郭銀雷，王文勝，林敏瑩

（杭州師范大學(xué)理學(xué)院，浙江杭州 310036）

隨機(jī)環(huán)境中d維隨機(jī)游動(dòng)的強(qiáng)大數(shù)定律

郭銀雷，王文勝，林敏瑩

（杭州師范大學(xué)理學(xué)院，浙江杭州 310036）

研究了隨機(jī)環(huán)境中d維隨機(jī)游動(dòng)的極限理論，在一定條件下證明了隨機(jī)環(huán)境中d維隨機(jī)游動(dòng)的強(qiáng)大數(shù)定律，并且給出了一個(gè)等價(jià)形式的隨機(jī)環(huán)境中隨機(jī)游動(dòng)的強(qiáng)大數(shù)定律.

強(qiáng)大數(shù)定律；隨機(jī)游動(dòng)；隨機(jī)環(huán)境

0 引 言

設(shè)X＝｛Xi：i≥1｝是取值于Zd，d≥1的相互獨(dú)立同分布（i.i.d.）的隨機(jī)向量，Y＝｛Y（x）：x∈Zd｝取值于R的i.i.d.的隨機(jī)變量序列，設(shè)序列X與Y是定義在相同概率空間上的，但是生成相互獨(dú)立的σ－域.

Kesten等［1］研究了一維RWRS，他們?cè)O(shè)X和Y的穩(wěn)定律分別為1＜α≤2和0＜β≤2的吸引區(qū)域內(nèi)，得到了具有平穩(wěn)增量的、非高斯的、自相似過程Gn的極限.Wang研究了在特殊集合中的RWRS弱收斂性［2］，并給出了幾個(gè)隨機(jī)環(huán)境中一維隨機(jī)游動(dòng)的強(qiáng)大數(shù)定律［3］.還有一些文章研究了RWRS的增長(zhǎng)速度即隨機(jī)環(huán)境中隨機(jī)游動(dòng)的重對(duì)數(shù)律：Lewis［4］研究了隨機(jī)環(huán)境中d維隨機(jī)游動(dòng)自正規(guī)化的重對(duì)數(shù)律；Lewis［5］證明了確定性正規(guī)化子的隨機(jī)環(huán)境中d維隨機(jī)游動(dòng)的重對(duì)數(shù)律；Khoshnevisan等［6］研究了隨機(jī)環(huán)境中一維Stable過程的重對(duì)數(shù)律，證明了γ的存在性；Chen Xia研究了可加Lévy過程局部時(shí)的大偏差和中等偏差以及重對(duì)數(shù)率［7－8］.本文主要采用［3］中的方法，證明隨機(jī)環(huán)境中d維隨機(jī)游動(dòng)的強(qiáng)大數(shù)定律.

這里的｜·｜表示歐幾里得范數(shù)（Euclidean norm）.則本文的主要結(jié)論是隨機(jī)環(huán)境中d維隨機(jī)游動(dòng)的強(qiáng)大數(shù)定律.

1 定理1的證明

2 另一個(gè)結(jié)論

假設(shè)I對(duì)隨機(jī)游動(dòng)的約束條件并不是非常嚴(yán)格的限制.以下討論另一種滿足假設(shè)I的序列.

這里0≤ρ＜1，φ（·）趨向于＋∞的慢變函數(shù)，即：φ（·）是一個(gè)正的可測(cè)函數(shù)，并且對(duì)任意的0＜C＜∞滿足：

注1 由定理2得，如果S是一個(gè)簡(jiǎn)單對(duì)稱的d－維隨機(jī)游動(dòng)，Y是一個(gè)i.i.d.的隨機(jī)變量的集合，并且滿足E［｜Y（0）｜］＜∞，則n→∞時(shí)，G（n）/n→E［｜Y（0）｜］ a.s..

由此就驗(yàn)證了假設(shè)I，從而定理2的結(jié)論成立.

［1］Kesten H，Spitzer F.A limit theorem related to a new class of self－similar processes［J］.Z Wahr verw Geb，1979，50：5－25.

［2］Wang Wensheng.Weak convergence to fractional Brownain motion in Brownian motion［J］.Probab Th Their Fields，2003，126：203－220.

［3］Wang Wensheng.Strong laws of large numbers for random walks in random sceneries［J］.Acta Mathematicae Applicatae Sinica，2007，23（3）：495－500.

［4］Lewis T M.A self－normalized law of the iterated logarithm for random walk in random scenery［J］.Theor Prob，1992，5（4）：629－659.

［5］Lewis T M.A law of the iterated logarithm for random walk in random scenery with deterministic normalizers［J］.Theor Prob，1993，6（2）：209－230.

［6］Khoshnevisan D，Lewis T M.A law of the iterated logarithm for stable processes in random scenery［J］.Stoch Process Appl，1998，74（1）：89－121.

［7］Chen Xia.Large deviations and laws of the iterated logarithm for the local times of additive stable processes［J］.The Annals of Probability，2007，35（2）：602－648.

［8］Chen Xia.Moderate deviations and laws of the iterated logarithm for the local times of additive Lévy processes and additive random walks［J］.The Annals of Probability，2007，35（3）：954－1006.

［9］林正炎，陸傳榮，蘇中根.概率極限理論基礎(chǔ)［M］.北京：高等教育出版社，1999：214－219.

Strong Laws of Large Numbers ford－dimensional Random Walks in Random Sceneries

GUO Yin－lei，WANG Wen－sheng，LIN Min－ying

（College of Science，Hangzhou Normal University，Hangzhou 310036，China）

The paper researched on the limit theory ofd－dimensional random walks in random scenery，proved the strong law of large numbers ford－dimensional random walks in random scenery，and provided the strong law of large numbers of random walks with equivalent form in random scenery.

strong law of large numbers；random walk；random scenery

O211.6 MSC2010：60G15；60J65

A

1674－232X（2012）06－0520－04

10.3969/j.issn.1674－232X.2012.06.009

2012－06－08

王文勝（1970—），男，教授，主要從事概率極限理論和金融數(shù)學(xué)研究.E－mail：wswang＠yaboo.cn