謝振中，張復(fù)興，尹小紅

(邵陽(yáng)學(xué)院 理學(xué)與信息科學(xué)系，湖南 邵陽(yáng) 422000)

馬克維茨均值-方差模型[1]是投資組合理論中經(jīng)典的投資組合模型，它是以收益率歷史數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)來(lái)估計(jì)它們的期望收益和風(fēng)險(xiǎn)的.然而在現(xiàn)實(shí)中，歷史收益率數(shù)據(jù)中往往存在著離群值，這些離群值往往呈現(xiàn)出超高或超低的狀態(tài)，如果我們用這些證券的收益率歷史數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)它們的期望收益和風(fēng)險(xiǎn)，其投資組合就會(huì)偏離其實(shí)際的投資價(jià)值.馬克維茨投資組合模型的前提是假定收益率服從正態(tài)分布，根據(jù)歷史數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)期望收益和協(xié)方差矩陣.然而大量的實(shí)證研究表明，資產(chǎn)收益率的分布并不嚴(yán)格服從正態(tài)分布，而且期望收益向量也并不十分穩(wěn)健，它很容易受到樣本數(shù)據(jù)中離群值的影響，使得協(xié)方差矩陣也不穩(wěn)健.Black和Litterman[2]曾指出，期望收益的微小變化會(huì)對(duì)資產(chǎn)分配問(wèn)題產(chǎn)生較大的影響，這種穩(wěn)健性的缺乏在很大程度上會(huì)影響馬克維茨均值-方差模型的廣泛應(yīng)用.本文將Fast-MCD多變量穩(wěn)健估計(jì)方法.應(yīng)用到該投資組合模型，作為對(duì)傳統(tǒng)統(tǒng)計(jì)方法的一種補(bǔ)充，并結(jié)合我國(guó)證券市場(chǎng)的特點(diǎn)，對(duì)A股市場(chǎng)進(jìn)行了實(shí)證分析，降低了收益率歷史數(shù)據(jù)中離群值等非正常因素對(duì)投資組合決策的影響，得到了證券投資組合的有效前沿.

1 均值-方差投資組合模型

均值-方差投資組合模型是哈里.馬克維茨于1952年提出的投資組合模型，他揭示了投資組合中風(fēng)險(xiǎn)與收益率之間的定量關(guān)系，即在一定的收益率下追求風(fēng)險(xiǎn)的最小化，通過(guò)選擇最優(yōu)的投資組合，實(shí)現(xiàn)期望收益最大化，他奠定了現(xiàn)代投資組合理論的基石，使得均值-方差投資組合模型在不確定投資系統(tǒng)中得到了廣泛的應(yīng)用.

考察含有n種資產(chǎn)的投資組合

其中Rp為收益率，Ri為第i種資產(chǎn)的收益率，xi為投資第i種資產(chǎn)的比例，Ri是一個(gè)隨機(jī)變量，記ui為它的期望收益率，σij為資產(chǎn)i與資產(chǎn)j收益率的協(xié)方差，從而有

ui=E(Ri)，σij=E(Ri-uI)(Ri-ui)

其中u為期望收益率向量，X為權(quán)重向量，∑為各資產(chǎn)收益率的協(xié)方差矩陣，并且有

在滿足其理論前提下，馬克維茨均值-方差投資組合模型可以用以下非線性規(guī)劃模型表述：

(1)

其中r為投資組合P的預(yù)期收益率，

I=(1，1，…,1)′.

在非線性規(guī)劃模型(1)中，目標(biāo)函數(shù)表示投資者的投資組合風(fēng)險(xiǎn)最??；第一個(gè)約束條件是確保投資組合收益率達(dá)到或超過(guò)投資者的預(yù)期收益率r；第二個(gè)約束條件是將投資者的投資全部分配到投資組合當(dāng)中.

2 Fast-MCD穩(wěn)健估計(jì)方法

在穩(wěn)健多變量統(tǒng)計(jì)分析方法的研究方面，主要是把穩(wěn)健統(tǒng)計(jì)的思想和多變量分析方法結(jié)合起來(lái)，使在多變量分析方法里面出現(xiàn)的變量是穩(wěn)健變量.在多變量分析方法中，主要是Rousseeuw和Van Driesson(1999)提出的Fast -MCD(Fast Minimum Covariance Determinant)方法，它是以協(xié)方差矩陣作為計(jì)算的出發(fā)點(diǎn)，利用迭代和馬氏距離的思想構(gòu)造一個(gè)穩(wěn)健的期望收益向量和協(xié)方差矩陣[3].近幾年來(lái)，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的迅猛發(fā)展，穩(wěn)健多變量統(tǒng)計(jì)分析方法與計(jì)算機(jī)的結(jié)合變得越來(lái)越緊密.其步驟如下:

(1)確定h的值.h=n×a，n是樣本數(shù)，a是抽取比例，取值范圍在0.5和1之間.a越小，它的抵抗離群值能力越強(qiáng)，但是最小不能少于50%.a默認(rèn)取值為0.75，而當(dāng)樣本數(shù)量比較少時(shí)，a一般取0.9.

(2)從n個(gè)樣本中隨機(jī)抽取p+1個(gè)樣本，估計(jì)出協(xié)方差矩陣，并計(jì)算其行列式.如果該行列式為0，則再隨機(jī)加入一個(gè)樣本直到行列式不為0.這個(gè)協(xié)方差矩陣為初始協(xié)方差矩陣S0，并利用隨機(jī)樣本計(jì)算出初始樣本均值T0.

(4)重復(fù)500次這個(gè)過(guò)程，得到500個(gè)S3，從中選取使S3的行列式最小的10組h，繼續(xù)通過(guò)C-Step過(guò)程迭代直到收斂，返回使Sm的行列式最小的那組h的T和S，記為TMCD、SMCD.

(5)當(dāng)n值較大時(shí)，把n個(gè)樣本分成多個(gè)子樣本，對(duì)每個(gè)子樣本按(3)通過(guò)C-Step過(guò)程迭代直到收斂，然后在每組選擇滿足條件的10個(gè)樣本合并成一個(gè)整體樣本繼續(xù)迭代直到收斂，返回使Sm的行列式最小的那組h的T和S，記為TMCD、SMCD，TMCD就是最后求得的穩(wěn)健均值向量，SMCD是穩(wěn)健協(xié)方差矩陣.

于是將穩(wěn)健均值向量TMCD和穩(wěn)健協(xié)方差矩陣SMCD分別替換馬克維茨均值-方差投資組合非線性規(guī)劃模型(1)中的μ和∑.

3 實(shí)證研究

3.1 樣本股票和樣本區(qū)間的選取

(1)樣本股票的選取.我們將小盤股作為研究對(duì)象，這主要是考慮到小盤股很容易受政策消息面等因素的影響，其股價(jià)在短期內(nèi)波動(dòng)性較大，收益率歷史數(shù)據(jù)中存在一些異常數(shù)據(jù)，這在一定程度上會(huì)影響投資者投資組合的選擇.因此我們從滬市中小盤板塊中不同行業(yè)選取10只具有代表性股票作為投資組合的研究對(duì)象，詳見表1.并利用大智慧軟件的自動(dòng)復(fù)權(quán)功能，下載這10只股票復(fù)權(quán)后的周收盤價(jià)，計(jì)算出它們的周收益率，得到十只股票的歷史收益率序列.(見附錄)

表1 樣本股票

(2)樣本區(qū)間的選取.樣本區(qū)間選擇2010年1月1日年至2011年12月31日，之所以把樣本區(qū)間定義兩年，主要考慮到期間人民幣存款利率、存款準(zhǔn)備金等進(jìn)行了多次調(diào)整、通貨膨脹以及國(guó)際局勢(shì)如美債危機(jī)、歐債危機(jī)等因素的影響，使得歷史收益率數(shù)據(jù)中存在一些離群值，利用這期間的歷史數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)參數(shù)并構(gòu)建投資組合模型對(duì)現(xiàn)實(shí)操作具有一定的指導(dǎo)意義.

3.2 實(shí)證檢驗(yàn)及結(jié)果分析

計(jì)算出10只股票收益率的偏度和峰度，計(jì)算結(jié)果見表2.

表2 偏度和峰度

從表2發(fā)現(xiàn)各只股票的偏度和峰度均不同程度的偏離正態(tài)分布，特別是首創(chuàng)股份的峰度達(dá)到1.7345，偏度為0.7862，均偏離較遠(yuǎn).收益率偏離正態(tài)分布特征我們必須用穩(wěn)健的統(tǒng)計(jì)方法來(lái)估計(jì)期望收益向量和協(xié)方差矩陣.分別計(jì)算出這10支股票的傳統(tǒng)估計(jì)和穩(wěn)健估計(jì)的期望收益和協(xié)方差矩陣，見表3、表4及表5.

表3 期望收益

表4 Classic協(xié)方差矩陣

表5 Fast-MCD協(xié)方差矩陣

從表3、表4及表5發(fā)現(xiàn)，F(xiàn)ast-MCD方法計(jì)算出的期望收益與傳統(tǒng)估計(jì)的期望收益大部分相差比較大，而方差、協(xié)方差普遍減小了，這是因?yàn)镕ast-MCD方法減小了離群值的影響.將傳統(tǒng)估計(jì)出的期望收益向量和協(xié)方差矩陣與Fast-MCD方法穩(wěn)健估計(jì)出的期望收益向量和協(xié)方差矩陣代入均值-方差投資組合模型(1)，利用軟件Matlab6.5[3]得到投資組合的有效前沿(圖1).圖1縱軸表示投資組合的期望收益率，橫軸表示投資組合的標(biāo)準(zhǔn)差.虛線表示由傳統(tǒng)估計(jì)的投資組合有效前沿，實(shí)線表示由Fast-MCD方法估計(jì)的投資組合有效前沿.

從圖1可知，在相同的預(yù)期收益下，由Fast-MCD穩(wěn)健估計(jì)方法得到的最優(yōu)投資組合的風(fēng)險(xiǎn)要小于傳統(tǒng)估計(jì)得到的最優(yōu)投資組合的風(fēng)險(xiǎn).例如假設(shè)投資組合預(yù)期收益率r=1%，通過(guò)兩種方法得到的投資組合的收益、風(fēng)險(xiǎn)以及各股票的權(quán)重結(jié)果如表6所示.

表6 投資組合權(quán)重比較

由表6可知收益率相同時(shí)，穩(wěn)健估計(jì)的投資組合風(fēng)險(xiǎn)要明顯小于傳統(tǒng)估計(jì)的風(fēng)險(xiǎn)，而且投資組合中各只股票的權(quán)重也發(fā)生了較大的變化，投資組合得到了優(yōu)化.

圖1 投資組合前沿

從實(shí)證分析我們可以看到，引入了Fast-MCD多變量穩(wěn)健估計(jì)方法建立規(guī)劃模型，能從一定程度上降低收益率歷史數(shù)據(jù)的離群值對(duì)投資組合有效前沿帶來(lái)的影響，使我們構(gòu)建的投資組合在長(zhǎng)期中能體現(xiàn)其真正的投資價(jià)值，達(dá)到預(yù)期收益相同而風(fēng)險(xiǎn)最小的目的，說(shuō)明穩(wěn)健統(tǒng)計(jì)方法與投資組合理論相結(jié)合的可行性，是對(duì)傳統(tǒng)研究方法的一種有效補(bǔ)充，這對(duì)長(zhǎng)期投資者的股票組合投資決策具有現(xiàn)實(shí)指導(dǎo)意義.

參考文獻(xiàn)：

[1]H.Markowitz.Portfolio selection[J].the Journal of Finance，1952(7):77-91.

[2]Black，Litterman.The impact of changes in the expected return on asset allocation[J].Journal of Fixed Income，1992(5):63-67.

[3]P.J.Rousseeuw，K.Van Triessen.A Fast Algorithm for the Minimum Covariance Determinant Estimator[J].Technometrics，1999，4(3):212-223.

[4]張樹德.MATLAB金融計(jì)算與金融數(shù)據(jù)處理[M].北京:北京航空航天大學(xué)出版社，2008.