祁 飛， 呂建平， 劉 煥， 陳慶虎，2

(1．浙江師范大學數(shù)理與信息工程學院，浙江金華 321004;2．浙江大學物理系，浙江杭州 310027;3．中國礦業(yè)大學物理系，江蘇徐州 221116)

Nernst效應是一種有磁場情況下的熱電效應．在金屬或者超導體的一個方向加入溫度梯度，在橫向會產(chǎn)生一個電場響應．對于正常態(tài)金屬材料而言，Nernst信號很小，但對于第二類超導體，在超導轉(zhuǎn)變溫度Tc以下有顯著的Nernst信號．令人驚訝的是:在Tc以上，本預計較小的Nernst信號卻大得反常，這已引起了廣泛的關注［1-4］．對于這種反常，一種解釋為即使在超導轉(zhuǎn)變溫度以上，超導凝聚也已出現(xiàn)，只是沒有相干凝聚，從而并未產(chǎn)生超導電性．超導凝聚(或稱預配對)是反常的Nernst效應的起源．

通常來說有2種因素可導致Nernst效應:一種來源于準粒子;另一種來源于渦旋．Ong研究小組［3］的實驗表明，對于單層銅氧面的Bi-2201超導體，渦旋的貢獻是主要的，而對YBCO超導體，準粒子和渦旋都對Nernst效應有貢獻．目前的實驗研究對區(qū)分準粒子和渦旋對Nernst效應的貢獻仍十分困難．

本文模擬二維Josephson結(jié)陣列的電壓對溫度梯度的響應，模擬高溫超體的渦旋Nernst信號．其結(jié)果適用于渦旋起主要貢獻的高溫超導體，如Bi-2201超導體．

1 理論模型與模擬方法

在正方格子上的二維Josephson結(jié)陣列可用以下二維XY模型的哈密頓量描述:

式(2)中:Γ是決定馳豫的時間標度;Γi(t)在i點的熱漲落引起的噪聲電流滿足高斯分布

式(3)中，Ti為第i個格點的溫度．

在筆者的模擬中，時間和溫度的單位為?/(ΓJ0)和J0/kB．為方便起見，按慣例，單位采用約化形式，即令J0=?=kB=1．

磁場加在Z方向，溫度梯度加在X方向，因此，在該方向取開邊界條件．在X方向各格點的溫度以線性關系增加，則第i個格點的溫度為

式(4)中:T0為整個系統(tǒng)的平均溫度;δt是控制溫度梯度大小的參量．在模擬中，筆者取δt=0．1;i表示第i個格點．

在Y方向采用漲落扭轉(zhuǎn)邊界條件，保持相位的周期性，這樣可以在此方向應用快速Fourier變換，如此可極大地提高計算效率．渦旋在熱驅(qū)動下便由高溫的一端向低溫的一端運動．利用漲落扭轉(zhuǎn)邊界條件［5-6］直接測量Y方向上的電壓Vy．Nernst信號可由電壓計算得到

結(jié)合溫度梯度的具體加法，Nernst信號可以表示成

利用式(6)可直接計算Nernst信號的強度．

2 模擬結(jié)果與討論

為了確認模擬方法的可靠性，筆者首先模擬了該系統(tǒng)在電流驅(qū)動下不同磁通密度下的電阻值．在Josephson結(jié)陣列模型中，對于不同驅(qū)動電流、溫度，系統(tǒng)的電壓曲線隨磁通密度的增加呈現(xiàn)出明顯的先升后降的過程，圖1所示為該模型的V/I-f曲線．圖1中:I表示外加驅(qū)動電流;T表示系統(tǒng)溫度．該曲線在一些特定的磁通密度f下，如f=1/8，1/6，1/5，1/3，2/5，1/2等位置時出現(xiàn)系統(tǒng)電阻的極小值，且在這些特殊磁通密度下，渦旋會呈現(xiàn)出一定的規(guī)則排列．圖2所示為筆者模擬的系統(tǒng)在這些特殊磁通密度f下的渦旋在實空間中的分布．這些結(jié)論與文獻［7-8］的實驗結(jié)果基本一致，側(cè)面反映了本小組在研究二維Josephson結(jié)陣列的物理性質(zhì)時所用的模擬方法是可靠的．

圖1 V/I-f曲線

圖2 超導渦旋在實空間的分布(白色格點表示渦旋所在位置)

將上述的電流驅(qū)動換成熱驅(qū)動，便可以計算Nernst信號．表1給出了在T0=0．6穩(wěn)定時的幾種溫度梯度與Nernst信號的關系．顯然，改變式(6)中參量δt對Nernst信號影響不大，這一點說明了Nernst效應是系統(tǒng)的本征性質(zhì)，而與溫度梯度的具體大小無關．

表1 不同溫度梯度下的 Nernst信號(T=0．6，f=0．125，L=64)

現(xiàn)在計算不同溫度下二維 Josephson結(jié)系統(tǒng)的Nernst信號與外加磁場的關系．無外場的二維Josephson結(jié)系統(tǒng)經(jīng)歷Kosterlitz-Thouless相變，相變溫度為Tc=0．890 4J0，這個溫度也是超導相變溫度．因此，筆者特定選取溫度T的范圍為0．2～1．2，既包含了超導相變溫度以下又包含了相變溫度以上的情形．數(shù)值模擬獲得的Nernst信號如圖3所示．為了研究尺寸帶來的效應，筆者分別研究了尺寸L為32和64兩種大尺寸系統(tǒng)．其結(jié)果定性上沒有改變，說明筆者選取的系統(tǒng)尺寸所獲得的結(jié)果是可靠的．

圖3 不同溫度下Nernst信號曲線圖(左圖系統(tǒng)尺寸大小L=32;右圖系統(tǒng)尺寸大小L=64)

接下來分析其物理結(jié)果．首先，在超導轉(zhuǎn)變溫度(0．890 4)以上，如T=1．0和T=1．2兩種情況，系統(tǒng)的Nernst信號還是非常顯著的，這與高度各向異性的高溫超導在超導轉(zhuǎn)變溫度以上出現(xiàn)反?，F(xiàn)象的Nernst信號完全一致［2］．其次，系統(tǒng)的Nernst信號隨外加磁場和溫度的增大都呈現(xiàn)出非單調(diào)行為，與單層銅氧面的Bi-2201超導體的Nernst信號的實驗結(jié)果完全一致．曲線的外形也與實驗結(jié)果一致，顯示了傾斜山丘的形貌(tilt-hill profile)．另外，“山脊”的位置大約在f=0．1處，也與實驗結(jié)果B=0．1Bc2一致．Bc2為上臨界磁場，可以大致定義為系統(tǒng)的磁場足夠大以致渦旋芯子占據(jù)了整個超導樣品．這里，f的定義也正是這種填充因子(filling factor)的意思，f最大可以為1．

可以定性給出在恒定溫度下系統(tǒng)的Nernst信號隨外加磁場非單調(diào)行為的物理解釋．在低磁場下，渦旋之間的相互作用可以忽略，因為渦旋比較稀薄，所以當磁場升高時，自由渦旋的Nernst信號可以線性疊加．在高磁場時，高密度的渦旋之間強相互作用阻止渦旋的熱運動，導致非常小的Nernst信號．這兩種機制存在競爭，在居間磁場下必然會產(chǎn)生一個極大值．在高于超導轉(zhuǎn)變溫度下，由于出現(xiàn)大量的渦旋-反渦旋激發(fā)，這也增加了渦旋的密度，導致Nernst信號下降，這就說明了隨溫度的升高Nernst信號下降的原因．

近年來，Andersson等［9］也給出類似模型的Nernst信號模擬結(jié)果，他們發(fā)現(xiàn)Nernst信號隨溫度升高單調(diào)地下降，與筆者的結(jié)果不一致，當然也不能描述實驗結(jié)果．該研究小組采用的小尺寸(L=16)并不是主要原因，因為筆者也模擬了L=16的系統(tǒng)，并沒有獲得與其相似的結(jié)果，而是得到與L=32系統(tǒng)定性一致的結(jié)果．筆者認為，他們的數(shù)值模擬方法在電壓的方向上也采用了開邊界條件，因此可能帶來強烈的邊界效應．筆者在電壓的方向采用了漲落扭轉(zhuǎn)邊界條件，實際上消除了邊界的阻礙．小尺寸可能加劇了這一邊界效應．

3 結(jié)論

利用XY模型模擬了二維Josephson結(jié)陣列在熱驅(qū)動下的Nernst信號，可以直接計算Josephson結(jié)陣列中的渦旋Nernst信號．發(fā)現(xiàn)渦旋Nernst信號隨磁場變化非單調(diào)變化行為，與Princeton大學Ong教授研究組在最佳摻雜和欠摻雜的Bi-2201單晶的實驗結(jié)果定性符合．渦旋Nernst信號隨著平均溫度變化亦非單調(diào)變化，而是隨著磁平均溫度的增大皆是先增加、后衰減．歸根結(jié)底，外加磁通密度及平均溫度改變了系統(tǒng)中渦旋的數(shù)目、性質(zhì)及運動狀態(tài)．二維Josephson結(jié)是一個可以控制和調(diào)控的實際系統(tǒng)，該系統(tǒng)的研究結(jié)果可以提供第二類超導電性的渦旋Nernst信號的產(chǎn)生機制，因而具有重要的意義．

［1］Podolsky D，Raghu S，Vishwanath A．Nernst effect and diamagnetism in phase fluctuating superconductors［J］．Phys Rev Lett，2007，99:117004．

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