蔡美香

(中南林業(yè)科技大學(xué) 理學(xué)院，湖南 長沙 410004)

大學(xué)本科非數(shù)學(xué)專業(yè)《線性代數(shù)》課程教學(xué)中的思維訓(xùn)練

蔡美香

(中南林業(yè)科技大學(xué) 理學(xué)院，湖南 長沙 410004)

在大學(xué)本科非數(shù)學(xué)專業(yè)《線性代數(shù)》課程教學(xué)中的思維能力的訓(xùn)練主要是邏輯思維能力與創(chuàng)造性思維能力的訓(xùn)練。論文對邏輯思維的分析與綜合、分類與比較、抽象與概括，歸納與演繹四種思維過程，創(chuàng)造性思維中的發(fā)散性思維和逆向思維分別舉例說明其訓(xùn)練過程，以期達(dá)到提高學(xué)生整體思維水平的目的。

《線性代數(shù)》；邏輯思維能力訓(xùn)練；創(chuàng)造性思維能力訓(xùn)練。

1 引言

美國自然科學(xué)基金會(huì)最近指出：“當(dāng)代自然科學(xué)的研究正在日益呈現(xiàn)出數(shù)學(xué)化的趨勢”。數(shù)學(xué)在當(dāng)代科技、文化、社會(huì)、經(jīng)濟(jì)和國防等諸多領(lǐng)域有著特殊重要的地位?！毒€性代數(shù)》作為高校理工科專業(yè)甚至部分文科專業(yè)開設(shè)的一門數(shù)學(xué)公共基礎(chǔ)課，著重訓(xùn)練學(xué)生掌握一些有用的運(yùn)算工具和算法，為學(xué)生學(xué)習(xí)本專業(yè)的其他課程提供有力的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，并為學(xué)生處理實(shí)際應(yīng)用問題提供解決多元線性問題的有效工具。同時(shí)，《線性代數(shù)》課程注重對學(xué)生進(jìn)行邏輯思維能力和創(chuàng)造性思維能力的訓(xùn)練，這兩種思維能力的培養(yǎng)，將會(huì)使學(xué)生受益終生。

作為《線性代數(shù)》的授課教師，在教學(xué)上要注意處理好講授算法和進(jìn)行思維訓(xùn)練這兩方面的關(guān)系，合理的安排教學(xué)時(shí)間。在長期的教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，大學(xué)本科非數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生對算法的掌握度普遍較好，而對思維訓(xùn)練普遍反映較難，部分同學(xué)甚至有抵觸情緒。鑒于此，探討在《線性代數(shù)》的教學(xué)過程中這兩種思維能力的訓(xùn)練方法是非常有必要的。

2 《線性代數(shù)》課程教學(xué)中邏輯思維能力的訓(xùn)練

邏輯思維，是指人們在認(rèn)識過程中借助于概念、判斷、推理等思維形式能動(dòng)地反映客觀現(xiàn)實(shí)的理性認(rèn)識過程，又稱理論思維。只有經(jīng)過邏輯思維，人們才能達(dá)到對具體對象本質(zhì)的把握，進(jìn)而認(rèn)識客觀世界。它是人的認(rèn)識的高級階段，即理性認(rèn)識階段。邏輯思維能力是指正確、合理思考的能力，即對事物進(jìn)行觀察、比較、分析、綜合、抽象、概括、判斷、推理的能力，采用科學(xué)的邏輯方法，準(zhǔn)確而有條理地表達(dá)自己思維過程的能力。

邏輯思維能力不僅是學(xué)好數(shù)學(xué)必須具備的能力，也是學(xué)好其他學(xué)科，處理日常生活問題所必須的能力。邏輯思維能力是在發(fā)現(xiàn)問題與解決問題的過程中鍛煉出來的。在《線性代數(shù)》的教學(xué)過程中，最有效的訓(xùn)練學(xué)生邏輯思維能力的方法是教師提問，由學(xué)生獨(dú)立思考或相互討論得出答案。具體來說，由于邏輯思維有分析與綜合、分類與比較、抽象與概括，歸納與演繹四種思維過程，下面分別就《線性代數(shù)》的教學(xué)過程舉例說明。

2.1 分析與綜合

分析是在思維中把對象分解為各個(gè)部分或因素，分別加以考察的邏輯方法。綜合是在思維中把對象的各個(gè)部分或因素結(jié)合成為一個(gè)統(tǒng)一體加以考察的邏輯方法。

以行列式按行展開法則的證明為例?？紤]的對象為一般的n階行列式應(yīng)用分析法，將之分解為如下n個(gè)特殊的行列式：

分別考慮每一個(gè)特殊行列式的值，通過逐行對調(diào)與逐列對調(diào)，可將第i行的元素aij調(diào)到第一行第一列的位置，且除第i行外，其余行的元素的上下左右位置不變，可分別得出如上n個(gè)行列式的值分別為提出問題：綜合考慮這n個(gè)行列式的和，會(huì)有什么結(jié)論？這就是行列式按第i行展開公式

2.2 分類與比較

根據(jù)事物的共同性與差異性就可以把事物分類，具有相同屬性的事物歸入一類，具有不同屬性的事物歸入不同的類。比較就是比較兩個(gè)或兩類事物的共同點(diǎn)和差異點(diǎn)，通過比較就能更好地認(rèn)識事物的本質(zhì)。

以逆矩陣概念的提出為例。眾所周知，數(shù)有加、減、乘，除四種基本運(yùn)算，矩陣也有加、減、乘積運(yùn)算，唯獨(dú)沒有“除”的運(yùn)算。對于數(shù)的除法，有，若b=0，那么a÷b無意義。提出問題：矩陣運(yùn)算中是否有類似于“倒數(shù)”的概念呢？在數(shù)字運(yùn)算中，有一個(gè)特殊的數(shù)字“1”，當(dāng)a≠0時(shí)，有聯(lián)想到矩陣當(dāng)中有一個(gè)特殊矩陣E，它在矩陣中的特殊性類似于數(shù)字“1”在數(shù)中的特殊性，于是順理成章的提出逆矩陣的概念，若有則記或繼續(xù)思考矩陣A存在逆矩陣的充要條件，必要性直接由定義等式兩邊同時(shí)做行列式運(yùn)算可推出充分性需另證（由可得）。當(dāng)矩陣可逆時(shí)，若形式上需要除以一個(gè)矩陣，可以用乘上這個(gè)矩陣的逆矩陣來做，比如解系數(shù)矩陣為方陣的線性方程組當(dāng)|A|≠ 0時(shí)，但是這里不得不比較矩陣乘以逆矩陣與數(shù)乘以倒數(shù)的差別但前例這是因?yàn)閿?shù)與數(shù)相乘是可以交換順序的，而矩陣與矩陣相乘，不一定能交換順序。矩陣形式上的除法本質(zhì)上是做矩陣乘法，如上例本質(zhì)上是由等式兩邊同時(shí)左乘得來，這里一定要注意是左乘逆矩陣還是右乘逆矩陣。

2.3 抽象與概括

抽象就是運(yùn)用思維的力量，從對象中抽取它本質(zhì)的屬性，拋開其他非本質(zhì)的東西。概括是在思維中從單獨(dú)對象的屬性推廣到這一類事物的全體的思維方法。

以用矩陣的初等變換解線性方程組為例，取教材[1]中第三章第一節(jié)中引例：

在用消元法解線性方程組的過程中對線性方程組施行了如下三種變換：①交換兩個(gè)方程的位置；②某個(gè)方程乘上一個(gè)不為零的數(shù)；③一個(gè)方程乘上一個(gè)數(shù)后加到另一個(gè)方程。施行這三種變換后得到的新的線性方程組與原方程組是同解的。我們對如上過程進(jìn)行抽象分析，就會(huì)發(fā)現(xiàn)，消元的本質(zhì)就是通過如上三種變換將某個(gè)方程的某個(gè)未知變元的系數(shù)變?yōu)?。若固定未知變元的順序，第1-4列分別代表第五列代表常數(shù)項(xiàng)b，實(shí)際上以上過程只是對方程組的系數(shù)和常數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，未知數(shù)并沒有參與運(yùn)算。于是，可將方程組的系數(shù)和常數(shù)構(gòu)成一個(gè)增廣矩陣，對增廣矩陣施行如下相應(yīng)的初等行變換：

繼續(xù)施行行初等變換直到將矩陣化成行最簡形，得出方程組的通解。對如上過程進(jìn)行概括總結(jié)，可以將矩陣的初等行變換應(yīng)用到解一般的具有n個(gè)未知變元，m個(gè)方程的線性方程組中。同時(shí)，提出問題：“是否可以應(yīng)用矩陣的初等列變換來解題呢？”只要學(xué)生對這種方法的本質(zhì)把握好了，相信不難得出“前n-1列可以交換，但要注意各列所代表的未知變元要跟著走，最后一列代表常數(shù)列，不可以和前面的列進(jìn)行交換”的正確答案。這里還可繼續(xù)對學(xué)生進(jìn)行創(chuàng)造性思維的訓(xùn)練：提出問題：矩陣的初等列變換對不同形式的通解起了一個(gè)什么樣的作用？學(xué)生會(huì)繼續(xù)思考：行階梯形矩陣中階梯口所在的列所代表的未知變元為非自由未知量，應(yīng)用矩陣的初等行變換解線性方程組，有盡量選擇前面的未知變元做非自由未知量的趨勢，而矩陣的初等列變換可能會(huì)改變非自由未知量的選擇，因此可能會(huì)得到不同形式的通解。

2.4 歸納與演繹

歸納是從個(gè)別性的前提推出一般性的結(jié)論，前提與結(jié)論之間的聯(lián)系是或然性的。以非齊次線性方程組Ax=b解的結(jié)構(gòu)為例。提出問題：能否由齊次線性方程組Ax=0的通解歸納得出Ax=b的通解？若Ax=0的通解為設(shè)Ax=b的任意的一個(gè)解為的一個(gè)特解，那么必為的解，可以得到于是得出非齊次線性方程組Ax=b解的結(jié)構(gòu)：非齊通=齊通+非齊特。

演繹是從一般性的前提推出個(gè)別性的結(jié)論，前提與結(jié)論之間的聯(lián)系是必然性的。以矩陣的對角化與對稱矩陣的對角化為例。我們知道，n階矩陣A能夠?qū)腔某湟獥l件是存在n個(gè)線性無關(guān)的特征向量構(gòu)成可逆矩陣使得這是對任意矩陣的一個(gè)一般性的結(jié)論。提出問題：對稱矩陣對角化時(shí)有什么更特殊的結(jié)論嗎？由于對稱矩陣的特征值全為實(shí)數(shù)，且不同的特征值所對應(yīng)的特征向量是正交的，可以得出一個(gè)更特別的結(jié)論：對稱矩陣一定可以對角化，且存在矩陣P，不但是可逆的，而且是正交的，使得

3 《線性代數(shù)》課程教學(xué)中創(chuàng)造性思維能力的訓(xùn)練

創(chuàng)造性思維是一種具有開創(chuàng)意義的思維活動(dòng)，即開拓人類認(rèn)識新領(lǐng)域，開創(chuàng)人類認(rèn)識新成果的思維活動(dòng)。狹義上，它往往表現(xiàn)為發(fā)明新技術(shù)、形成新觀念，提出新方案和決策，創(chuàng)建新理論。從廣義上講，創(chuàng)造性思維不僅表現(xiàn)為作出了完整的新發(fā)現(xiàn)和新發(fā)明的思維過程，而且還表現(xiàn)為在思考的方法和技巧上，在某些局部的結(jié)論和見解上具有新奇獨(dú)到之處的思維活動(dòng)。

在《線性代數(shù)》課程的教學(xué)過程中主要是嘗試訓(xùn)練學(xué)生廣義上的創(chuàng)造性思維。學(xué)生形成創(chuàng)造性思維的主要條件是強(qiáng)烈的好奇心、堅(jiān)強(qiáng)的信念和永不滿足的求知欲，以及有關(guān)的廣博知識，主要表現(xiàn)在想像、尤其是創(chuàng)造性想像的參與。對于非數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生，除了要關(guān)注一般人才的培養(yǎng)，還需重視各類優(yōu)秀人才的培養(yǎng)問題。對學(xué)生創(chuàng)造性思維的訓(xùn)練，為優(yōu)秀人才的迅速成長創(chuàng)造了良好的條件，營造了良好的環(huán)境。在《線性代數(shù)》課程的教學(xué)實(shí)踐中，對學(xué)生創(chuàng)造性思維的訓(xùn)練，主要表現(xiàn)在對學(xué)生發(fā)散性思維和逆向思維的引導(dǎo)上。

3.1 發(fā)散性思維

發(fā)散性思維由美國著名心理學(xué)家Guiford于1967年提出，創(chuàng)造性思維的本質(zhì)是發(fā)散思維，又稱求異思維、擴(kuò)散思維等，是指沿著各種不同的方向去思考，重組眼前的信息和記憶系統(tǒng)的信息，從而產(chǎn)生出大量獨(dú)特的新思想。它克服了常規(guī)思維中單向思維的缺陷，是一種不依常規(guī)、尋求變異，從多方面探索答案的思維形式，是創(chuàng)造性思維的重要組成部分。

“一題多解”是發(fā)散性思維的一種典型表現(xiàn)，體現(xiàn)在課程內(nèi)容上，即“一個(gè)內(nèi)容，多種解釋”。以最簡單的解線性方程組為例，繼續(xù)將前述引例進(jìn)行初等行變換，直至化成行最簡形，可得與原方程組同解的線性方程組為

3.2 逆向思維

逆向思維，是指在思維活動(dòng)時(shí)，從相反方向去觀察和思考，避免單一正向思維和單向度的認(rèn)識過程的機(jī)械性，這樣往往獨(dú)具一格，常常導(dǎo)致創(chuàng)造性的發(fā)現(xiàn)，取得突破性的成果。逆向思維也是創(chuàng)造性思維的組成部分。

則逆向命題不成立。這里可以繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生分別就這兩種情形舉出示例。

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.線性代數(shù)[M].北京:高等教育出版社,2007.

[2]課題組.數(shù)學(xué)學(xué)科專業(yè)發(fā)展戰(zhàn)略研究報(bào)告[J].中國大學(xué)教學(xué),2005,(3):4-9.

[3]鄔學(xué)軍,唐明.線性代數(shù)是藍(lán)色的——大學(xué)非數(shù)學(xué)專業(yè)《線性代數(shù)》的課程設(shè)計(jì)[J].大學(xué)數(shù)學(xué),2008,(6):12-16.

[4]皋古之.線性代數(shù)教學(xué)中學(xué)生創(chuàng)新思維的培養(yǎng)[J].新思路,2011,(10):38-39.

[5]李毅夫.線性代數(shù)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維[J].高師理科學(xué)刊,2007,(6):103-105.

[6]喻光偉.線性代數(shù)中的一些邏輯形式分析[J].教育與人才,2009,(25):107-108.

G642

A

1673-2219（2012）08-0013-04

2012－04－05

中南林業(yè)科技大學(xué)人才引進(jìn)基金，編號104-0163。

蔡美香（1981－），女，湖南邵陽人，博士，主要從事動(dòng)力系統(tǒng)的分支和混沌理論研究。

（責(zé)任編校：京華，俊華）