李蘊(yùn)奇

（吉林省經(jīng)濟(jì)信息中心，吉林長(zhǎng)春 130061）

基于小波變換的圖像閾值去噪及其效果評(píng)估

李蘊(yùn)奇

（吉林省經(jīng)濟(jì)信息中心，吉林長(zhǎng)春 130061）

研究了小波變換理論在圖像去噪方面的具體應(yīng)用，并利用傳統(tǒng)客觀的效果評(píng)估指標(biāo)對(duì)多種小波變換的去噪效果進(jìn)行評(píng)估，同時(shí)將結(jié)構(gòu)相似理論引入到效果評(píng)估體系中，仿真實(shí)驗(yàn)表明，該方法符合主觀判斷.

圖像去噪；小波變換；效果評(píng)估

0 前言

隨著影像獲取和互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)的發(fā)展，圖像已成為人們獲取信息的重要來源之一，但由于在圖像獲取、傳輸和處理中多種因素的影響導(dǎo)致圖像質(zhì)量不高，甚至使圖像變得模糊從而掩蓋了圖像的特征.其中重要原因之一就是圖像中的噪聲.考慮到噪聲與信號(hào)在頻域內(nèi)分布不同，能很好地將二者分開，所以目前研究重點(diǎn)是頻域內(nèi)的圖像去噪算法.［1－2］

1992年，Donoho等人提出使用小波閾值收縮法對(duì)圖像去噪，取得較好的效果，但其缺陷就是必須知道噪聲強(qiáng)度的大小，然而這在實(shí)際應(yīng)用中是難以獲取的.1997年I.M.Johnstone等人提出一種自適應(yīng)小波閾值估計(jì)器，T.C.Hsung等人1999年提出一種基于奇異性檢測(cè)的去噪方法，該方法的優(yōu)點(diǎn)是幾乎不需要噪聲的先驗(yàn)信息.［3－4］S.G.Chang等人于2000年提出Bayes Shrink閾值公式，把去噪和壓縮較好地結(jié)合起來.［5］M.Miller等人提出使用反轉(zhuǎn)復(fù)小波變換法去除高斯噪聲，該方法在保留結(jié)構(gòu)圖像特征，增強(qiáng)圖像銳度等方面作用良好，能夠防止圖像信息量退化.金海燕等人提出了一種基于Curvelet域隱馬爾可夫樹（HMT）模型的圖像去噪方法.［6］

本文將探討離散小波變換在圖像去噪中的具體應(yīng)用，利用現(xiàn)有傳統(tǒng)的去噪效果評(píng)估指標(biāo)和結(jié)構(gòu)相似理論對(duì)其作以對(duì)比，并討論在去噪過程中參數(shù)的優(yōu)化問題.

1 圖像小波分解

小波變換最初是為了解決經(jīng)典的傅立葉變換不能同時(shí)進(jìn)行時(shí)域與頻域分析問題的，之后該技術(shù)被廣泛應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域.［7－9］與傅里葉變換相比，小波變換具有時(shí)頻二維分辨率的特點(diǎn)，正是由于這一特性使小波更適合于信號(hào)的精確分析.而將多尺度分析思想引入其中后，則更有效地推動(dòng)了小波變換在圖像分解與重構(gòu)方面的應(yīng)用.小波變換的思想是對(duì)二維圖像進(jìn)行多尺度的分解.經(jīng)變換后，被分解為一組具有不同方向、不同頻率的子圖像.

1989年，Mallat基于小波多分辨分析，提出了Mallat快速算法，后來將該算法推廣到二維空間［7］.設(shè)V2j（j∈Z）是空間L2（R2）的一個(gè)可分離的多分辨分析，尺度函數(shù)系｛φj，m1，m2｜j∈Z；（m1，m2）∈Z2；ε＝1，2，3｝構(gòu)成L2（R2）的規(guī)范正交基.則二維圖像f（x，y）可表示為：

圖像的小波分解結(jié)構(gòu)如圖1所示.

經(jīng)一層小波變換后，圖像被分解成4個(gè)頻帶：水平高頻、垂直高頻、對(duì)角線高頻和低頻.3個(gè)高頻子帶捕獲了圖像的突變信號(hào)（如邊緣、紋理等），而低頻子帶包含了圖像的細(xì)節(jié)信息.如果需要進(jìn)一步進(jìn)行小波分解，可以在低頻子帶中繼續(xù)進(jìn)行.醫(yī)學(xué)圖像經(jīng)過Haar小波的三層分解后，如圖2所示.

圖1 圖像的小波變換頻域分解

圖2 醫(yī)學(xué)圖像Haar小波2層分解結(jié)構(gòu)

2 去噪問題的數(shù)學(xué)描述

一幅含有噪聲的圖像可以表示為：

其中：v（i）是圖像在位置i處的觀測(cè)值，u（i）是在位置i處像素的真實(shí)值，n（i）是i處的噪音.去噪的目的在于去除n（i）的影響，使v（i）＝u（i）（見文獻(xiàn)［1］）.小波去噪本質(zhì)上是一個(gè)函數(shù)的逼近問題，通過對(duì)原圖像的最佳逼近，從而有效地區(qū)分開原信息u（i）和噪聲信息n（i），達(dá)到去噪效果.或者更進(jìn)一步地說，基于小波分解的圖像去噪實(shí)質(zhì)就是尋找從原信號(hào)空間到小波函數(shù)空間的最佳映射關(guān)系.

去噪算法需要在降低圖像噪聲的同時(shí)又能很好地保留圖像細(xì)節(jié).傳統(tǒng)的去噪算法雖然能夠去除噪聲，但圖像的部分細(xì)節(jié)往往亦被消除.而將小波分解引入圖像去噪算法既能達(dá)到較好地去噪效果，也能保持圖像的細(xì)節(jié)信息，其原因在于其良好的多尺度性，能有效地將噪聲與原始信號(hào)分離.

3 小波去噪方法

目前，應(yīng)用小波變換對(duì)小波去噪的研究仍然很活躍，盡管算法差異較大，但其框架基本相同，可將小波去噪分為3個(gè)步驟：小波分解、小波分析和小波重構(gòu).

小波分解部分主要是選取合適的小波基和確定分解層數(shù).小波分析階段研究如何通過小波系數(shù)的計(jì)算，將噪聲信息去除，這是不同小波算法的區(qū)分所在.小波重構(gòu)則是將處理過后的小波系數(shù)映射回空域內(nèi).

3.1 小波分解

3.1.1 小波基的選取

在構(gòu)造小波基時(shí)，應(yīng)使其具備如下性質(zhì)：正交性、正則性、緊支性和對(duì)稱性.

定義1（正交性） 若函數(shù)系｛f（x－k）｝k∈Z滿足如下條件：則稱該函數(shù)系是規(guī)范正交系.

定義2（正則性） 正則性反映了函數(shù)的光滑程度.一般的，正則性與函數(shù)的光滑性成正比.在運(yùn)算過程中，用利普希茨指數(shù)來表征正則性.利普希茨指數(shù)表征的是函數(shù)f與局部多項(xiàng)式的相似程度.

小波基的正則性對(duì)小波分解十分重要，其原因在于具有正則性的小波重構(gòu)更穩(wěn)定.為了得到較好的重構(gòu)信號(hào)，一般都要求小波基具有正則性.

定義3（緊支性） 若函數(shù)f（x）除在某一區(qū)間（如［a，b］）上，函數(shù)值恒等于0，則可稱f是緊支的，并稱該區(qū)間（［a，b］）為f支集.顯然，小波的支集區(qū)間越小，局部化能力越強(qiáng).因此，當(dāng)將小波變換用于捕獲突變信號(hào)時(shí)，需要小波基具有較好的緊支性.

定義4（對(duì)稱性） 當(dāng)且僅當(dāng)函數(shù)f（x）滿足f（a＋x）＝f（a－x）時(shí)，稱f（x）具有對(duì)稱性；同理，當(dāng)且僅當(dāng)函數(shù)f（x）滿足f（a＋x）＝－f（a－x）時(shí)，稱f（x）具有反對(duì)稱性.

目前，小波基有Haar，db族，sym族等多達(dá)數(shù)十種.合適的小波基，使圖像能量分布在少數(shù)的幾個(gè)基底上，不同頻率的信息相對(duì)獨(dú)立地分布在不同小波層次上，進(jìn)而使去噪過程中既能有效去除噪聲，又能保護(hù)圖像的細(xì)節(jié)信息.

3.1.2 分解尺度

分解尺度的選擇，也是影響小波去噪效果的重要環(huán)節(jié)之一.尺度參數(shù)選擇的準(zhǔn)則是：（1）保證圖像噪聲得到有效去除，（2）較小的時(shí)間和空間復(fù)雜度.因此，分解尺度既不能太大，也不能太小.圖3為圖2（a）經(jīng)兩層小波分解后各層的信息構(gòu)成的分布圖.

圖3 經(jīng)過Haar兩層小波分解的系數(shù)直方圖

3.2 小波閾值去噪法

小波閾值去噪法是小波去噪方法中最早被提出的，該方法因算法簡(jiǎn)單、效果好，而被廣泛應(yīng)用.小波閾值去噪法大致可分為兩種：硬閾值法和軟閾值法.二者的差異在于去噪函數(shù)的不同.

3.2.1 去噪函數(shù)

對(duì)于圖像f，其閾值為λ，則硬、軟閾值函數(shù)可分別表示為：

硬閾值法可較好地保留圖像邊緣、紋理、拐角等特征信息，但可能會(huì)出現(xiàn)振鈴效應(yīng)，而經(jīng)軟閾值法處理后的圖像相對(duì)硬閾值法要平滑，但其缺陷在于會(huì)造成邊緣模糊、拐角丟失等情況的發(fā)生.

3.2.2 閾值的選取

閾值的選取是小波閾值去噪模型的另一個(gè)重要的研究?jī)?nèi)容，其原因在于閾值是否合適也決定了去噪性能.若選取的閾值較小，雖然保留圖像的細(xì)節(jié)信息更完整，但噪聲也同時(shí)被保留下來；若選取閾值較大，則會(huì)丟失圖像中的高頻信息.在無法將噪聲和圖像原有高頻信息有效分開的前提下，閾值的選取方法應(yīng)取決于圖像本身的特點(diǎn)和對(duì)圖像質(zhì)量的實(shí)際需求.如果圖像本身噪音較多，則應(yīng)使用較大的閾值；否則，使用較小的閾值.如系統(tǒng)對(duì)圖像噪聲魯棒性差，則應(yīng)選取較大閾值；系統(tǒng)對(duì)圖像細(xì)節(jié)信息要求高，則盡量降低閾值.目前，存在下面的閾值選取算法.

設(shè)含噪聲圖像f（x）經(jīng)小波分解得到N個(gè)小波系數(shù)，噪聲信號(hào)的標(biāo)準(zhǔn)差為σ.則各種閾值算法計(jì)算公式如下：

4 效果評(píng)估

圖像去噪的效果評(píng)估不僅可以評(píng)估各種去噪算法的優(yōu)劣，同時(shí)可為算法優(yōu)化提供依據(jù).目前，圖像去噪算法的效果評(píng)估方法可分為主觀法與客觀法兩種.主觀法指由人眼直接觀察圖像去噪效果，其優(yōu)點(diǎn)在于評(píng)估結(jié)果合理，準(zhǔn)確.它可以判斷去噪后圖像的清晰度是否降低，圖像邊緣是否完整、清晰等，可直觀地辨識(shí)圖像在信息結(jié)構(gòu)、清晰度等方面的差異，缺點(diǎn)是只能用于判別得到明顯改善的圖像，精確度不高；而且，無法用于參數(shù)優(yōu)化.而客觀效果評(píng)估方法恰好解決上述主觀評(píng)估指標(biāo)的不足.

目前，客觀效果評(píng)估指標(biāo)主要是均方根誤差MSE（Mean Square Error）和峰值信噪比PSNR（Peak Signal－Noise Ratio），對(duì)于一個(gè)大小為m×n，量級(jí)為256的一幅圖像f及其對(duì)應(yīng)的去噪重建圖像f′，MSE和PSNR定義如下：

這里，MSE的物理意義是圖像f′中所含噪音的能量.MSE數(shù)值越大，說明f′內(nèi)的噪聲越多，去噪效果越不好.PSNR與MSE成反比，描述了去噪重構(gòu)圖像f′內(nèi)信號(hào)與噪音之間的比例關(guān)系：數(shù)值越大，去噪效果越好.

雖然MSE和PSNR能夠?qū)D像去噪效果給出定性的衡量，但它們最大的缺陷在于無法真實(shí)反映人眼的視覺感覺.兩者不能勝任圖像去噪效果評(píng)估的原因在于：一方面，兩項(xiàng)指標(biāo)屬于全局統(tǒng)計(jì)指標(biāo)范疇，而人眼對(duì)局部細(xì)節(jié)差異更敏感；其次，兩項(xiàng)指標(biāo)無法對(duì)去噪過程中圖像形狀紋理信息進(jìn)行完整性的考核，因?yàn)閳D像去除噪聲不能以犧牲圖像信息為代價(jià).王舟等人提出了結(jié)構(gòu)相似理論，該理論符合人類視覺系統(tǒng)（Human Visual System，HVS）對(duì)圖像信息的感知與理解.［10］該模型綜合考慮去噪重構(gòu)圖像與參考圖像的亮度相似性、對(duì)比度相似性和結(jié)構(gòu)相似度.

分別定義兩幅圖像信號(hào)f，f′的亮度相似性、對(duì)比度相似性和結(jié)構(gòu)相似度如下：

其中：μf和μf′分別為圖像f和f′的像素平均值；σf和σf′分別為兩幅圖像的均方差；σff′為兩幅圖像的協(xié)方差；C1，C2，C3為接近于0的常數(shù)，其意義在于避免出現(xiàn)分母為0的情況.

綜合考慮這三方面，王舟等人給出圖像質(zhì)量為：

其中：α，β，γ分別為亮度相似性、對(duì)比度相似性和結(jié)構(gòu)相似度在最終評(píng)估效果中所占的比重.一般全部設(shè)定為1.最終，SSIM（f′，f）取值范圍為［－1，1］.數(shù)值越大，表明去噪重構(gòu)后的圖像與參考圖像越相似，即去噪效果越好.

5 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

圖4 原圖像和加高斯白噪聲圖像

利用主觀效果評(píng)估法和客觀效果評(píng)估法（MSE，PSNR，SSIM）對(duì)小波去噪方法進(jìn)行比較.測(cè)試圖像通過在原圖像中加入高斯白噪聲（均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差為0.01）獲得，如圖4所示.首先，對(duì)小波基對(duì)降噪效果的影響進(jìn)行評(píng)判；其次，對(duì)同一小波下，比較分解尺度對(duì)降噪效果的影響.

5.1 不同小波基降噪效果比較

對(duì)小波基對(duì)圖像去噪的影響進(jìn)行評(píng)估，實(shí)驗(yàn)中小波基包括Haar，db5，sym2和dmey.其他參數(shù)均統(tǒng)一設(shè)定：小波解尺度為3，第1～3層小波系數(shù)的閾值選取都是Penalize medium，使用硬閾值法.去噪效果如圖5所示.

對(duì)比圖5與圖4，4種小波去噪方法都能將圖像中大部分噪聲去除（黑色部分變得比較清晰），但是4幅影像在邊界處都存在不同程度的偽信息.其中用db5和dmey小波基的去噪方法出現(xiàn)的偽信息較多，但是圖5（d）軟組織最清晰，原因在于所選的小波基能將噪聲與有效信息較好地分開.

圖5 小波基對(duì)去噪效果的影響

對(duì)上面4幅圖像進(jìn)行質(zhì)量評(píng)估，MSE，PSNR和SSIM的評(píng)估結(jié)果如圖6所示.其中MSE的評(píng)估結(jié)果越低，圖像的去噪效果越好.而其他兩者與之相反，評(píng)估結(jié)果越高越好.

顯然，三個(gè)客觀評(píng)估指標(biāo)給出的質(zhì)量排序是一致的，依次是dmey，Haar，db5，Sym2.MSE和PSNR側(cè)重于衡量圖像噪聲的多少，SSIM則會(huì)同時(shí)考察去噪圖像對(duì)原始圖像信息、結(jié)構(gòu)的保存程度.以dmey為小波基的去噪模型相對(duì)于其他模型在去噪和保留信息方面都表現(xiàn)優(yōu)秀.

圖6 三種客觀指標(biāo)評(píng)估結(jié)果

5.2 不同分解尺度降噪效果比較

關(guān)于分解尺度對(duì)圖像去噪的影響進(jìn)行評(píng)估，實(shí)驗(yàn)中小波基設(shè)定為Haar，其他參數(shù)均統(tǒng)一設(shè)定，依然使用軟閾值法.去噪效果如圖7所示.

圖7 分解層數(shù)對(duì)去噪效果的影響

通過肉眼觀察發(fā)現(xiàn)，圖7（a）出現(xiàn)模糊的現(xiàn)象，圖7（c）和圖7（d）出現(xiàn)明顯的塊狀信息.究其原因在于：圖7（a）對(duì)應(yīng)的小波分解尺度過小，已退化為單尺度方法，沒能將高頻信息和低頻信息較好地分離；而圖7（c）和圖7（d）分解尺度偏大，出現(xiàn)較多偽信息，即塊狀信息.相比之下，圖7（b）質(zhì)量最好，既能將大部分噪聲去除，提高了清晰度；又能較完整地保留圖像的細(xì)節(jié)信息.

同樣，利用MSE，PSNR和SSIM三項(xiàng)指標(biāo)對(duì)上述4幅圖像進(jìn)行去噪效果評(píng)估.其評(píng)估結(jié)果如圖8所示.

圖8 特定圖像的去噪效果評(píng)估

三項(xiàng)指標(biāo)評(píng)估結(jié)果一致，均表明圖像尺度為4層時(shí)，去噪效果最好；次之是2層；去噪效果最差的是6層和8層.仿真實(shí)驗(yàn)表明：在小波去噪過程中，分解層數(shù)?。?，5］時(shí)，去噪效果最優(yōu).

6 結(jié)論

本文介紹了利用小波分解去除圖像噪聲方法的一般步驟，并給出了三種客觀質(zhì)量評(píng)估指標(biāo).實(shí)驗(yàn)中用主觀法，MSE，PSNR和SSIM分別對(duì)小波基、分解尺度對(duì)去噪效果的影響進(jìn)行衡量，并闡明其原因.結(jié)果表明，分解尺度的選取應(yīng)適中，選取過小，多分辨效果不明顯；取值過大，則出現(xiàn)偽信息.

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Image threshold de－noising based on wavelet transform and performance evaluation

LI Yun－qi

（Economic Information Center of Jilin Province，Changchun 130061，China）

Image de－noising is a basic problem in the field of image processing，and an important content in image enhancement.The wavelet de－noising is an internationally recognized focus in the field of image de－noising research.This paper research on the application of theory of wavelet transform adopted in de－noising，traditional objective indicators of evaluation are utilized to measure the effect of various wavelet transforms.Meanwhile，the theory of structure similarity is introduced into the assessment system，and simulation results show that the metric is consistent with the subjective judgments.

image de－noising；wavelet transform；performance evaluation

TP 391

520·60

A

1000－1832（2012）01－0060－07

2010－06－21

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（40972059）.

李蘊(yùn)奇（1976—），女，碩士，高級(jí)工程師，主要從事信號(hào)處理、分布式數(shù)據(jù)庫應(yīng)用研究.

陶 理）