陳衍峰，陳 軍

(通化師范學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林 通化 134002)

近20年來(lái)，線性系統(tǒng)魯棒H∞控制理論的研究取得了很大進(jìn)展[1-2]，并被逐漸推廣到非線性系統(tǒng)中．文獻(xiàn)[3]給出一類(lèi)不確定非線性系統(tǒng)魯棒H∞控制問(wèn)題的解，但是文中并未考慮時(shí)滯．文獻(xiàn)[4]給出一類(lèi)非線性時(shí)滯系統(tǒng)魯棒H∞控制器的存在條件及設(shè)計(jì)方法，但時(shí)滯是常量．

本文研究一類(lèi)非線性時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)的魯棒H∞控制問(wèn)題，應(yīng)用LMI方法，給出該系統(tǒng)魯棒漸近穩(wěn)定且滿足H∞性能指標(biāo)的控制器存在的條件及設(shè)計(jì)方法．

1 問(wèn)題描述

考慮如下非線性時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)

(1)

其中，x(t)∈Rn是狀態(tài)向量;w(t)∈Rq是擾動(dòng)輸入;z(t)∈Rs是系統(tǒng)輸出;u(t)∈Rm是控制輸入;C1，Ai，Bi，Di，i=1，2是常數(shù)矩陣;h(t)是時(shí)變時(shí)滯且滿足

(2)

令非線性擾動(dòng)f=f(x(t)，x(t-h(t))，t)且滿足

fTf≤xT(t)F1x(t)+2xT(t)F2x(t-h(t))+
xT(t-h(t))F3x(t-h(t))

(3)

其中，F(xiàn)i(i=1，2，3)是對(duì)稱正定矩陣．

本文的目的是設(shè)計(jì)一個(gè)魯棒H∞控制器

u(t)=Kx(t)

(4)

使系統(tǒng)(1)的閉環(huán)系統(tǒng)滿足：

(1)魯棒漸近穩(wěn)定；

2 魯棒H∞控制器的設(shè)計(jì)

定理1 對(duì)滿足(2)的時(shí)變時(shí)滯h(t)，(4)為系統(tǒng)(1)的魯棒H∞控制器的充分條件是：如果存在對(duì)稱正定矩陣P，Q，下面的LMI成立．

(5)

其中

證明 選取Lyapunov泛函為

(6)

于是

(7)

從而下面的不等式成立

由不等式(5)易知

(8)

對(duì)不等式(8)兩端積分，有

因此，系統(tǒng)(1)魯棒漸進(jìn)穩(wěn)定且滿足H∞性能指標(biāo)．

定理2 對(duì)滿足(2)的變時(shí)滯h(t)，(4)為系統(tǒng)(1)的魯棒H∞控制器的充分條件是：如果存在對(duì)稱正定矩陣X>0和M1>0，M2，及Y∈Rm×n，下面的LMI成立．

(9)

如果上述條件滿足，則(4)是系統(tǒng)(1)的魯棒H∞控制器，控制器為

u=YX-1x(t)

(10)

證明 當(dāng)u(t)=Kx(t)，系統(tǒng)(1)的閉環(huán)系統(tǒng)為

從而此閉環(huán)系統(tǒng)魯棒漸近穩(wěn)定且滿足H∞性能指標(biāo)的控制器存在的充分條件是：存在對(duì)稱正定矩陣P，Q，滿足下面的LMI．

(11)

3 數(shù)值算例

針對(duì)系統(tǒng)(1)，考慮以下參數(shù)

應(yīng)用定理2，利用Matlab求解(9)式，可得

于是，系統(tǒng)(1)的魯棒H∞控制器為

u(t)=[-4.3713 -0.6107]x(t).

參考文獻(xiàn)：

[1]馮俊娥，程兆林.不確定性奇異時(shí)滯系統(tǒng)的魯棒H∞控制[J].控制理論與應(yīng)用，2004，21(2):158-164.

[2]張維海.隨機(jī)不確定系統(tǒng)的魯棒H∞控制[J].工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2004，21(4):592-601.

[3]沃松林，史國(guó)棟，鄒云.具有非線性擾動(dòng)的廣義系統(tǒng)的魯棒H∞控制[J].控制與決策，2009，24(3):356-360.

[4]辛云冰.一類(lèi)非線性時(shí)滯系統(tǒng)與時(shí)滯相關(guān)的H∞控制[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2008，38(18):201-206.