時彬彬，李仁所，沈有建

（1.海南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，海南 ?？?571158；

2.山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 信息學(xué)院數(shù)學(xué)系，山東 泰安 271018）

關(guān)于實(shí)對稱矩陣慣性定理的新證明

時彬彬1，2，李仁所2，沈有建1

（1.海南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，海南 ?？?571158；

2.山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 信息學(xué)院數(shù)學(xué)系，山東 泰安 271018）

由實(shí)對稱矩陣與實(shí)二次型的聯(lián)系，巧妙地選取兩組等價向量代入實(shí)二次型，依據(jù)結(jié)果及向量組的性質(zhì)給出慣性定理的證明，簡明清晰.

實(shí)對稱矩陣；二次型；等價向量組；慣性定理

實(shí)對稱矩陣的合同問題是代數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，它可以視為實(shí)多項(xiàng)式的實(shí)二次型中的問題.實(shí)對稱矩陣的合同的一個重要定理是慣性定理，由此給出了實(shí)對稱矩陣的正、負(fù)慣性指數(shù)（標(biāo)）及符號差等重要概念.在線性代數(shù)中，慣性定理的傳統(tǒng)證明，理論準(zhǔn)備較多，證明相對繁雜，而本文利用選取的兩組等價向量組所對應(yīng)的二次型值的符號，簡單且巧妙地給出了慣性定理的證明.

慣性定理是指二次型f（X）的規(guī)范型具有惟一性，即正負(fù)慣性指數(shù)（標(biāo)）是定值.

慣性定理若實(shí)二次型f（X）=XTAX經(jīng)過非退化線性變換

證明 由已知條件|P|≠0,|Q |≠0可知，矩陣P，Q都是可逆的.又由條件其中矩陣Q-1P與P-1Q都是可逆的.由此知向量Y與Z一一對應(yīng)（等價）.所以若Y任取一組向量Y1，Y2，…，Yt，則由（1）可得到惟一的一組向量Z1，Z2，…，Zt，其滿足事實(shí)上，若向量組Y1，Y2，…，Yt線性無關(guān)，則Z1，Z2，…，Zt也線性無關(guān).若不然，Z1，Z2，…，Zt線性相關(guān)，則存在不全為零的系數(shù)k1，k2，…，kt，使得

兩邊同乘以矩陣P-1Q，得

從而向量組Y1，Y2，…，Yt線性相關(guān)，矛盾.同理可證若Y1，Y2，…，Yt線性相關(guān)，則Z1，Z2，…，Zt線性無關(guān)，向量組Z1，Z2，…，Zt線性無關(guān).

因此，空間 ZI∩ZII=0 的秩不超過p+（n-q）=n+p-q≤n，故有p≤q.同理可得q≤p.因此得p=q，證畢.

[1]張禾瑞.郝鈵新.高等代數(shù):第5版[M].北京:高等教育出版社,2007.

[2]徐麗媛,孟道驥.關(guān)于實(shí)對稱矩陣的慣性定理[J].常熟理工學(xué)院學(xué)報:自然科學(xué)版,2007,21(10):1-6.

[3]趙立寬,齊登記.線性代數(shù)中幾個定理的矩陣證法[J].洛陽大學(xué)學(xué)報,2005,20(2):105-107.

[4]史秀英.線性代數(shù)中兩個定理的矩陣證明[J].赤峰學(xué)院學(xué)報:自然科學(xué)版,2008,24(1):16-17.

New Proof of the Theorem Inertia on the Real Symmetric Matrix

SHI Binbin1，2，LI Rensuo2，SHEN Youjian1
（1.College of Mathematics and Statistics，Hainan Normal University，Haikou571158，China；
2.Department of Mathematics，Shandong Agricultural University，Taian271018，China）

Based on the connection of the real symmetric matrix and real quadratic form,two equal selected vector were introduced into real quadratic forms,according to the results and the nature of the vector group,the inertia theorem was proved concisely and clealy.

real symmetric matrix；quadratic form；equivalent vectors；inertia theorem

O 151.2

A

1674-4942（2012）01-0026-02

2011-12-07

畢和平