為橢圓軌道半長(zhǎng)軸。其中式中~m=(m1+0.5mt)(m2+0.5mt)/m-mt/6。方程(3)為繩系衛(wèi)星系統(tǒng)俯仰運(yùn)動(dòng)和系繩彈性變形相互耦合的自治非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng),可能存在非線性共振現(xiàn)象。

圖1 面內(nèi)繩系衛(wèi)星簡(jiǎn)化模型Fig.1 A simp lifiedmodel for in-plane tethered satellite

2 共振條件分析

軌道偏心率的作用是在動(dòng)力學(xué)方程中引入了一參數(shù)激勵(lì)?？紤]小軌道偏心率情形以致可令e=T e,這里T為一小量。此時(shí)方程(3)的派生系統(tǒng)成為

式中 c1=2H 1,c2=2H 3,k11=3,k22=k0-3H3。k 1,2為派生系統(tǒng)的固有頻率,滿足特征方程k4-(k11+

k22+c1 c2)k2+k11 k22=0,k 2＞ k 1。

考慮一次近似解的情況,系統(tǒng)固有頻率k1,2和激勵(lì)頻率k=1可能出現(xiàn) 2∶1內(nèi)共振、2次超諧共振、1/2次亞諧共振以及參激組合共振的情況。選取兩組典型參數(shù)分析上述共振發(fā)生的可能性。取彈簧線密度 0.04 kg/m,長(zhǎng)度 l=5 km,衛(wèi)星質(zhì)量m1=m2=100 kg。系統(tǒng)固有頻率k 1,2及其組合k2±k1隨參數(shù)k的變化如圖2(a),(b)所示?？梢?k2±k 1始終遠(yuǎn)離激勵(lì)頻率k=1。當(dāng)時(shí),k1≈2k,系統(tǒng)發(fā)生 1/2次亞諧共振,此時(shí)k2=2.110。取彈簧彈性系數(shù),系統(tǒng)固有頻率k1,2及其組合k2±k1隨參數(shù)l的變化如圖2(c),(d)所示。k1始終在附近,k2遠(yuǎn)大于固有頻率k1和激勵(lì)頻率k?？梢?系統(tǒng)可能會(huì)發(fā)生2∶1內(nèi)共振和 1/2次亞諧共振,但軌道偏心率所引起的亞諧共振并不會(huì)與系統(tǒng)內(nèi)共振同時(shí)發(fā)生。

圖2 橢圓軌道共振分析Fig.2 Resonance analysis for ellipticalorbit

3 內(nèi)共振分析

考慮到計(jì)入軌道偏心率后并不會(huì)影響系統(tǒng)的內(nèi)共振,下面具體分析圓軌道內(nèi)共振情形。此時(shí)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程簡(jiǎn)化為

為消除常數(shù)項(xiàng) ,可令a=X-2H3/H4,H4=k0-2H3。應(yīng)用多尺度法求解系統(tǒng)(6)的一次近似解[11]。設(shè)

式中 T0=ν,T1=Tν。 將式(7)代入方程 (6)并比較方程兩邊T的同次冪系數(shù)得到

式中 Dr= ?/?Tr,r= 0,1。 p1=1/k0,p2=p1/H4,c1=2H 1H4/k0,c2=2k0H 3/H4。方程(8a)為一含有陀螺項(xiàng)的耦合振動(dòng)系統(tǒng),設(shè)其解為式中 Γr=j c2k r/(k22-k r2),r=1,2,cc代表前面各項(xiàng)的共軛,k 1,2為系統(tǒng)的固有頻率。將式(9)代入方程(8b)發(fā)現(xiàn)滿足k2=2k1+Te,e=O(1)時(shí)系統(tǒng)發(fā)生內(nèi)共振。設(shè)方程(8b)的一個(gè)特解形如

根據(jù)可解性條件,有

式中

其中

整理后獲得消除永年項(xiàng)的條件為

式中 Br= c2 n1r-c1Γr n2r/(c2m1r-c1Γrm 2r)。 令A(yù)r(T1)=ar(T1)ejUr(T1)/2,代入方程(15)后分離實(shí)部和虛部,得到一階近似解振幅和相位滿足的微分方程組

式中 V=U2-2U1+e T1。由方程 (16a)和 (16b)獲得全微分關(guān)系

式中 λ=-B1/B2。 當(dāng)λ＞ 0時(shí) ,方程 (17)為 (a1,a2)平面上的橢圓;當(dāng)λ＜0時(shí),方程(17)為(a1,a2)平面上的雙曲線。本例中λ＞ 0。視a2為間接變量,由方程(16b)和 (16c)可得

利用全微分關(guān)系將方程(18)整理后,有

積分可得

a21a2 sin V-Be2a22= L= cons t (20)

式中的一元函數(shù)F(Y)和G(Y)分別定義為

通常,函數(shù) F(Y)與G(Y)有 3個(gè)交點(diǎn)。由于Y＞ 0,交點(diǎn)Y2和Y3對(duì)應(yīng)于定常解D1 a1=0,即原系統(tǒng)的周期振動(dòng)。當(dāng)Y∈ (Y2,Y3),原系統(tǒng)作非周期振動(dòng),如圖3所示。引入變換Y3-Y=(Y3-Y2)sin2y,式(21)即可借助

圖3 周期和非周期振動(dòng)條件Fig.3 The conditions for periodic and non-periodic oscillations

Jacobi橢圓函數(shù)進(jìn)行積分,從而給出

作為特例,當(dāng)函數(shù)G(Y)與F(Y)的一支相切時(shí)(Y2=Y3),則

此時(shí)原系統(tǒng)對(duì)應(yīng)周期振動(dòng)。然而,任意小擾動(dòng)都會(huì)導(dǎo)致函數(shù) F(Y)與 G(Y)有3個(gè)交點(diǎn),使其成為非周期振動(dòng)。

4 算例研究

首先分析實(shí)現(xiàn)完全內(nèi)共振的條件,即e=0。取無(wú)量綱參數(shù)H1=0.735,H 2=-1.326和 H3=0.526。當(dāng)彈性系數(shù) k=0.000 234 N/m或 k=0.000 408 N/m時(shí),系統(tǒng)滿足 2∶1完全內(nèi)共振條件,如圖4所示。

圖4 完全內(nèi)共振條件Fig.4 The conditions for fully resonance

現(xiàn)取 k=0.000 5N/m,獲得k1=1.541和k2=3.230,即任一非完全內(nèi)共振的情況進(jìn)行數(shù)值研究。設(shè)振幅和相位初值為a10=0.04,T20=0.02和U10=U20=0.01。使用方程(16)和解析解(24)計(jì)算a1和a2的時(shí)間歷程,結(jié)果如圖5所示。結(jié)果顯示在ν=12 rad時(shí),a1和a2分別達(dá)到最大值:a1的解析結(jié)果為 0.050 1,數(shù)值結(jié)果為 0.050 8;a2的解析結(jié)果為0.017 4,數(shù)值結(jié)果為0.017 2。在整個(gè)時(shí)間歷程內(nèi),a1的解析結(jié)果與數(shù)值結(jié)果的誤差絕對(duì)值始終小于 0.001,a2的誤差絕對(duì)值則始終在0.000 5以內(nèi)。解析結(jié)果和數(shù)值結(jié)果吻合較好。從圖5可見,兩種模態(tài)表現(xiàn)為異步振動(dòng),能量發(fā)生相互轉(zhuǎn)換:一個(gè)模態(tài)的能量減小時(shí),另一個(gè)模態(tài)的能量增大。

圖5 周期振動(dòng)響應(yīng)Fig.5 Periodic oscillation responses versusν

取參數(shù)W=k2-2k1,圖6給出了振幅最大值隨參數(shù)W的變化關(guān)系。由圖6(a)可知,a1的最大振幅為0.65,發(fā) 生在 W= 0.01,此 時(shí)彈性 系數(shù) k=0.000 419 N/m。 從圖6(b)可見,當(dāng)W∈ (-0.028,0.038),即k∈ (0.000 384,0.000 434)N/m時(shí) ,a2的振幅出現(xiàn)了飽和現(xiàn)象,始終保持在初值 0.02上。在參數(shù)W接近零時(shí),解析解和數(shù)值解吻合最好。

圖6 參數(shù)W對(duì)周期振動(dòng)最大幅值的影響Fig.6 The effect of parameter W on maximum of periodic oscillation

非線性振動(dòng)周期依賴于振幅。給定a20=0.01,研究a10對(duì)振動(dòng)周期的影響,圖7(a)給出了a10變化時(shí)數(shù)值積分得到的模態(tài)振幅運(yùn)動(dòng)的周期T與解析表達(dá)式計(jì)算得到的周期的對(duì)比?？梢钥闯龆呶呛陷^好。注意到a10=0.04時(shí),解析解得到的周期 T=40.8 rad和數(shù)值積分得到的周期T=39.7 rad均與圖6給出的算例一致。圖7(b)給出了根據(jù)解析表達(dá)式得到的周期隨初始振幅的變化情況。從圖7(b)可見,模態(tài)振幅運(yùn)動(dòng)的周期隨a10的增大而減小,隨a20的增大而增大。

圖7 初始模態(tài)幅值對(duì)周期的影響Fig.7 The effect of initia lmode amp litudes on the period

5 結(jié) 論

考慮彈性的繩系衛(wèi)星系統(tǒng)可發(fā)生非線性 2∶1內(nèi)共振,其模態(tài)幅值可借助Jacobi橢圓函數(shù)表示。結(jié)果表明,系統(tǒng)的周期運(yùn)動(dòng)只是臨界穩(wěn)定,任何微小的擾動(dòng)都會(huì)使其成為非周期運(yùn)動(dòng)。在非線性共振時(shí),模態(tài)振幅的周期與其初值有關(guān),振動(dòng)能量在兩個(gè)模態(tài)幅值間相互傳遞。在一個(gè)小的調(diào)諧參數(shù)范圍上,有一個(gè)模態(tài)振幅會(huì)出現(xiàn)飽和現(xiàn)象。

[1] Cosmo M L,Lorenzini E C.Tethers in Space Handbook(3rd ed.)[M].W ashington DC,NASA,1997.

[2] Modi V J,Lakshmanan P K,M isra A K.Dynam ics and contro l of tethered spacecraft:a brief overview[A].A IAA Dynam ics Specialist Conference[C].Long Beach,California,United States,1990.

[3] Kumar K D.Review of dynam ics and control of nonelectrodynam ic tethered satellite systems[J].Journal of Spacecraftand Rockets,2006,43(4):705—720.

[4] Cartmell M P,M ckenzie D J.A review of space tether research[J]. Progress in Aerospace Sciences,2008,44(1):1—21.

[5] W en H,Jin D P,Hu H Y.Advances in dynam ics and control of tethered satellite systems[J].Ac ta Mechanica Sinica,2008,24(3):229—241.

[6] Nixon M S.Nonlinear dynam ics and chaos of tethered satellite system[D].PhD Thesis,Department of Mechanical Engineering M cGill University,Montreal,1996.

[7] Fujii H A,IchikiW.Nonlinear dynamics of the tethered subsatellite system in the station keeping phase[J].Journal of Guidance,Contro l,and Dynamics,1997,20(2):403—406.

[8] M isra A K,Nixon M S,ModiV J.Nonlinear dynamics of two-body tethered satellite system s: Constant length case[J].Journal of the Astronautical Sciences,2001,49(2):219—236.

[9] Celletti A,Sidorenko V V.Some properties of the dumbbell satelliteattitude dynam ics[J].Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy,2008,101(1-2):105—126.[10]Sidorenko V V,Celletti A A.“ Spring-mass” modelof

tethered satellite system s:p roperties of p lanar periodic motions[J].CelestialMechanics and Dynam ical A stronomy,2010,107(1-2):209—231.

[11]Nayfeh A H,Mook D T.Non linear Oscillations[M].New York:W iley InterScience,1979.