【摘 要】數(shù)學(xué)素養(yǎng)的核心是數(shù)學(xué)思維，數(shù)學(xué)思維是人們?cè)跀?shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中不斷地發(fā)生與發(fā)展的。由于學(xué)習(xí)者個(gè)體的差異，表現(xiàn)出的數(shù)學(xué)思維水平(包括數(shù)學(xué)思維的質(zhì)與量)也存在差異性。這種思維水平的差異性是以數(shù)學(xué)思維品質(zhì)為其標(biāo)志的。如果人們有意識(shí)地強(qiáng)化學(xué)習(xí)者的數(shù)學(xué)思維，則必將促進(jìn)思維水平的提高，相應(yīng)地，作為數(shù)學(xué)思維水平標(biāo)志的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)也隨之發(fā)生變化、發(fā)展。這從實(shí)質(zhì)上說(shuō)，就是數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的培養(yǎng)，包括五個(gè)方面：深刻性、靈活性、敏捷性、批判性、獨(dú)創(chuàng)性。本文就圍繞思維的這五個(gè)方面展開(kāi)論述，探索如何通過(guò)精練巧練，提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的策略。

【關(guān)鍵詞】思維品質(zhì)；精練巧練；策略

我們知道，人類的活動(dòng)離不開(kāi)思維，錢學(xué)森教授曾指出：“教育工作的最終機(jī)智在于人腦的思維過(guò)程?！睌?shù)學(xué)教學(xué)與思維的關(guān)系十分密切，數(shù)學(xué)教學(xué)就是指數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的教學(xué)，數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)質(zhì)上就是學(xué)生在教師指導(dǎo)下，通過(guò)數(shù)學(xué)思維活動(dòng)，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)家思維活動(dòng)的成果，并發(fā)展數(shù)學(xué)思維，使學(xué)生的數(shù)學(xué)思維結(jié)構(gòu)向數(shù)學(xué)家的思維結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化的過(guò)程。數(shù)學(xué)教師不僅要教知識(shí)，更要啟迪學(xué)生思維。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中如何發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力、提高學(xué)生的思維品質(zhì)是一個(gè)值得探討的課題。

練習(xí)被稱之為“溝通知識(shí)與能力的橋梁”，既是加深理解和鞏固所學(xué)知識(shí)的手段，又是學(xué)生由知識(shí)向能力、智力轉(zhuǎn)化和發(fā)展的有效方法，還是教師了解學(xué)生情況及調(diào)控教學(xué)的重要手段。因此，以練習(xí)課作為培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力、提高學(xué)生的思維品質(zhì)的陣地是十分必要的。

從眾多相關(guān)的教育教學(xué)理論及本人的教學(xué)實(shí)踐來(lái)看，筆者認(rèn)為“精練巧練”策略主要有以下幾個(gè)方面。

一、一題多變，洞察本質(zhì)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的深刻性

思維深刻性指“思維活動(dòng)的抽象程度和邏輯水平，以及思維活動(dòng)的廣度、深刻和難度”。在數(shù)學(xué)解題學(xué)習(xí)中，往往由于思維缺乏深刻性，造成解題或證題的片面性與漏洞。此時(shí)，需要變式練習(xí)和變式教學(xué)來(lái)補(bǔ)充，通過(guò)原題目延伸出更多具有相關(guān)性、相似性、相反性的新問(wèn)題，深刻挖掘習(xí)題的教育功能。

一題多變的練習(xí)，不是為了解決一個(gè)問(wèn)題，而是為了解決一類問(wèn)題，遏制“題海戰(zhàn)術(shù)”，開(kāi)拓學(xué)生解題思路，培養(yǎng)學(xué)生的探索意識(shí)，實(shí)現(xiàn)“以少勝多”。所以，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)要常新、善變。正如伽利略所說(shuō)“科學(xué)是在不斷改變思維角度的探索中前進(jìn)的”。通過(guò)變式教學(xué)，學(xué)生將更善于洞察數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)及知識(shí)間的相互關(guān)系，掌握數(shù)學(xué)材料間的邏輯結(jié)構(gòu)，形成恰當(dāng)?shù)耐评砗妥鞒稣_的推斷與猜想。

數(shù)學(xué)課堂的變式練習(xí)多從條件的變化和問(wèn)題的變化入手，例如：

（一）條件的變化。

例：五年級(jí)有學(xué)生160人，_______。六年級(jí)有學(xué)生多少？

補(bǔ)充條件：

1.六年級(jí)學(xué)生人數(shù)是五年級(jí)的 2.是六年級(jí)的3.六年級(jí)學(xué)生比五年級(jí)多

4.六年級(jí)學(xué)生比五年級(jí)少 5.比六年級(jí)多6.比六年級(jí)少

（二）問(wèn)題的變化。

紅星小學(xué)開(kāi)展節(jié)約用電活動(dòng)，十月份用電2700度，是九月份， 。

問(wèn)題：

1.九月份用電多少度？

2.九月份的用電量是十月份的幾分之幾？

3.九月份用電比十月份多幾分之幾？

4.十月份用電比九月份少幾分之幾？

這樣的變式覆蓋了分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的基本類型，便于歸納出各量之間最本質(zhì)的東西，這樣通過(guò)一個(gè)練習(xí)題組解決了這一類的問(wèn)題，為學(xué)生今后碰到類似問(wèn)題提供思維的明確指引，很好地培養(yǎng)了學(xué)生思維的深刻性，又避免了學(xué)生陷于題海而不能自拔。

二、一題多解，對(duì)比聯(lián)想，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的靈活性

培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的廣闊性與靈活性的核心就是培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維。教師要注意在基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想方法的教學(xué)中，從不同層次、形態(tài)結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)間的聯(lián)系，把知識(shí)系統(tǒng)化；在解題教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生根據(jù)條件的變化，從不同角度觀察、分析問(wèn)題，避免局限學(xué)生的思維，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行類比、對(duì)比聯(lián)想。例如：

（1）在數(shù)學(xué)教學(xué)中進(jìn)行一空多填、一式多變等形式的訓(xùn)練，培養(yǎng)了思維發(fā)散的機(jī)智。

例如： 1=（ ）

解：1＝1＋0； 1＝0.6＋0.4； 1＝100－99

1＝A÷A； 1====……； 1＝×；……

又如：甲與乙的比是4：5，這句話換個(gè)說(shuō)法是（ ）

答案：①甲是乙的； ②乙是甲的； ③甲比乙少；

④乙比甲多； ⑤甲相當(dāng)于乙的80%

⑥乙是甲的1.25倍……

（2）一題多解的變式，能引導(dǎo)學(xué)生對(duì)同一來(lái)源材料從不同角度，不同方位快速聯(lián)想及思維問(wèn)題，探求不同的解答方案，有利于學(xué)生解題思想與方法的形成，有利于鞏固、深化學(xué)生學(xué)過(guò)的知識(shí)，從而拓寬思路，培養(yǎng)思維的廣闊性和靈活性。

如“從甲地到乙地，A車8小時(shí)可以走完全程，而B(niǎo)車卻只需6小時(shí)，已知A車與B車的時(shí)速相差24千米，求甲乙兩地相距多少千米?！?/p>

解法一：用歸一法解。先求出A車時(shí)速，再求甲乙兩地距離。

24×6÷(8－6)×8

解法二：用倍比法解。先求出A車行走2小時(shí)的距離，再求甲乙兩地距離。

24×6×〔8÷（8－6)〕

解法三：用分?jǐn)?shù)法解。設(shè)甲乙兩地距離為單位“1”。

24÷（－）

解法四：根據(jù)求最小公倍數(shù)方法解。

有6和8的最小公倍數(shù)=2×3×4=24，24×24=576（千米）

通過(guò)六種解法的對(duì)比，學(xué)生不僅是在于接受知識(shí)，而是真正理解、掌握數(shù)學(xué)知識(shí)。學(xué)生掌握多種解題方法，更重要的是能培養(yǎng)靈活多變的解題思維，從而提高教學(xué)質(zhì)量，達(dá)到培養(yǎng)能力、發(fā)展智力的目的。

三、夯實(shí)基礎(chǔ)、善走捷徑，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的敏捷性

所謂思維的敏捷性通常是指智力活動(dòng)的速度。思維敏捷就意味著反應(yīng)靈敏，接受信息迅速，學(xué)習(xí)知識(shí)與技能時(shí)易得要領(lǐng)，而且能面對(duì)紛雜的局面做到思路清晰，善于發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，對(duì)問(wèn)題理解到位。在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過(guò)程中，學(xué)生思維敏捷表現(xiàn)為在具體的解題過(guò)程中，理解題意能力強(qiáng)，進(jìn)入題設(shè)情境或意境快，知識(shí)與技能遷移迅速，解題失誤少，正確率高。

通過(guò)練習(xí)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的敏捷性，我認(rèn)為可以從以下兩點(diǎn)入手：

（一）通過(guò)多種形式的計(jì)算練習(xí)中提高學(xué)生的計(jì)算能力，為培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的敏捷性奠定基礎(chǔ)。而計(jì)算的準(zhǔn)確性和速度是衡量計(jì)算能力高低的兩個(gè)根本標(biāo)準(zhǔn)。故通過(guò)練習(xí)對(duì)學(xué)生的計(jì)算能力進(jìn)行培養(yǎng)也應(yīng)該以這兩個(gè)方面作為工作的起點(diǎn)和歸宿?；诖丝紤]，我在計(jì)算的練習(xí)課中注意作這樣的安排：

1.對(duì)比練習(xí)：在教學(xué)中將容易混淆弄錯(cuò)的題目放在一起，讓學(xué)生區(qū)分比較，通過(guò)有目的地對(duì)比練習(xí)，使學(xué)生糾正錯(cuò)誤，以提高學(xué)生的辨析能力，并及時(shí)評(píng)價(jià)學(xué)生的作業(yè)，糾正錯(cuò)誤。

2.此外，教師還可以通過(guò)速問(wèn)速答來(lái)訓(xùn)練學(xué)生。如問(wèn)：3個(gè)5相加是多少？學(xué)生答：5＋5＋5=15，5×3=15。教師又問(wèn)：3個(gè)5相乘是多少？學(xué)生答：5×5×5=125。緊接著問(wèn)：3與5相乘是多少？學(xué)生答：3×5=15，或5×3=15。通過(guò)這樣的速問(wèn)速答的訓(xùn)練，發(fā)現(xiàn)學(xué)生思維越來(lái)越活躍，越來(lái)越靈敏，越來(lái)越準(zhǔn)確。改錯(cuò)練習(xí)：教師故意將學(xué)生作業(yè)中的典型錯(cuò)誤板書(shū)出來(lái)讓學(xué)生指出錯(cuò)誤之處，說(shuō)明產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因，并改正過(guò)來(lái)。教師要及時(shí)地發(fā)現(xiàn)學(xué)生作業(yè)中出現(xiàn)的問(wèn)題，收集錯(cuò)題，定期上一節(jié)糾正錯(cuò)誤課。讓學(xué)生會(huì)診，當(dāng)“錯(cuò)題醫(yī)生”，反復(fù)練習(xí)，以便對(duì)癥下藥。如在“除數(shù)是兩位數(shù)的筆算除法”這一教學(xué)內(nèi)容結(jié)束后，我把作業(yè)中的典型錯(cuò)誤整理出來(lái)：

學(xué)生首先自己觀察以上幾題錯(cuò)在哪？如何改正？然后在小組內(nèi)進(jìn)行討論逐題交流錯(cuò)因、應(yīng)該如何糾正，最后再全班進(jìn)行匯報(bào)。雖然這部分內(nèi)容并不算太難，但學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情更高，說(shuō)的機(jī)會(huì)更多，印象也就更深刻，以后也能盡量避免同樣的錯(cuò)誤了。

計(jì)算能力是學(xué)好數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，“萬(wàn)丈高樓平地起”，學(xué)生的計(jì)算速度快了，準(zhǔn)確率高了，那么解題的時(shí)間將大大縮短，學(xué)生的思維敏捷性也得到了提高。

（二）在練習(xí)中提煉出典型例題，精心設(shè)計(jì)練習(xí)和講評(píng)環(huán)節(jié)，讓學(xué)生了解每一類型題目的特征，理解并掌握解決每一類型題目的解答方法，實(shí)現(xiàn)掌握一道題，弄通一類題的目的。

如在“比的應(yīng)用”的新課學(xué)習(xí)時(shí)，同學(xué)們已經(jīng)知道了“比的應(yīng)用”這類型題的解題思路有兩種：一是先把各部分量的比轉(zhuǎn)化為各占總量的幾分之幾，再用總量乘這個(gè)幾分之幾；二是先把總量除以總份數(shù)（前項(xiàng)加后項(xiàng)）得出每份是多少，再用這個(gè)每份數(shù)乘各部分的份數(shù)就得出各部分的具體數(shù)量了。但在我們的現(xiàn)實(shí)生活中比的應(yīng)用的問(wèn)題遠(yuǎn)遠(yuǎn)不止這些，于是在新課后的練習(xí)課中我設(shè)計(jì)了一組這樣的練習(xí)：

a.學(xué)校把植樹(shù)580棵的任務(wù)按人數(shù)分配給五、六年級(jí)，已知五年級(jí)有135人，六年級(jí)有155人，兩個(gè)年級(jí)各植樹(shù)多少棵？

b.學(xué)校把植樹(shù)的任務(wù)按人數(shù)分配給五、六年級(jí)，已知五年級(jí)有135人，六年級(jí)有155人，而且六年級(jí)比五年級(jí)多植樹(shù)40棵，兩個(gè)年級(jí)各植樹(shù)多少棵？

c.學(xué)校把植樹(shù)的任務(wù)按人數(shù)分配給五、六年級(jí)，已知五年級(jí)有135人，植樹(shù)270棵，六年級(jí)植樹(shù)多少棵？

在做完這組練習(xí)后，讓學(xué)生觀察這3道題有什么相同之處，又有什么不同之處。然后教師小結(jié)：在我們的比的應(yīng)用的應(yīng)用題中一般又分這么三類，不管是知道了總量、相差量還是部分量，我們計(jì)算的第一步都是求出“每份數(shù)”，但由于已知條件的不同，計(jì)算時(shí)應(yīng)分別選取總量、相差量和部分量去除以對(duì)應(yīng)的份數(shù)，從而得到每份數(shù)。其計(jì)算方法具體如下：

a.總量÷份數(shù)和=每份數(shù)

b.相差量÷份數(shù)差=每份數(shù)

c.部分量÷對(duì)應(yīng)份數(shù)=每份數(shù)，

第二步都是：每份數(shù)×各部分份數(shù)=各部分具體量。

這樣的練習(xí)對(duì)于優(yōu)等生來(lái)講猶如“如虎添翼”，而對(duì)于學(xué)習(xí)有一定困難的同學(xué)來(lái)講等于幫他們?cè)诿Ｃ４蠛Ｖ姓业搅朔较?，學(xué)生有了可遵循的方法，以后在遇到這類型的題就會(huì)迅速地根據(jù)題目所給的條件自主進(jìn)行分析、解答了。

四、自覺(jué)檢驗(yàn)，反饋調(diào)節(jié)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的批判性

數(shù)學(xué)思維的批判性品質(zhì)的培養(yǎng)與培養(yǎng)學(xué)生的自我監(jiān)控能力有密切關(guān)系。自我監(jiān)控能力就是學(xué)生為了達(dá)到預(yù)定的目標(biāo)，將自身正在進(jìn)行的實(shí)踐活動(dòng)過(guò)程作為對(duì)象，不斷地對(duì)其進(jìn)行積極的、自覺(jué)的計(jì)劃、監(jiān)督、檢查、評(píng)價(jià)、反饋和調(diào)節(jié)的能力。教師可以從培養(yǎng)學(xué)生的檢查意識(shí)和技能入手，來(lái)提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的自我監(jiān)控能力。

在運(yùn)用知識(shí)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，教師應(yīng)著力培養(yǎng)學(xué)生“自我反省”的習(xí)慣。由于學(xué)生自我意識(shí)的發(fā)展 還不成熟，往往忽視自己的內(nèi)部心理活動(dòng)，對(duì)自己思維的破綻、錯(cuò)誤不易注意。因此，在組織練習(xí)的過(guò)程中， 要經(jīng)常引導(dǎo)學(xué)生反省自己的思維，自覺(jué)地表述思維過(guò)程，對(duì)解答結(jié)果能自覺(jué)作出估計(jì)和檢驗(yàn)。如進(jìn)行三角形面積練習(xí)時(shí)，出示左圖，要求學(xué)生根據(jù)圖中數(shù)據(jù)用兩種方法求圖形面積。學(xué)生計(jì)算后發(fā)現(xiàn)，兩組相對(duì)應(yīng)的底和高求出的面積不相等。這是為什么？教師便引導(dǎo)學(xué)生討論，找原因，從而發(fā)現(xiàn)，兩條直角邊長(zhǎng)度之和等于另一條邊，就不可能組成一個(gè)三角形。這樣設(shè)計(jì)，讓學(xué)生明白在審題時(shí)就應(yīng)該對(duì)題目條件的可靠性進(jìn)行論證，無(wú)疑培養(yǎng)了學(xué)生思維的批判性。同時(shí)還促進(jìn)了學(xué)生進(jìn)一步理解“三角形兩邊之和必大于第三邊”是三條線段組成三角形的充要條件。

又如， 在“概率和可能性”的練習(xí)中，為加深學(xué)生對(duì)可能性大小的理解，可以設(shè)計(jì)下題：口袋里有4個(gè)黃球和2個(gè)白球，要想使摸出黃球和白球的可能性相同，可以（ ）。

A.拿出2個(gè)黃球 B.加入2個(gè)白球

C.加入1個(gè)白球，拿出1個(gè)黃球 D.加入1個(gè)白球。

再如：能與0.8：0.5組成比例的可以是（ ）

A.5：8 B.： C.0.48：0.3 D.80：5

多種可能的選擇題和其它類型的題目相比，題目雖然不大，由于問(wèn)題提法的改變，涉及內(nèi)容廣度增加，學(xué)生要想選出正確的答案，需嚴(yán)禁、細(xì)致地思考各種因素的影響。因此，解決這一問(wèn)題，學(xué)生必須用批判的態(tài)度去理性思考，從而推動(dòng)了學(xué)生思維批判性的發(fā)展。

五、獨(dú)立思考，大膽創(chuàng)新，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的獨(dú)創(chuàng)性

心理學(xué)研究表明：思維的獨(dú)創(chuàng)性是指?jìng)€(gè)體獨(dú)立思考創(chuàng)造出新穎的有社會(huì)價(jià)值的智力品質(zhì)，是人類思維的高級(jí)形態(tài)。思維的獨(dú)創(chuàng)性表現(xiàn)為能獨(dú)立地發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題，主動(dòng)地提出新見(jiàn)解和采用新方法的思維品質(zhì)。

教育家蘇霍姆林斯基說(shuō)：“教師不但要向?qū)W生揭示教材實(shí)質(zhì)，而且要教會(huì)學(xué)生思考。”例如，學(xué)習(xí)了梯形的面積計(jì)算以后，我給學(xué)生出了這樣一道練習(xí)題：“求5～64這六十個(gè)自然數(shù)的和，看誰(shuí)算得又對(duì)又快?！庇胁糠謱W(xué)生經(jīng)過(guò)思考，都能算出：(5+64)×60÷2=2070;問(wèn)其算理，大多學(xué)生都說(shuō)：“有一個(gè)算這類題的公式，我套進(jìn)去算出來(lái)的?！笨磥?lái)，他們能解決問(wèn)題靠的是死背公式。但其中一個(gè)學(xué)生解題的思路十分“奇特”，他說(shuō)：“我們可以把這道題看作是很多小方木按照5～64的順序壘起來(lái)的一個(gè)梯形，所以我們能按梯形的面積計(jì)算方法算出這道題的結(jié)果?！比绻@一題出現(xiàn)在別處時(shí)，可能這位同學(xué)未必有這樣的“創(chuàng)見(jiàn)”，而這題恰恰出現(xiàn)在學(xué)習(xí)了梯形的面積計(jì)算以后，為學(xué)生的思維想象指明了方向。

總之，我們?cè)跀?shù)學(xué)教學(xué)中，尤其在練習(xí)環(huán)節(jié)中，應(yīng)該有目的、有計(jì)劃地對(duì)學(xué)生實(shí)施思維訓(xùn)練，以精練巧練來(lái)發(fā)展學(xué)生思維能力，提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。通過(guò)練習(xí)，我們既要學(xué)生掌握相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)，使學(xué)生具備數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的素養(yǎng)；又要學(xué)生在掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)，培養(yǎng)學(xué)習(xí)能力，發(fā)展智力，培養(yǎng)創(chuàng)新能力，從而實(shí)現(xiàn)學(xué)生素質(zhì)的全面提高。

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（作者單位：廣東省廣州市荔灣區(qū)耀華小學(xué)）