宋元鳳,李武明，孫業(yè)進(jìn)

(通化師范學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院,吉林 通化 134002)

1 預(yù)備知識

Clifford代數(shù)Clp,q的Clifford群Γp,q由Lipschitz于1880年代定義為

1.1 Clifford代數(shù)Clp,q及其生成空間p,q

并由此確定Clp,q的一組基:

1,e1,e2,…,ep+q
e1e2,e1e3,…,e1ep+q,e2e3,…,e2ep+q,…,ep+q-1ep+q
……
e1e2…ep+q.

在如上基元中，稱es1,s2…sk(=es1es2…esk)為Clp,q的k次單位向量.特別地，1稱為Clp,q的零次單位向量.

1.2 在Clp,q的三種對合

在Clp,q中任取元素

a=a0+a1e1+…+ap+qep+q+…+a12e12+…+e(p+q-1)(p+q)e(p+q-1)(p+q)+…+a12…(p+q)e12…(p+q),a可簡記為

，

其中〈a〉k(k=0,1,…,p+q)稱為a的k次向量部分.由此定義

其中τ(k…21)為排列k…21的逆序數(shù),依次稱為a的分次對合,a的反演,a的Clifford共軛.

2 Clifford群的等價(jià)命題

本節(jié)將給出在一定限制條件下的(1)式的等價(jià)定義.

證明 設(shè)

因此a∈B,即Γp,q?B.

Γp,q=

(3)

由引理1、引理2可得下面定理.

(4)

例1 任取a=a0+a1e1+a2e2+a3e3+a4e12+a5e13+a6e23+a7e123∈Cl0,3,有

注意到〈a〉0+〈a〉3∈Cen(Cl0,3),可得

上例表明,定理1的等式不適用于所有的Clifford代數(shù)Clp,q,但一定適用于某些Clifford代數(shù)Clp,q.下面我們將以實(shí)例說明定理1用于考察實(shí)際問題的有效性.

由定理1知,a∈Γ1,0?a0a1=0.

Clifford代數(shù)Clp,q的Clifford群Γp,q在數(shù)學(xué)與物理中有廣泛的應(yīng)用,pin(p,q)群與SPin(p,q)群均為Γp,q的子群.本文給出當(dāng)Clp,q中元素與其共軛之積為實(shí)數(shù)時(shí)Γp,q的三種等價(jià)定義方式,尋找限制條件較弱的等價(jià)定義方式是尚待研究的問題.

參考文獻(xiàn)：

[1]P.Lounesto.Clifford Algebras and Spinors[M].New York:Cambridge University Press,1997.

[2]Jean Gallier.Clifford Algebras,Clifford Groups and a Generalization of the Quaternions: the Pin and Spin Groups[M].Philadelphia: Department of Computer and Information Science Technical Reports,2007.

[3]Yu Xuegang,Zhang Shuna,Huang qiunan.Clifford Algebraic Spinor and the Dirac Wave Equations[J].Advances in Applied Clifford Algebra,2001,11(1):27-38.

[4]賀福利,杜金元.泛歐式空間的Clifford群、扭群、旋群及它們的李代數(shù)[J].數(shù)學(xué)雜志,2011,31(3):519-524.

[5]宋元鳳,李武明,丁寶霞.Clifford代數(shù)CLp,q的中心子代數(shù)[J].通化師范學(xué)院學(xué)報(bào),2011,32(12):4-5.