顧友付， 曾曉輝

(江西應(yīng)用工程職業(yè)學(xué)院 基礎(chǔ)部， 江西 萍鄉(xiāng) 337042)

對于線性矩陣方程的各類約束極小范數(shù)最小二乘解的討論，一直是數(shù)值代數(shù)的一個比較重要的研究領(lǐng)域.有很多專家和學(xué)者針對一些特殊的線性矩陣方程，給出了某些約束極小范數(shù)最小二乘解，如文獻(xiàn)[1]、[2]利用矩陣的奇異值分解及矩陣廣義逆分別對矩陣方程AX=B,XC=D，AXB=D和(AX,XC)=(B,D)進(jìn)行了研究，得到其對稱正定解、對稱解的充要條件，并在有解的條件下，給出了通解的顯示表達(dá)式；文獻(xiàn)[3]利用了QSVD研究了矩陣方程(ATXA,BTXB)=(C,D)的反對稱解；文獻(xiàn)[4]利用了GSVD研究了矩陣方程AXB=C的中心對稱解及其最佳逼近;文獻(xiàn)[5]同時利用SVD和GSVD，研究了矩陣方程ATXB+BTXTA=D的極小范數(shù)最小二乘解；文獻(xiàn)[6]同時利用SVD和GSVD，研究了矩陣方程AXAT+BYBT=C的對稱和反對稱極小范數(shù)最小二乘解；文獻(xiàn)[7]同時利用CCD和GSVD研究了矩陣方程AXB+CYD=E的極小范數(shù)最小二乘解；文獻(xiàn)[8]利用矩陣的Kronecker積和Moore-Penrose廣義逆，研究了矩陣方程AXB+CYD=E的極小范數(shù)最小二乘對稱解.

然而，文獻(xiàn)[3]、[4]、[6]、[8]考慮的是某些線性方程的特型極小范數(shù)最小二乘解，本文將根據(jù)三對角矩陣明顯的幾何特征，利用矩陣的Kronecker積和Moore-Penrose廣義逆，巧妙地將線性矩陣方程

(1)

的三對角極小范數(shù)最小二乘解轉(zhuǎn)化為無約束的矩陣方程Ax=b的極小范數(shù)最小二乘解問題，從而比較輕松地解決如下兩個問題：

問題1對于給定的Ai∈Rm×si,Bi∈Rsi×n,C∈Rm×n，求Xi∈TDRsi×si(i=1,2,…,t)使得

(2)

(3)

問題1是研究線性矩陣方程(1)的三對角最小二乘解，問題2是研究線性矩陣方程(1)的三對角極小范數(shù)最小二乘解,本文所用的符號與文獻(xiàn)[8]相同.

1 問題1的求解

為了研究問題1的解，給出如下定義和引理.

定義1設(shè)矩陣A∈Rn×n，若其元素aij滿足aij=0,|i-j|>1,i,j=1,2,…,n，則稱矩陣A為三對角矩陣，所有的n階三對角矩陣構(gòu)成的集合記為TDRn×n.

定義2設(shè)矩陣A=(aij)n×n∈Rn×n，記a1=(a11,a21),a2=(a12,a22,a32),…,an-1=(an-2,n-1,an-1,n-1,an,n-1),an=(an-1,n,an,n),令vecS(A)=(a1,a2,…,an)T∈R3n-2.

引理1對于X∈Rn×n，則X∈TDRn×n?vec(X)=KnvecS(X)，其中

顯然，Kn∈Rn2×(3n-2).

證明先證明充分條件.

如果X∈TDRn×n，則由定義1可得

=x11(e1,0,0,…,0)+x21(e2,0,0,…,0)+x12(0,e1,0,…,0)+x22(0,e2,0,…,0)+

x32(0,e3,0,…,0)+…+xn-1,n(0,0,0,…,en-1)+…+xn,n(0,0,0,…,en).

將等式兩邊拉直有

參照充分條件的證明，易證必要條件.

引理2設(shè)矩陣A∈Rm×n，b∈Rm，則線性方程組Ax=b有解的充分必要條件是

AA+b=b,

(4)

這時方程組Ax=b的通解為

x=A+b+(I-A+A)y,

(5)

其中y∈Rn是任意的[9].

引理3設(shè)矩陣A∈Rm×n，b∈Rm，則不相容線性方程組Ax=b的最小二乘解為x=A+b+(I-A+A)y，其中y∈Rn是任意的[9].

用如下的定理可求出問題1的解.

HL={X|vec(X)=WP+vec(C)+W(I-P+P)y},

(6)

其中y∈Rn2是任意的.

證明由引理1知

vecS(X)=P+vec(C)+(I-P+P)y,

(7)

時，將式(7)的兩邊同時左乘一個W，得到

vec(X)=WP+vec(C)+W(I-P+P)y,

(8)

其中y∈Rn2是任意的.

推論1條件和符號與定理1相同，則矩陣方程(1)有三對角解的充分必要條件為PP+vec(C)=vec(C).在有三對角解的條件下，記它的解集合為HE，則HE={X|vec(X)=WP+vec(C)+W(I-P+P)y}，其中y∈Rn2是任意的.

2 問題2的求解

對于問題2，給出如下定理.

定理2記號與定理1相同，則線性矩陣方程(1)的三對角極小范數(shù)最小二乘解為

(9)

W(I-P+P)y=2)(其中y∈Rn2是任意的).

y=(W(I-P+P))+(-WP+vec(C))+(I-(W(I-P+P))+)W(I-P+P)z，

(10)

其中z∈Rn2是任意的.

將式(10)代入式(8)得到線性矩陣方程(1)的極小范數(shù)最小二乘三對角解為

(11)

推論3若線性矩陣方程(1)有三對角解，則一定存在一個極小范數(shù)三對角解，且可表示為

3 數(shù)值算法和算例

線性矩陣方程(1)的極小范數(shù)(最小二乘)三對角解的算法為

1) 輸入Ai,Bi,C,s，其中s=(s1,s2,…,st);

3) 計(jì)算P+與(W(I-P+P))+;

例1設(shè)矩陣

例2設(shè)矩陣

例1與例2說明算法是有效的.

參考文獻(xiàn)：

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[2] 袁永新. 關(guān)于矩陣方程(AX,XC)=(B,D)的對稱解[J]. 華東船舶工業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào)，2001,15(4):82-85.

[3] 鄧遠(yuǎn)北，胡錫炎. 線性矩陣方程(ATXA,BTXB)=(C,D)的對稱解[J]. 工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2003,20(6)：65-68.

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[5] 袁永新，戴華. 矩陣方程ATXB+BTXTA=D的極小范數(shù)最小二乘解[J]. 高校計(jì)算數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2005,27(3)：232-238.

[6] 廖安平，白中治. 矩陣方程AXAT+BYBT=C的對稱與反對稱最小范數(shù)最小二乘解[J]. 計(jì)算數(shù)學(xué)，2005,27(1)：81-95.

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[9] 戴華. 矩陣論[M]. 北京：科學(xué)出版社，2001.