喻健良 聞 拓 閆興清 伊 軍

（大連理工大學化工機械學院） （大連市鍋爐壓力容器檢驗研究院)

直管外表面軸向半橢圓裂紋應力強度因子KⅠ的有限元分析

喻健良*聞 拓 閆興清 伊 軍

（大連理工大學化工機械學院） （大連市鍋爐壓力容器檢驗研究院)

利用有限元法對含外表面軸向裂紋的直管進行了分析，應用有限元軟件ANSYS建立了裂紋有限元模型，采用參數(shù)化建模對內(nèi)壓下裂紋的應力強度因子KI進行計算，得出了影響應力強度因子的主要因素。計算表明，應力強度因子隨a/t及a/c成線性變化，并與t/Do為乘冪關系。一般情況下，表面裂紋在最深點 （90°）處應力強度因子最大，然后隨著角度的減小應力強度因子依次減小。但是在最淺點 （0°）處應力強度因子有回升趨勢，且隨著a/t的增加，這種回升趨勢逐漸明顯，當a/t=0.8時，甚至出現(xiàn)最淺點KI超過最深點KI的現(xiàn)象，這時對于結構的脆性起裂位置要慎重判斷，不能單純地以最深點KI為斷裂依據(jù)。

應力強度因子 有限元法 表面裂紋 半橢圓裂紋 直管

0 引言

脆性斷裂是高壓輸運管線常見的失效形式，尤其在介質(zhì)泄漏時易形成低溫的場合，脆斷往往造成災害性后果。因此研究管線典型缺陷型式下的力學響應及參數(shù)意義重大。應力強度因子KI是判斷裂紋脆斷行為的重要參數(shù)之一。對于典型裂紋的KI值，已經(jīng)通過實驗方法確定，并被編制成手冊[1]。對于其他裂紋型式，由于實驗開展不便，常借助數(shù)值方法如有限元法、有限差分法、邊界元法等解決，如Jr.JC Newman及I.S.Raju采用有限元法研究直管內(nèi)外壁表面裂紋[2-3]，Chai Guozhong等用邊界元法[7-8]研究直管內(nèi)壁表面裂紋。在這些方法中，由于有限元法簡單、精確，已被證實是研究KI的有效方法。

目前，筆者在調(diào)研時發(fā)現(xiàn)，相當一部分直管外表面缺陷可以規(guī)則化為外表面橢圓裂紋，但目前的文獻資料對外表面橢圓裂紋KI的研究較少，還沒有精確的解析解，有限元解也未開展。鑒于此，本文通過有限元分析方法，對直管外壁表面橢圓裂紋進行研究，著重分析了影響裂紋KI的因素，并給出了KI的計算方法。

1 外表面橢圓裂紋有限元模型的建立

1.1 模型基本假設

為了建模方便，本文假設如下：

（1）由于直管外壁表面裂紋結構是對稱的，分析時取四分之一模型計算；

（2）裂紋擴展方向為裂紋線的法線方向；

（3）裂紋面形狀為半橢圓表面裂紋，深度為a，長度為2c，如圖1所示；

（4）KI求解角度自最淺點向最深點依次為0°～90°。

1.2 應力強度因子模擬解與理論解對比

由于裂紋前緣的應力場存在一個數(shù)學上的奇異點，為了真實反映裂紋尖端的奇異性，在裂紋前沿設立1/4節(jié)點單元。ANSYS對于計算應力強度因子提供了一種方法：位移外推法。將通過該方法得到的結果與理論解進行對比，其相對誤差不大，如表1所示。

表1 平板穿透裂紋單向拉伸模型模擬與理論結果對比

1.3 模型建立

通過ANSYS自帶的APDL語言進行參數(shù)化編程。為提高運算速度，僅裂尖單元采用SOLID 95單元，其余單元均采用SOLID 45單元建模。第Ⅰ類應力強度因子KI為裂紋面張開所造成，因此利用ANSYS的位移外推法時必須以裂紋擴展方向為基準。對于橢圓裂紋，其擴展方向是裂紋前緣的法線方向，這就要求在知曉橢圓方程的情況下，獲得裂紋前緣已知點處的法線方程，然后據(jù)此法線方程創(chuàng)建已知點處的局部柱坐標系，再通過此柱坐標系創(chuàng)建裂尖節(jié)點。在生成節(jié)點之后還要在裂尖處構建局部卡爾坐標系，x軸指向裂紋擴展方向，y軸平行于裂紋面法線，局部卡爾坐標系是為求解應力強度因子做準備的。以上步驟完成了裂紋前緣某一個位置的裂尖節(jié)點構建，最后還需要采用整體循環(huán)得到裂紋前緣所有已知點的裂尖節(jié)點。至此，橢圓裂紋裂尖節(jié)點構造完畢。有限元模型如圖2所示。

圖2 有限元模型

1.4 模型計算參數(shù)及約束施加

模型幾何參數(shù)如下：管道規(guī)格為DN200 mm，外徑Do=219 mm，厚度t可變。p=1 MPa,根據(jù)戴維南原理，確定直管段長度L=3Do以消除端面對應力強度因子的影響，模型彈性模量E=2×105MPa,泊松比 ν=0.3。

在遠離裂紋的直管端面施加z向約束，選取此截面任意一個節(jié)點施加全約束以防止直管出現(xiàn)剛體位移，在對稱面施加對稱約束。

2 計算結果及分析

對不同參數(shù)下的外表面橢圓裂紋KI值進行了計算。為敘述方便，以裂紋深度與長度比a/c、深度與厚度比a/t、厚度與外徑比t/Do和角度θ為參數(shù)，討論KI變化規(guī)律。但是，通過大量模擬數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，這四個參數(shù)對KI的影響是互相關聯(lián)的。

2.1 KI的影響因素

2.1.1 KI隨角度θ的變化規(guī)律

當 t/Do=0.1,a/t=0.2， a/c=0.2～0.8時， KI隨角度θ的變化規(guī)律如圖3所示。

由圖3可知，KI隨著角度θ的增加首先有一下降過程，然后逐漸遞增。其原因是直管外壁面沒有剛體約束，導致最淺點 （處于外壁面）處裂紋張開位移較大，而位移外推法正是基于裂紋張開位移得出的，因此位移外推法能夠直觀地反映出直管外壁表面裂紋的這種特有現(xiàn)象。當a/c較小時，裂紋最深點KI處于主導地位，其值最大；隨著a/c的增大，KI變化梯度逐漸降低，且最深點KI的主導地位逐漸喪失；當a/c=0.8時，甚至出現(xiàn)最淺點KI基本等于最深點KI的情況，此時最深點和最淺點兩個位置具有同樣的危險性。

2.1.2 KI隨a/c的變化規(guī)律

當 t/Do=0.05,a/t=0.2， θ=30°、 60°、 90°時， KI隨a/c的變化規(guī)律如圖4所示。

圖4 KI隨a/c的變化規(guī)律

由圖4可知，其他參數(shù)一定時，KI與a/c呈線性關系，且隨著a/c的增大，KI逐漸降低。此外，其他參數(shù)變化時，KI與a/c依然保持線性關系。

2.1.3 KI隨a/t的變化規(guī)律

當 t/Do=0.05,a/c=0.4， θ=30°、 60°、90°時， KI隨a/c的變化規(guī)律如圖5所示。

由圖5可知，其他參數(shù)一定時，KI與a/t呈線性關系，且隨著a/t的增大，KI逐漸增大。此外，其他參數(shù)變化時，KI與a/t依然保持線性關系。

2.1.4 KI隨t/Do的變化規(guī)律

當 a/c=0.2,a/t=0.2， θ=30°、 60°、 90°時， KI隨t/Do的變化規(guī)律如圖6所示。

圖5 KI隨a/t的變化規(guī)律

圖6 KI隨t/Do的變化規(guī)律

由圖6可知，其他參數(shù)一定時，KI與t/Do為乘冪關系，且隨著t/Do的增大，KI逐漸降低。此外，其他參數(shù)變化時，KI與t/Do依然保持乘冪關系。

2.1.5 外自由壁面對KI的影響與集中點現(xiàn)象

不同參數(shù)下a/t對KI的影響如圖7所示。

由圖7可知，有兩個現(xiàn)象：

（1）直管外壁面因剛體約束缺失所影響的KI角度范圍基本在6°之內(nèi)，且在此范圍內(nèi)，隨著a/t增大，相同a/c下的相同角度位置的KI逐漸增大。a/c越大，最深點KI主導地位喪失越嚴重，當a/t=0.8、a/c=0.8時，甚至出現(xiàn)最淺點KI高于最深點KI的現(xiàn)象。

（2）不同a/c的曲線都通過一個公共交點，此點所對應的角度隨著a/t的增加而逐漸減小，逐漸趨于發(fā)散。

3 結論

（1）在相同條件下，隨著a/c的減小，應力強度因子KI變化梯度增大，且a/c越小，結構越容易發(fā)生失穩(wěn)斷裂。

（2）直管外壁表面裂紋KI基本維持在最深點最大，評判裂紋危險性可以以最深點KI數(shù)值為準。但是當a/c及a/t均較大 （大于0.5）時，最淺點KI也不容忽視，這時如果僅以最深點KI做評判，可能會得出錯誤的評判結果。

（3）計算表明，在角度為6°之后，隨著角度增加，KI逐漸增大；KI與a/c為線性關系，與a/t為線性關系，與t/Do為乘冪關系。

（4）相同條件下，a/t較大且a/c較小時，結構處于最危險狀態(tài)。

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Finite Element Analysis of Stress Intensity Factor for Straight Pipes’Axial Semi-elliptical External Surface Cracks

Yu Jianliang Wen Tuo Yan Xingqing Yi Jun

Straight pipes with axial semi-elliptical external surface cracks has been analysed by threedimensional finite element method.A finite element model of the cracks has been built using ANSYS,and a parametric model has been conducted to calculate the stress intensity factors(SIFs)of the semi-elliptical cracks under internal pressure,and the main factors that impact the SIFs has been obtained.Caculation shows that the SIFs changes linearly with a/t and a/c,in addition,the it’s exponentiation relationship between SIFs with t/Do.Usually,the SIFs is biggest at the deepest point(90 degree)and gradually decrease with the degree’s decrease,but the SIFs has uptrend at the shallowest point(0 degree),and the uptrend is noticeable with the increase of a/t.Even when a/t is equal to 0.8,the SIFs’ value at the shallowest point is bigger than the deepest’s,then the location of brittle crack must be judged cautiously,it’s could’t simply judged by the SIFs at the deepest point.

Stress intensity factors;Finite element method;Surface cracks;Semi-elliptical cracks;Straight pipe

TQ 050.1

*喻健良，男，1963年生，教授。大連市，116023。

2011-08-11）