王 艷, 楊 慧, 鄭 麗, 姜文英, 潘淑梅, 鄭泰玉

(1. 長(zhǎng)春職業(yè)技術(shù)學(xué)院 汽車分院, 長(zhǎng)春 130033; 2. 東北師范大學(xué) 物理學(xué)院, 長(zhǎng)春 130024; 3. 大連工業(yè)大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院, 遼寧 大連 116034; 4. 桂林電子科技大學(xué) 電子工程與自動(dòng)化學(xué)院, 廣西 桂林 541004)

玻色-愛(ài)因斯坦凝聚(BEC)在光學(xué)、 原子分子物理、 凝聚態(tài)物理、 激光物理、 統(tǒng)計(jì)物理和材料學(xué)等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛[1-4]. Casimir效應(yīng)在量子場(chǎng)論、 凝聚態(tài)物理、 原子和分子物理、 萬(wàn)有引力和宇宙學(xué)及數(shù)學(xué)物理等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛[5-6]. Casimir力是由真空電磁場(chǎng)中的零點(diǎn)漲落產(chǎn)生的, 并在實(shí)驗(yàn)上分別測(cè)量到吸引力和排斥力[7-8]. 目前, Casimir效應(yīng)的研究已引起人們廣泛關(guān)注[9].

在凝聚體中, 若將雜質(zhì)作為邊界, 則系統(tǒng)的能量與雜質(zhì)間的距離有關(guān), 雜質(zhì)間也會(huì)產(chǎn)生作用, 這種類似于真空中的Casimir效應(yīng)稱為類Casimir效應(yīng)[10]. 本文應(yīng)用Riemann Zeta函數(shù)研究一維真空壓縮態(tài)玻色-愛(ài)因斯坦凝聚體雜質(zhì)間的Casimir效應(yīng).

1 雜質(zhì)間的Casimir力

本文采用類似文獻(xiàn)[10]的模型, 假設(shè)Bose-Einstein凝聚體系采用一維有質(zhì)量的標(biāo)量場(chǎng)方程描述:

(1)

其中m為玻色子質(zhì)量. 其邊界條件滿足

φ(t,0)=φ(t,a).

(2)

將式(2)代入式(1)可得:

(3)

其中

(4)

對(duì)場(chǎng)量子化可得

(5)

(6)

能量密度算符為

(7)

系統(tǒng)的Hamilton量為

(8)

將式(7)代入式(8)可得系統(tǒng)的Hamilton量為

(9)

在壓縮真空態(tài)下, 雜質(zhì)間的能量可表示為

(10)

其中Sn為單模壓縮算符, 表達(dá)式為

(11)

式中λn為第n個(gè)模式的壓縮系數(shù).

利用

(12)

以及式(3)～(9), 可將式(10)變?yōu)?/p>

(13)

為簡(jiǎn)單, 考慮λn=λ,m=0的情況. 利用公式

(14)

(15)

當(dāng)λ=0時(shí), 可得真空態(tài)下的Casimir力

(16)

由方程(15)和(16)可見(jiàn), 在壓縮態(tài)下相距為d′的雜質(zhì)間Casimir力與真空態(tài)下相距為a的雜質(zhì)間Casimir力相等.

2 數(shù)值計(jì)算與分析

圖1 壓縮態(tài)的類Casimir力F隨雜質(zhì)間 距離a的變化關(guān)系Fig.1 Plots of the force F versus a at different values of λ

在不同的壓縮系數(shù)λ下, 壓縮態(tài)的類Casimir力F隨雜質(zhì)間距離a的變化關(guān)系如圖1所示, 其中曲線a對(duì)應(yīng)λ=0, 即真空態(tài)的情況; 曲線b和c分別對(duì)應(yīng)λ=0.7和λ=1.2, 即壓縮態(tài)情況. 由圖1可見(jiàn): Casimir力F隨雜質(zhì)間的距離a增大而變小; 壓縮系數(shù)越大, 力越大; 在真空態(tài)下力最小.

綜上, 本文計(jì)算了壓縮態(tài)下理想玻色-愛(ài)因斯坦凝聚體中的類Casimir能量和力, 并給出了類Casimir力隨壓縮系數(shù)和雜質(zhì)間距離的變化關(guān)系. 對(duì)于一維情況, 在壓縮態(tài)或真空態(tài)下, Casimir能量與距離均為負(fù)二次冪的關(guān)系. 由于d′>a, 因此當(dāng)玻色-愛(ài)因斯坦凝聚體中雜質(zhì)的間距相同時(shí), 壓縮態(tài)下的雜質(zhì)間類Casimir力大于真空態(tài)下的雜質(zhì)間類Casimir力. 表明在壓縮態(tài)下更利于在實(shí)驗(yàn)中測(cè)得玻色-愛(ài)因斯坦凝聚體中雜質(zhì)間的力.

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