□胡天翼 □劉 寧 □邱明星（西安交通大學(xué)）

1.前言

含圓孔平板在自身受力時(shí)出現(xiàn)的應(yīng)力集中問(wèn)題是工程中普遍存在的問(wèn)題，其平面模型是彈性力學(xué)中的經(jīng)典模型，已有了精確的解析。與平面問(wèn)題相比，考慮了厚度效應(yīng)和三維尺寸效應(yīng)的三維分析更加符合工程實(shí)際，因此也更具有指導(dǎo)意義；同時(shí)伴隨受力增加材料進(jìn)入彈塑性狀態(tài)時(shí)，也會(huì)出現(xiàn)許多彈性狀態(tài)下不具有的特性。然而由于三維狀態(tài)下的帶孔板不僅在圓孔周圍存在應(yīng)力集中，同時(shí)還存在復(fù)雜的三維效應(yīng)區(qū)，應(yīng)力結(jié)構(gòu)十分復(fù)雜，應(yīng)力集中與平面狀態(tài)有著本質(zhì)不同；加之構(gòu)件塑性區(qū)的不斷增大還會(huì)導(dǎo)致圓孔周圍應(yīng)力集中的重新分布，亦與彈性狀態(tài)有著顯著差別，討論起來(lái)十分繁瑣。因此目前對(duì)帶圓孔板的研究主要集中于對(duì)構(gòu)件進(jìn)行彈性分析；或假定平板厚度足夠小，使各項(xiàng)參數(shù)能夠在厚度方向均勻分布。朱曉東等對(duì)不同尺寸含圓孔板的應(yīng)力集中情況作了橫向?qū)Ρ?，但其結(jié)果只適用于處在彈性階段的材料。

文章通過(guò)對(duì)含圓孔平板的三維有限元計(jì)算，研究了構(gòu)件處于彈塑性階段時(shí)三維應(yīng)力場(chǎng)的分布，分析了彈塑性狀態(tài)下應(yīng)力集中的大小和位置與材料尺寸、受力之間的關(guān)系，同時(shí)還描述了彈塑性狀態(tài)下圓孔附近三維應(yīng)力的約束程度。文章主要選取試樣厚度作為變量，來(lái)對(duì)比三維試樣與二維試樣、彈塑性分析與彈性分析之間的異同。

2.分析參數(shù)的定義和有限元模型介紹

2.1 分析參數(shù)的定義

在物體幾何形狀或載荷發(fā)生突變的地方，會(huì)出現(xiàn)隨著遠(yuǎn)離突變點(diǎn)而迅速衰減的局部高應(yīng)力，這種現(xiàn)象稱為應(yīng)力集中。通常用應(yīng)力集中系數(shù)

來(lái)表示其嚴(yán)重程度，式中σmax為最大局部應(yīng)力，為不考慮局部效應(yīng)時(shí)的計(jì)算應(yīng)力，稱為名義應(yīng)力。由于局部高應(yīng)力是引起疲勞裂紋或脆性斷裂的根源，所以確切的應(yīng)力集中數(shù)據(jù)對(duì)構(gòu)件和機(jī)械設(shè)計(jì)至關(guān)重要。

為了更清楚地描述有限厚度板圓孔邊緣附近應(yīng)力場(chǎng)的三維特性以及離面應(yīng)力的影響，引入一個(gè)約束參數(shù)來(lái)描述沿厚度的應(yīng)力分布情況，即離面約束系數(shù)

式中：σxx、σyy、σzz分別為 x、y、z方向的正應(yīng)力。在彈性階段Tz介于0和之間，Tz=0和Tz=ν分別對(duì)應(yīng)于平面應(yīng)力和平面應(yīng)變狀態(tài)，ν為材料的泊松比。

2.2 有限元分析模型

由前所述，三維彈塑性狀態(tài)應(yīng)力結(jié)構(gòu)十分復(fù)雜，因此模型計(jì)算借助大型有限元計(jì)算軟件ANSYS-10.0完成。選取1/8試樣，坐標(biāo)原點(diǎn)位于板厚中面圓心，在試樣長(zhǎng)度、寬度、厚度中面加載對(duì)稱約束，圓孔遠(yuǎn)端沿y方向加載大小為N的均勻拉應(yīng)力。圓孔的半徑r=10mm，板的長(zhǎng)度 2L=400mm，寬度 2W=200mm(當(dāng) r/W<5時(shí)，可近似認(rèn)為圓孔很小，試樣為無(wú)限大)，厚度為2B，如圖1所示：

圖1 模型的網(wǎng)格劃分圖

在分析中，采用8節(jié)點(diǎn)三維實(shí)體單元，沿試樣的1/2厚度處取15層單元，每層單元的厚度從板的厚度中面到表面逐漸減小，間距比率取0.1。在每一單元層的圓孔周圍畫出三倍半徑大小的細(xì)化區(qū)，采用映射劃分(應(yīng)力集中和塑性區(qū)主要出現(xiàn)在三倍半徑范圍以內(nèi))，三倍半徑以外區(qū)域單元尺寸較大(經(jīng)實(shí)測(cè)將二維平板照此方式劃分網(wǎng)格，計(jì)算結(jié)果能很好地符合解析解，誤差在1%以內(nèi))。在板遠(yuǎn)端作用有σ的均勻分布拉應(yīng)力，材料的彈性模量和泊松比分別為200G和0.3，屈服強(qiáng)度300MPa，切線模量為0，本構(gòu)關(guān)系見(jiàn)圖2。

圖2 材料本構(gòu)的定義圖

3.計(jì)算結(jié)果分析

3.1 試樣塑性區(qū)的擴(kuò)展

塑性區(qū)是指試件內(nèi)部出現(xiàn)塑性應(yīng)變的部分，在彈塑性分析中，塑性區(qū)的位置和大小對(duì)試樣性能有著直接的影響，同時(shí)塑性區(qū)的存在也是材料會(huì)表現(xiàn)出異于彈性狀態(tài)的性能的關(guān)鍵。因此，對(duì)試樣隨著受力增加導(dǎo)致的塑性區(qū)范圍的擴(kuò)大有一個(gè)直觀的認(rèn)識(shí)非常有必要。

試樣取固定尺寸 2L=400，2W=200，B=15，r=10。由于材料屈服強(qiáng)度設(shè)定為300MPa，因此在加載拉力N達(dá)到接近100MPa的值時(shí)材料會(huì)保持彈性狀態(tài)。這里將N分別取120MPa、150 MPa、170MPa、200MPa、230MPa和 260MPa，作出在上述拉力下圓孔邊緣左視圖屈服區(qū)的分布。

圖1中左面為試樣中面，左下角落為中面圓孔根部，由下向上為y軸正方向，由左向右為z軸正方向，圖中彩色部分都為塑性應(yīng)變區(qū)。從圖中可以看出，三維帶圓孔板的應(yīng)力集中最大處往往出現(xiàn)在y=0的試樣受拉對(duì)稱面上。隨著拉力的增大，屈服區(qū)自試樣中面圓孔根部開(kāi)始向外擴(kuò)展，屈服區(qū)的應(yīng)變值亦隨拉力的增大而增大，尤其是拉力為230MPa和260MPa時(shí)，塑性區(qū)已經(jīng)達(dá)到很大。

3.2 圓孔根部三維應(yīng)力場(chǎng)分析

為清楚描述處于彈塑性狀態(tài)的三維試樣應(yīng)力分布，我們自Ansys中提取模型受力對(duì)稱面(即y=0面)，分別對(duì)x、y、z三向應(yīng)力做出三維分布圖。統(tǒng)一取八分之一模型，B=15mm，L=200mm，W=100mm，r=10mm，N=230MPa(230MPa已經(jīng)接近平面應(yīng)力狀態(tài)的材料能承受的最大值)。

3.2.1 當(dāng)σx沿x和厚度z的分布,z=0為板的厚度中面，x/r=0為圓孔邊緣。在x方向上，σx初始值為0，從離開(kāi)圓孔表面后急劇上升，在距圓孔邊緣約一倍半徑處達(dá)到最大值，隨后開(kāi)始逐漸下降，在距圓孔邊緣約五倍半徑以后幾乎趨近于零；在z方向上，σx在厚度中面值最大，然后隨距中面距離的增大緩慢減小，減小的幅度逐漸增大，在接近表面處約z=12時(shí)達(dá)到最小值，然后隨著距表面距離的減小而略有回升。

3.2.2 當(dāng)σy沿x和厚度z的分布，在x方向上，當(dāng)x/r=0即在圓孔邊緣時(shí)，σy的值己經(jīng)很大，然后隨距圓孔邊緣距離的增大而急劇上升，在約一倍半徑內(nèi)達(dá)到最大值，后又急速單調(diào)下降，在3倍半徑距離遠(yuǎn)處已逐漸趨于N=230MPa；在z方向上，可以看到在板的厚度中面(z=0)σy的值最大，隨著離中面距離的增大σy逐漸下降且下降幅度遞增。

與彈性狀態(tài)相比，處于彈性狀態(tài)的材料σy的最大值應(yīng)在圓孔根部即x/r=0處取得。但對(duì)處于彈塑性狀態(tài)的試樣，σy的最大值處總是距離圓孔根部在x方向有一定距離，此處也是應(yīng)力集中最為明顯的位置，對(duì)于整個(gè)試樣的應(yīng)力集中系數(shù)最大值Ktmax也應(yīng)在此處取得[3]。

3.2.3 當(dāng)σz沿x和厚度z的分布，在x方向上，可以看出σz所產(chǎn)生影響的區(qū)域大約在距圓孔表面的一倍半徑的范圍內(nèi)，變化規(guī)律為先隨離圓孔邊緣距離的增加增大達(dá)最大值后急劇下降，在一倍半徑范圍以外σz的值基本為零；在z方向上，σz在板厚中面的值最大，后隨著離中面距離的增大而逐漸減小，離表面越近減小的速度越快，在達(dá)到表面時(shí)己降到零。

與彈性狀態(tài)所不同的是，處于彈性狀態(tài)的式樣σz沿x方向的分布是單調(diào)遞減的，并不存在在圓孔附近的上升段，其離面約束系數(shù)Tz也總在x=0處取得；相比之下彈塑性狀態(tài)的試樣在圓孔附近一倍半徑的范圍內(nèi)，才能達(dá)到最大值。另外由上述分析可知，無(wú)論是σx、σy還是σz，其沿厚度方向都不是均勻分布的。略作對(duì)比便可知，三維狀態(tài)下某一位置厚度方向的應(yīng)力最大值總是大于相同條件下平面狀態(tài)的應(yīng)力值，因此在實(shí)際工程中考慮材料的三維效應(yīng)很有必要。

3.3 三維彈塑性狀態(tài)應(yīng)力集中的分析

應(yīng)力集中系數(shù)是衡量圓孔邊緣應(yīng)力集中程度的重要參數(shù)，本段內(nèi)容分別取B為變量，討論不同情況下三維彈塑性試樣的應(yīng)力集中系數(shù)變化。

圖3 不同板厚B時(shí)最大應(yīng)力集中系數(shù)的分布規(guī)律圖

圖3為 r=10，L=200mm，W=100mm，N=230MPa的情況下，不同厚度下試樣內(nèi)部應(yīng)力集中最大值的點(diǎn)的應(yīng)力集中系數(shù)Ktmax的橫向比較，同樣采取了和相同條件下平面狀態(tài)的應(yīng)力集中系數(shù)最大值(Ktmax)σ,ρ比值的方式表現(xiàn)。從圖中可以看出，三維狀態(tài)的試樣Ktmax不僅恒>二維狀態(tài)，且隨厚度增加試樣的應(yīng)力集中程度也急劇增加，后在板厚為2倍圓孔半徑處開(kāi)始放緩，最終在板厚達(dá)到3倍孔徑后到達(dá)最大值1.21，其后基本保持不變。也即是說(shuō)，當(dāng)板厚達(dá)到3倍圓孔直徑以上時(shí)，可認(rèn)為彈塑性試樣的應(yīng)力集中最為嚴(yán)重。

圖4為 r=10，L=200mm，W=100mm，N=230MPa的情況下，不同厚度下圓孔根部(x=r，y=0處)應(yīng)力集中系數(shù)Kt沿厚度z的分布，為了和平面狀態(tài)作對(duì)比，圖中Kt皆以與相同條件下二維平面應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力集中系數(shù)(Kt)σ,ρ比值的形式表現(xiàn)。可以看到，三維狀態(tài)圓孔根部的應(yīng)力集中系數(shù)是恒大于二維狀態(tài)的。應(yīng)力集中系數(shù)總體是隨板厚增加而增加的，對(duì)特定厚度而言應(yīng)力集中系數(shù)Kt的最大值總是在中面處，與彈性狀態(tài)相比之下并未出現(xiàn)板過(guò)厚時(shí)應(yīng)力集中最大值位置逐漸向板表面移動(dòng)的現(xiàn)象[3]。當(dāng)板厚達(dá)到圓孔半徑的約三倍以后Kt便保持在平面狀態(tài)的1.18倍附近不再增加。Kt從厚度中面到表面總體呈遞減趨勢(shì)，且隨著距離板表面越近減小的越急劇，但在板厚達(dá)到圓孔半徑的三倍以后，隨板厚的增加Kt能在越來(lái)越大的厚度范圍內(nèi)保持其最大值，即應(yīng)力集中控制了大部分的厚度，而后急速下降并最終趨近于1。

圖4 不同板厚B時(shí)圓孔根部應(yīng)力集中系數(shù)沿厚度z的分布圖

3.4 三維彈塑性狀態(tài)離面約束的分析

為揭示三維狀態(tài)下試樣離面應(yīng)力的分布，有必要對(duì)離面約束Tz進(jìn)行深入分析。本段內(nèi)容依舊分別取B為變量，討論不同情況下三維彈塑性試樣的離面約束系數(shù)變化。

圖5 不同板厚下試樣中面離面約束系數(shù)沿x的分布圖

圖5為 r=10mm，L=200mm，W=100mm，N=230MPa的情況下，不同板厚下的離面約束系數(shù)Tz沿x的分布，可以看到，不同的板厚下，離面約束Tz沿x的分布有些微差別，在板厚較大時(shí)，離面約束Tz的最大值幾乎出現(xiàn)在圓孔邊緣，然后隨著到圓孔邊緣距離的增大而單調(diào)遞減，遞減速度隨x的增大而減小，最后逐漸趨近于0；與彈性狀態(tài)不同的是，在板厚較小時(shí),離面約束Tz的最大值位置己經(jīng)逐漸偏離圓孔邊緣，在圓孔附近區(qū)域Tz呈先增大到最大值后減小，后急速減小至最小值(負(fù)值)，后又上升趨于零?？梢杂^察到，板厚越大離面約束Tz的最大值越大，且最大值的位置離圓孔邊緣越近，隨著板厚的增大，Tz最大值增大的幅度減小，Tz的影響區(qū)域大約在距圓孔邊緣3倍半徑內(nèi)。

圖6 不同板厚的圓孔根部離面約束系數(shù)沿厚度z的分布圖

圖6為 r=10，L=200mm，W=100mm，N=230MPa的情況下，不同厚度下的離面約束系數(shù)Tz沿厚度z的分布?？梢钥吹剑x面約束系數(shù)總體是隨板厚增加而增加的，但不論厚度大小，對(duì)特定厚度而言離面約束Tz的最大值總是在中面處，該最大值起初隨著板厚的增加而增加，然而當(dāng)板厚達(dá)到圓孔半徑的約三倍以后便保持在0.43附近不再增加，Tz從厚度中面到表面總體呈遞減趨勢(shì)，且隨著距離板表面越近減小的越急劇，但在板厚達(dá)到圓孔半徑的三倍以后，隨板厚的增加Tz能在越來(lái)越大的厚度范圍內(nèi)保持其最大值，而后急速下降并在表面處降至零。該結(jié)果與彈性狀態(tài)的結(jié)果類似[3]，但由于圓孔周圍彈塑性的應(yīng)力限制，使得試樣的離面應(yīng)力系數(shù)總是遠(yuǎn)遠(yuǎn)>彈性狀態(tài)的分析結(jié)果 (N=230時(shí)圓孔根部整個(gè)厚度方向已經(jīng)全部進(jìn)入塑性狀態(tài)，Tz普遍比彈性狀態(tài)大一倍)。

4.結(jié)論

一是處于彈塑性狀態(tài)的三維試樣，其應(yīng)力分布與彈性狀態(tài)有著明顯不同。由于受到塑性區(qū)的影響，σy和σz的最大值都不一定在圓孔根部(x=0)處取得，這進(jìn)一步導(dǎo)致了應(yīng)力集中系數(shù)和離面約束系數(shù)沿x分布的特殊性。在x方向上，應(yīng)力集中系數(shù)出現(xiàn)了先升后降的情況，并受塑性區(qū)影響在曲線路徑上出現(xiàn)了折點(diǎn)；離面約束系數(shù)也在一定厚度出現(xiàn)了同樣現(xiàn)象，并且最小值降低到了負(fù)值，這些都是彈性狀態(tài)的分析中未曾出現(xiàn)的新情況。

二是三維狀態(tài)下材料的應(yīng)力集中程度普遍大于平面應(yīng)力狀態(tài)，彈塑性狀態(tài)下材料的離面約束也普遍大于彈性狀態(tài)，因此將三維問(wèn)題按照平面問(wèn)題來(lái)考慮或是將彈塑性問(wèn)題按照彈性問(wèn)題來(lái)分析都是偏不安全的。在三維彈塑性情況下，材料的離面約束影響力約在3倍半徑以內(nèi)，應(yīng)力集中亦在試樣厚度達(dá)到圓孔直徑的3倍以上時(shí)達(dá)到最大。

三是三維彈塑性材料模型的應(yīng)力-應(yīng)變分布是一個(gè)受多種因素耦合作用的結(jié)果，其中外加荷載、尺寸效應(yīng)(如三維板厚、孔徑大小)都會(huì)對(duì)分析結(jié)果產(chǎn)生由量到質(zhì)的影響。另外，材料塑性程度越高最大應(yīng)力集中系數(shù)Ktmax相對(duì)越低，但與彈性狀態(tài)相比，Ktmax所在位置出現(xiàn)了偏離圓孔根部的情況。