李 霞，劉曉珊

(石家莊經(jīng)濟(jì)學(xué)院 數(shù)理學(xué)院，石家莊050011)

KdV方程是1895年由D.J.Korteweg和G.de Vries研究淺水波運(yùn)動(dòng)，從流體力學(xué)出發(fā)建立的一個(gè)數(shù)學(xué)模型中得到的，其標(biāo)準(zhǔn)形式是ut+6uux+uxxx=0，式中下標(biāo)表示求導(dǎo)數(shù)，這就是通常見(jiàn)到的標(biāo)準(zhǔn)KdV方程(KdV方程的解代表了一類長(zhǎng)波長(zhǎng)小振幅的表面波)，KdV方程的提出從理論上闡明了孤波[1]的存在.隨著不斷研究發(fā)現(xiàn)，相當(dāng)廣泛的一批描述非線性作用下的波動(dòng)方程和方程組，均可歸結(jié)為KdV方程；例如，淺水中的波，彈性桿中縱向色散波的傳播，固體中的熱脈沖等等.

但是實(shí)際中遇到的方程比標(biāo)準(zhǔn)的方程要復(fù)雜的多.1992-1993年，Grimshaw[2]等在研究深海的孤立波現(xiàn)象時(shí)，發(fā)現(xiàn)這類孤立波可以用如下的KdV方程來(lái)描述:

ut+6uux+uxxx=εR(u)

其中ε<<1是一個(gè)正數(shù)，R(u)是一個(gè)算子，其典型形式為

R(u)=δ(εt)u,R(u)=uxx,
R(u)=-Δ(εt)uxxx，

本文所做的工作就是在R(u)=uxx的情況下，運(yùn)用多重尺度法解出該KdV方程的近似解.

1 攝動(dòng)法

對(duì)于非線性問(wèn)題，最有效的主要有兩種方法:一是利用計(jì)算機(jī)求其數(shù)值解；二是以攝動(dòng)法為代表的求解析的近似解.

攝動(dòng)方法[3]在非線性振動(dòng)理論中又稱為小擾動(dòng)法.其主要思想就是將非線性的、高階的或變系數(shù)的數(shù)學(xué)物理問(wèn)題的解用所含某個(gè)小量的漸近近似式表示.問(wèn)題的解是用一個(gè)攝動(dòng)展開(kāi)式的前幾項(xiàng)，一般用前兩項(xiàng)表示.盡管這種攝動(dòng)展開(kāi)式可能是發(fā)散的，但是作為解的一個(gè)定性的以及定量的表示，它們?cè)趯?shí)際中可能更有用.多重尺度法是攝動(dòng)方法中的一種.

多重尺度法是將兩個(gè)或多個(gè)尺度混合到一個(gè)問(wèn)題當(dāng)中，從而將常微分方程轉(zhuǎn)化為偏微分方程，最終得出該問(wèn)題的解析近似解的一種解題方法.用該方法解得的結(jié)果與實(shí)際情況符合得比較好.

2 求解a(T)

下面我們用多重尺度法來(lái)求如下的KdV方程:

ut+6uux+uxxx=εuxx
u(x，0)=αsech2(γx)
c=2a=4γ2
ε=0，u(x，t)=αsech2(γξ)，

其中

ξ=x-ct，
x→±∞時(shí)，u→0，ux→0，uxx→0……

的近似解析解具體形式.

令

u(θ，T)=u0(θ，T)+εu1(θ，T)+
ε2u2(θ，T)+……

(1)

c(T)=c0(T)+εc1(T)+ε2c2(T)+……

(2)

下面僅用u=u0+εu1來(lái)近似方程的解.考慮方程:

ut=6uux+uxxx=εuxx

(3)

且有當(dāng)x→±∞時(shí)，u→0，ux→0，……

因?yàn)?/p>

ut=ε?t-c?θ，ux=uθ
uxx=uθθ，uxxx=uθθθ

(4)

將(1)、(2)、(4)代入方程(3)，展開(kāi)比較ε的系數(shù)可得

O(1):c0u0θ-6u0u0θ-u0θθθ=0，

O(ε):-c0u1θ+6(u0u1)θ+u1θθθ+f1=0，

(5)

由分部積分法求(5)的齊次方程的伴隨方程，得

c0vθ-6u0vθ-vθθθ=0

(6)

這樣可得非齊次方程的解的相容性條件為

整理，得

(7)

由u0=a(T)sech2(γ(T)θ)，2a=4γ2得

(8)

由(7)及(8)解得

3 確定c1，u1

假設(shè)θ→+∞時(shí)，u1→0，對(duì)方程(5)積分一次可得關(guān)于u1的方程

(9)

下面我們來(lái)確定c1，u1.同樣比較ε2系數(shù)得到方程

O(ε2):-c0u2θ+6(u0u2)θ+u2θθθ+f2=0

(10)

非齊次方程(10)的解的相容性條件為

又由于u1滿足方程(5)，則有

(11)

記

(12)

(13)

把式(11)代入到方程(9)，整理得

(14)

由(11)、(12)、(13)、(14)得

解得

其中a=a(0)，為常數(shù).

由方程(6)知道u0θ，ω是齊次方程

的兩個(gè)根，由常數(shù)變易公式

其中

把u1o和u1e代入可得到u1.因此

4 小結(jié)

我們用多重尺度法解出了該擾動(dòng)KdV方程的近似解析解，該近似解析解在小時(shí)間范圍內(nèi)是一致有效的，在長(zhǎng)時(shí)間范圍內(nèi)的一致有效性還有待我們進(jìn)一步探討！

參考文獻(xiàn)：

[1]谷超豪，李大潛，沈韋熙.應(yīng)用偏微分方程[M].北京:高等教育出版社，1993.

[2]Grimshaw R，，Mitsudera H.Slowly varying solitary wave solution of the perturbed Korteweg-de Vris equation revised[J].Stud，Apple.Math，1993，90.

[3]A H 奈弗.攝動(dòng)方法[M].上海:上海科學(xué)技術(shù)出版社，1984.