徐 衡 陳萬(wàn)春

(北京航空航天大學(xué) 宇航學(xué)院，北京100191)

運(yùn)載火箭穿越稠密大氣過(guò)程中，氣動(dòng)力與發(fā)動(dòng)機(jī)推力有著強(qiáng)烈的耦合關(guān)系，因此主動(dòng)段制導(dǎo)問(wèn)題一直都具有很強(qiáng)的挑戰(zhàn)性［1］.針對(duì)大氣層內(nèi)的主動(dòng)段制導(dǎo)問(wèn)題，文獻(xiàn)［1－3］通過(guò)最優(yōu)控制方法建立模型，使用經(jīng)典有限差分法求解兩點(diǎn)邊值問(wèn)題，得到滿足最優(yōu)指標(biāo)的閉環(huán)制導(dǎo)規(guī)律.然而隨著近年來(lái)高超音速飛行器的不斷發(fā)展，高超音速飛行器運(yùn)載任務(wù)對(duì)運(yùn)載火箭制導(dǎo)系統(tǒng)提出了更高的要求，僅僅得到最優(yōu)制導(dǎo)規(guī)律是不夠的.

對(duì)于高超音速飛行器運(yùn)載任務(wù)，運(yùn)載火箭制導(dǎo)系統(tǒng)需要滿足多種終端約束條件.如高超音速飛行器X-43，在主動(dòng)段終端要求速度方向沿當(dāng)?shù)厮椒较颍串?dāng)?shù)貜椀纼A角為0.對(duì)于指定射程彈道，主動(dòng)段終端速度的大小必須為指定值.為滿足分離要求，主動(dòng)段終端攻角需較小，且分離前需保持定軸飛行，即姿態(tài)角變化率為0.同時(shí)，在飛行過(guò)程中還需要滿足動(dòng)壓、動(dòng)壓攻角乘積、過(guò)載、姿態(tài)角變化率的過(guò)程約束條件.上述約束條件對(duì)于帶關(guān)機(jī)控制的液體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)來(lái)說(shuō)比較容易實(shí)現(xiàn)，但對(duì)于目前廣泛使用的耗盡關(guān)機(jī)型固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)來(lái)說(shuō)，則需要通過(guò)能量管理來(lái)消耗多余能量，以滿足上述終端約束條件.

針對(duì)固體火箭主動(dòng)段能量管理問(wèn)題，各種方法都是通過(guò)控制推力與速度之間夾角來(lái)消耗多余能量的.

文獻(xiàn)［4］和文獻(xiàn)［5］提出了一種在主動(dòng)段初期進(jìn)行折線式能量管理機(jī)動(dòng)的方法，即設(shè)計(jì)姿態(tài)角為折線式指令來(lái)消耗多余能量.然而該方法僅在主動(dòng)段初期很短的時(shí)間內(nèi)作用，而且離線設(shè)計(jì)姿態(tài)角指令，較為粗糙.其主動(dòng)段后期制導(dǎo)方法以滿足位置和速度方向要求為目標(biāo)，對(duì)于終端速度大小無(wú)法控制，因此不能滿足高超音速飛行器運(yùn)載任務(wù)的要求.文獻(xiàn)［6］在真空飛行假設(shè)下提出交變姿態(tài)控制能量管理(AEM，Alternate Attitude Control Energy Management)方法.該方法是一種開(kāi)環(huán)制導(dǎo)方法，又是在真空飛行假設(shè)下推導(dǎo)得到的，因此不適用于大氣層內(nèi)的主動(dòng)段制導(dǎo)問(wèn)題.文獻(xiàn)［7］，也是在真空飛行假設(shè)下，提出一般能量管理(GEM，General Energy Management)方法.該方法是一種閉環(huán)制導(dǎo)方法，真空飛行假設(shè)對(duì)制導(dǎo)精度影響不大，然而該方法會(huì)導(dǎo)致終端攻角以及終端姿態(tài)角變化率過(guò)大，因此不能滿足上述終端約束條件.

本文基于控制推力和速度之間夾角來(lái)實(shí)現(xiàn)主動(dòng)段能量管理的思路，綜合交變姿態(tài)控制能量管理AEM和一般能量管理GEM的優(yōu)點(diǎn)和適用范圍，結(jié)合高超音速飛行器運(yùn)載任務(wù)的制導(dǎo)約束條件，提出了樣條能量管理(SEM，Spline Energy Management)制導(dǎo)方法，并針對(duì)分離前定軸飛行約束條件進(jìn)行了修正.以三級(jí)運(yùn)載火箭為例進(jìn)行仿真，通過(guò)AEM，GEM和SEM對(duì)比，驗(yàn)證了樣條能量管理制導(dǎo)方法的可行性.

1 主動(dòng)段模型及能量管理制導(dǎo)方法

1.1 數(shù)學(xué)模型

在速度坐標(biāo)系下建立運(yùn)載火箭主動(dòng)段質(zhì)心動(dòng)力學(xué)方程如下:

其中，m為質(zhì)量;v為速度;α為攻角;θ為彈道傾角;P為推力;G為重力;D為阻力;L為升力.

在發(fā)射坐標(biāo)系下建立運(yùn)載火箭主動(dòng)段質(zhì)心運(yùn)動(dòng)學(xué)方程如下:

其中，x為發(fā)射坐標(biāo)系橫軸坐標(biāo);y為發(fā)射坐標(biāo)系縱軸坐標(biāo).

1.2 能量管理制導(dǎo)方法基本原理

為闡述主動(dòng)段能量管理制導(dǎo)方法的基本原理，首先在俯仰平面內(nèi)引入坐標(biāo)系見(jiàn)圖1.某一時(shí)刻的速度矢量為V，其與x軸的夾角Θ為當(dāng)?shù)貜椀纼A角.根據(jù)主動(dòng)段結(jié)束時(shí)當(dāng)?shù)貜椀纼A角為0的終端約束條件，期望速度矢量VD沿x軸，其大小為指定值vD.由此可得到需用速度增益矢量為

其中，ΔV的大小為Δv，即需用速度增益.一般來(lái)說(shuō)，需用速度增益比可用速度增益要小.簡(jiǎn)單起見(jiàn)，在只考慮發(fā)動(dòng)機(jī)推力對(duì)飛行器的加速能力時(shí)，可用速度增益VCAP可由式(6)估算:

其中，t為當(dāng)前時(shí)刻;tf為主動(dòng)段結(jié)束時(shí)刻;tgo為剩余飛行時(shí)間;m·為質(zhì)量秒流量，取正值.

圖1 能量管理基本原理圖

得到ΔV和VCAP后，主動(dòng)段能量管理制導(dǎo)方法的基本原理是設(shè)計(jì)如圖1虛線所示的VCAP曲線，使其通過(guò)ΔV的起點(diǎn)和終點(diǎn)，并且曲線長(zhǎng)度為VCAP，進(jìn)而控制發(fā)動(dòng)機(jī)推力矢量P與曲線相切，即通過(guò)俯仰角φ控制當(dāng)?shù)馗┭鼋铅?，使速度矢量V跟蹤該曲線最終達(dá)到期望速度矢量VD.

1.3 樣條能量管理SEM

在Zarchan提出的一般能量管理GEM中，VCAP曲線被設(shè)計(jì)成圓弧形狀，但會(huì)產(chǎn)生較大的終端攻角，不能滿足終端約束條件.為滿足終端攻角較小的約束條件，VCAP曲線可以設(shè)計(jì)成樣條曲線形狀，如圖2所示，因此將這種方法稱為樣條能量管理SEM.

圖2 樣條能量管理SEM

在圖2中，可用速度增益VCAP被分為由發(fā)動(dòng)機(jī)推力產(chǎn)生的可用速度增益VTCAP和由重力產(chǎn)生的可用速度增益VGCAP.在進(jìn)行能量管理的高度，相比發(fā)動(dòng)機(jī)推力和重力，空氣動(dòng)力對(duì)可用速度增益的貢獻(xiàn)可以忽略不計(jì).因此，可用速度增益VCAP可以表示為

考慮當(dāng)?shù)厮椒较蛳鄬?duì)初始水平方向的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)，VGCAP可以表示如下:

其中，fM為3.986005×1014;r為火箭質(zhì)心到地心的距離;β·為射程角變化率.由于重力始終與當(dāng)?shù)厮椒较虼怪?，因此VGCAP曲線為垂直于x軸的直線，曲線長(zhǎng)度為VGCAP，如圖2所示.

VTCAP可以由式(6)得到:

由圖2可知，VTCAP曲線為樣條曲線，則其表達(dá)式為三次多項(xiàng)式:

其中 A，B，C，D 為 f(x)的待定系數(shù).將式(10)左右兩端對(duì)x求導(dǎo)可以得到:

為確定f(x)的待定系數(shù)，考慮如下條件.如圖 2 所示，VTCAP曲線的起點(diǎn)為(vcos Θ，vsin Θ)，終點(diǎn)為(vD，VGCAP)，曲線長(zhǎng)度為VTCAP，連接起點(diǎn)和終點(diǎn)的矢量為ΔV′，其大小為Δv′.由終端約束條件可知，終端攻角αf要趨近于0，αf可以表示為

其中終端當(dāng)?shù)貜椀纼A角Θf為0，則終端當(dāng)?shù)馗┭鼋铅╢要趨近于0.由式(9)可知，VTCAP為發(fā)動(dòng)機(jī)推力全部用于加速而產(chǎn)生的可用速度增益，則發(fā)動(dòng)機(jī)推力矢量P顯然與VTCAP曲線相切，即

因此，f′(x)在終端處要求為0.由此可以得到求解f(x)4個(gè)待定系數(shù)的4個(gè)條件方程如下:

得到VTCAP曲線f(x)后，建立指令俯仰角模型見(jiàn)圖3.為保證速度矢量V跟蹤VTCAP曲線，在給定的當(dāng)?shù)厮剿俣认?，將?dāng)?shù)劂U垂速度與f(x)的偏差ΔvV，以及當(dāng)?shù)馗┭鼋铅蹬cf′(x)反正切的偏差ΔΦ作為反饋控制偏差量，則由圖3可得

其中KV和KP為偏差量比例系數(shù).為保證飛行過(guò)程中俯仰角變化率幅值小于10(°)/s的約束條件，將φ·限幅后進(jìn)行積分得到指令俯仰角φ，使速度矢量V跟蹤VTCAP曲線，最終達(dá)到期望速度矢量VD.在仿真過(guò)程中，VTCAP曲線實(shí)時(shí)更新.為保證式(14)有解，如圖2所示，要求 VTCAP始終比 Δv′大，因此當(dāng) VTCAP接近 Δv′時(shí)，VTCAP曲線停止更新，并生成新的樣條曲線將速度矢量直接導(dǎo)向期望速度矢量，而不是導(dǎo)向點(diǎn)(vD，VGCAP).

圖3 指令俯仰角模型

1.4 分離前定軸飛行修正

為了滿足終端分離前定軸飛行的約束條件，在終端分離前tS內(nèi)，將樣條曲線設(shè)計(jì)成沿橫軸的直線，如圖4所示，同時(shí)考慮重力在終端分離前tS內(nèi)對(duì)速度的影響，將終端分離前tS時(shí)刻的期望速度設(shè)定為(vDS，VGCAPS).圖4中VGCAPS為tS內(nèi)重力產(chǎn)生的可用速度增益，VTCAPS為tS內(nèi)發(fā)動(dòng)機(jī)推力產(chǎn)生的可用速度增益，VTCAPR為終端分離前tS之前發(fā)動(dòng)機(jī)推力產(chǎn)生的可用速度增益，顯然

其中，vDS為終端分離前tS時(shí)刻的當(dāng)?shù)厮狡谕俣?，由圖4可知

如圖4所示，在終端分離前tS之前，忽略終端分離前tS之前重力產(chǎn)生的可用速度增益，以(vDS，VGCAPS)為終點(diǎn)對(duì)VTCAPR曲線進(jìn)行樣條能量管理，終端分離前tS內(nèi)，將VTCAPS曲線設(shè)計(jì)成沿橫軸的直線以滿足終端分離前定軸飛行的約束條件，同時(shí)滿足終端速度為指定值，終端當(dāng)?shù)貜椀纼A角為0，終端攻角較小的終端約束條件.

圖4 滿足分離前定軸飛行的樣條能量管理

2 SEM制導(dǎo)方法仿真結(jié)果

本文以三級(jí)運(yùn)載火箭為例研究運(yùn)載火箭主動(dòng)段制導(dǎo)問(wèn)題.首先根據(jù)主動(dòng)段數(shù)學(xué)模型，優(yōu)化得到符合過(guò)程約束和終端約束的主動(dòng)段最大終端速度彈道.運(yùn)載火箭第1，2級(jí)按照最大終端速度彈道飛行，第3級(jí)采用樣條能量管理SEM制導(dǎo)方法飛行，以滿足各項(xiàng)終端約束條件.

設(shè)定期望速度為6000 m/s，在第3級(jí)開(kāi)始階段，終端分離前tS之前，通過(guò)實(shí)時(shí)更新計(jì)算得出VTCAP曲線，速度曲線則跟蹤VTCAP曲線，如圖5所示.在圖6 中，當(dāng) VTCAP接近 Δv′時(shí)，VTCAP曲線停止更新，并生成一條新的樣條曲線將速度矢量直接導(dǎo)向終端分離前tS時(shí)刻的期望速度，如圖5所示.樣條曲線系數(shù)更新變化如圖7所示，12.6 s后樣條曲線系數(shù)均為常值，即VTCAP曲線停止更新，新的樣條曲線系數(shù)不再變化.終端分離前tS內(nèi)，VTCAP曲線為沿當(dāng)?shù)厮剿俣确较虻闹本€，如圖5所示，樣條曲線系數(shù)均為0，如圖7所示.

圖5 樣條能量管理(SEM)仿真結(jié)果

圖6 第3級(jí)速度增益曲線

圖7 歸一化樣條曲線系數(shù)

仿真結(jié)果同時(shí)還滿足動(dòng)壓、動(dòng)壓攻角乘積、橫向過(guò)載以及俯仰角變化率的過(guò)程約束條件，見(jiàn)圖8.主動(dòng)段指令俯仰角和彈道見(jiàn)圖9、圖10.最終，如圖11～圖14所示，終端速度為6000.0 m/s，終端當(dāng)?shù)貜椀纼A角為0.029 287(°)，終端攻角為3.1712(°)，終端分離前5 s俯仰角變化率為0，滿足各項(xiàng)終端約束條件。

圖8 過(guò)程約束變量曲線

圖9 第3級(jí)指令俯仰角曲線

圖10 主動(dòng)段彈道

圖11 第3級(jí)速度曲線

圖12 第3級(jí)當(dāng)?shù)貜椀纼A角曲線

圖13 第3級(jí)攻角曲線

圖14 第3級(jí)俯仰角變化率曲線

3 AEM，GEM和SEM對(duì)比分析

針對(duì)與主動(dòng)段終端約束相關(guān)的速度、當(dāng)?shù)貜椀纼A角、攻角以及俯仰角變化率，對(duì) AEM，GEM和SEM進(jìn)行對(duì)比，如圖11～圖14所示.由圖11可以看出，GEM和SEM的速度曲線最終都能達(dá)到期望速度值，而AEM是基于真空飛行假設(shè)的開(kāi)環(huán)制導(dǎo)方法，真空飛行假設(shè)引入的誤差不能在閉環(huán)內(nèi)修正，導(dǎo)致AEM速度曲線偏離期望速度.同樣的，在圖12中GEM和SEM的當(dāng)?shù)貜椀纼A角曲線最終都收斂到0，而AEM的終端當(dāng)?shù)貜椀纼A角與0還有一定的偏差.GEM方法雖然滿足速度和當(dāng)?shù)貜椀纼A角的終端約束，但在圖13中可以看出，GEM的終端攻角非常大，且如圖14所示，GEM的終端分離前俯仰角變化率也非常大.通過(guò)對(duì)比分析可以看出，閉環(huán)方法GEM和SEM相比開(kāi)環(huán)方法AEM在制導(dǎo)精度上有明顯的優(yōu)勢(shì)，SEM相比GEM在滿足制導(dǎo)精度的同時(shí)還能夠較好的滿足終端攻角約束條件以及俯仰角變化率約束條件.因此，樣條能量管理SEM能夠滿足主動(dòng)段各項(xiàng)約束條件，為運(yùn)載火箭主動(dòng)段制導(dǎo)提供了一種新的方法.

4 結(jié)論

1)提出了一種新的樣條能量管理SEM運(yùn)載火箭主動(dòng)段制導(dǎo)方法，并針對(duì)分離前定軸飛行約束條件進(jìn)行了修正.通過(guò)三級(jí)運(yùn)載火箭仿真結(jié)果，驗(yàn)證了該方法的可行性.

2)通過(guò)AEM，GEM和SEM的對(duì)比分析，明確了樣條能量管理SEM制導(dǎo)方法的優(yōu)越性，為高超音速飛行器運(yùn)載任務(wù)主動(dòng)段制導(dǎo)提供了一種新的方法.

3)研究過(guò)程中主要考慮了主動(dòng)段制導(dǎo)的終端約束條件，對(duì)于過(guò)程約束條件僅考慮了動(dòng)壓、動(dòng)壓攻角乘積、橫向過(guò)載以及俯仰角變化率的約束，其他過(guò)程約束對(duì)樣條能量管理SEM制導(dǎo)方法的限制和影響有待進(jìn)一步研究以完善該方法。

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