王 昕，程希明

（北京信息科技大學(xué)理學(xué)院，北京 100192）

概率論與數(shù)理統(tǒng)計案例教學(xué)方法探析

王 昕，程希明

（北京信息科技大學(xué)理學(xué)院，北京 100192）

概率論與數(shù)理統(tǒng)計不僅是數(shù)學(xué)專業(yè)的必修課，也是經(jīng)管類和工科類專業(yè)的基礎(chǔ)課，其覆蓋面廣，應(yīng)用性強(qiáng)，是一門理論與實踐密切結(jié)合的課程。以案例驅(qū)動教學(xué)法作為概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程教學(xué)方法改革的一種手段，有針對性的選取了條件概率、全概率公式、數(shù)學(xué)期望、大數(shù)定律等4個重要的知識點(diǎn)，并使用貼近實際生活的案例作為教學(xué)的切入點(diǎn)，詳細(xì)分析解決實際問題的過程，向?qū)W生介紹該課程的相關(guān)知識在現(xiàn)實中的廣泛應(yīng)用，引導(dǎo)學(xué)生從實際情境中發(fā)現(xiàn)問題。課堂教學(xué)實踐證明，基于案例驅(qū)動的教學(xué)方法能夠開闊學(xué)生的視野，對于課程建設(shè)、教學(xué)效果、教師及學(xué)生能力的提高都有重要意義。

案例驅(qū)動；全概率；數(shù)學(xué)期望；大數(shù)定律；置信區(qū)間

0 引 言

概率論與數(shù)理統(tǒng)計是國內(nèi)外經(jīng)濟(jì)管理類各專業(yè)學(xué)生教學(xué)大綱中必不可少的公共基礎(chǔ)課，是向?qū)W生傳授隨機(jī)現(xiàn)象及其規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生使用隨機(jī)思想分析問題能力的重要途徑［1－2］。很多其他后續(xù)課程，如統(tǒng)計學(xué)、證券投資學(xué)、信息論、密碼學(xué)等都需要以概率統(tǒng)計知識為前提。經(jīng)濟(jì)管理專業(yè)學(xué)生畢業(yè)后大多從事經(jīng)濟(jì)貿(mào)易、金融投資、銀行、證券、保險等工作，在工作中會遇到許多隨機(jī)現(xiàn)象，如證券價值的變動、購買保險的人數(shù)、商品的庫存和收益等，這些工作的完成也需要依賴概率統(tǒng)計知識［3－11］。因此，讓學(xué)生輕松、愉快的學(xué)好這門課程成為了擺在每個老師面前亟待解決的問題。

不少學(xué)生在剛開始學(xué)習(xí)概率統(tǒng)計，尤其是初遇古典概型時，很有興趣，也能夠聯(lián)系實際主動思考，但隨著后續(xù)知識中公式、定理的逐漸增多，他們認(rèn)為越來越枯燥，以致越學(xué)越?jīng)]有興趣，這一點(diǎn)應(yīng)值得重視和思考。概率統(tǒng)計的思想方法來源于生活，教學(xué)中應(yīng)處處有案例，從貼近生活或與學(xué)生專業(yè)相關(guān)的問題入手，用身邊常見的現(xiàn)象和例子說明問題，從問題到理論，再從理論到應(yīng)用，而不是生硬的從概念到理論，不僅可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，減少距離感，強(qiáng)化實踐意識，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力，還可以拓展學(xué)生的視野，從而提高學(xué)習(xí)的興趣與效率［12－14］。

下面選取概率統(tǒng)計中有代表性的4個知識點(diǎn)，提出貼近現(xiàn)實、清晰易懂的案例，引導(dǎo)學(xué)生積極思考，自主求解，變被動學(xué)習(xí)為主動學(xué)習(xí)。

1 條件概率與三門問題

這個問題來自于美國的一個電視節(jié)目，參與者會看見3扇關(guān)閉了的門，其中1扇的后面有1輛汽車，選中后面有車的那扇門就可贏得該汽車，另外2扇門后面則各藏有1只山羊。當(dāng)參與者選定了1扇門，但未去開啟它的時候，節(jié)目主持人開啟剩下2扇門的其中1扇，露出其中1只山羊。隨后主持人問參與者要不要改選另1扇仍然關(guān)上的門。需要思考的是：改選另1扇門會不會增大參賽者贏得汽車的機(jī)會。

這個有趣的問題提出后，一定會引發(fā)學(xué)生熱烈的討論。這一問題的答案是——應(yīng)該換，但是許多學(xué)生都想不通，他們認(rèn)為換不換一樣，贏得汽車的概率都是1／3。實際上，問題的關(guān)鍵在于主持人，不應(yīng)該忽略這樣一個線索，即主持人一定會開啟1扇沒有汽車的門。使用條件概率的思考方法就可以解決這個問題。

也就是說，如果堅持原來的選擇，贏得汽車的機(jī)會是1／3，而選擇另1扇門，贏得汽車的機(jī)會增加到了2／3，所以應(yīng)該改變原來的選擇。

可以進(jìn)一步思考，若主持人事先不知道任何信息，而是隨機(jī)開啟某1扇門，即打開的1扇門之后有可能是汽車，也有可能是山羊，那么問題的答案是否會改變呢。

2 全概率公式與囚徒的智慧

在現(xiàn)實的各種領(lǐng)域，如經(jīng)濟(jì)、醫(yī)學(xué)、生產(chǎn)等方面，常常會涉及到各種概率問題，但這些事件會有各種類型的條件限制和復(fù)雜的樣本空間，導(dǎo)致在計算概率時，思路不清晰，甚至重復(fù)或遺漏了某些情況發(fā)生的可能性。全概率公式應(yīng)運(yùn)而生，能夠化繁為簡。以一個古代小故事為例來說明這個問題。1名囚犯要被執(zhí)行死刑，按照傳統(tǒng)，執(zhí)行死刑前還有一次機(jī)會。在囚犯面前放2個一樣的盤子，每個盤子盛有14個球，黑白顏色各一半。令囚犯蒙住眼睛從2個盤子中隨機(jī)選1個，再從選中的盤子中隨機(jī)選1個球，若選中白球則獲得赦免，否則繼續(xù)執(zhí)行死刑。聰明的囚犯略思索后，要求將其中1個盤子里放2個白球，其余的球都放在另1個盤子中。問該囚犯獲得赦免的機(jī)會比原來增加多少。令事件A為囚犯選中白球，事件B為囚犯選中第一只盤子。按照傳統(tǒng)的分球方法，即每個盤子盛有14個球，黑白顏色各一半時，

若按照囚犯提出的要求，即第一只盤子放2個白球，第二只盤子盛有其余26只球，則

這樣，聰明的囚犯通過爭取，將自己獲得生還的機(jī)會增加了3／13。進(jìn)一步，可以向?qū)W生提出思考題，能否通過改變球在盤子中的分配方法，使得囚犯的生還機(jī)會變得更大。

3 數(shù)學(xué)期望與賭金分配

1654年，賭徒德·梅累向法國數(shù)學(xué)家帕斯卡提出一個使他苦惱很久的分賭本問題：甲、乙2賭徒賭技相同，各出賭注50法郎，每次賭局中無平局。他們約定，誰先贏3局則得到全部100法郎的賭本。當(dāng)甲贏了2局，乙贏了1局時，因故要中止賭博?，F(xiàn)問這100法郎如何分才算公平。

事實上，很容易設(shè)想出以下2種分法：

1）考慮到甲、乙2人賭技相同，平均分配賭金：即甲得50法郎，乙得50法郎。這種分法沒有照顧到甲已經(jīng)比乙多贏1局這個現(xiàn)實，對甲顯然是不公平的。

2）考慮到已經(jīng)進(jìn)行的3局比賽結(jié)果，按照賭局輸贏次數(shù)的比例分配賭金：甲得200／3法郎，乙得100／3法郎。這種分法沒有考慮到如果繼續(xù)比下去的話會出現(xiàn)什么情形，即沒有照顧2人在現(xiàn)有基礎(chǔ)上對比賽結(jié)果的一種期待。

那么，這更合理的第3種分法又該怎樣分呢？提醒學(xué)生思考如果賭局進(jìn)行下去，會出現(xiàn)的情況：最多只需再賭2局即可結(jié)束這場賭博。而再賭2局可能出現(xiàn)的所有結(jié)果以有序?qū)Ρ硎?，如（甲，乙）表示第一場賭局甲贏，第二場賭局乙贏。由于2人賭技相同，這4種情況出現(xiàn)的概率應(yīng)相等，2場賭局結(jié)果的分布概率如表1所示。

表12 局結(jié)果及概率分布

如前3種結(jié)果發(fā)生，都是甲先贏3局，即甲贏得全部賭金100法郎，相應(yīng)的概率為3／4，而甲得0法郎的概率為1／4，故甲獲得的期望賭金為

而乙應(yīng)分得25法郎。因此，既考慮到甲已經(jīng)比乙多贏一局的事實，又考慮到后續(xù)可能出現(xiàn)的結(jié)果，按照數(shù)學(xué)期望的思想分配賭金是比較公平的。

在這個故事中，出現(xiàn)了“期望”這個詞，也是“數(shù)學(xué)期望”這個術(shù)語名稱的由來。分賭本問題的思想可以進(jìn)行推廣，例如應(yīng)用到投資問題：甲乙2人合資辦廠，經(jīng)營一段時間后，甲乙2人都要單獨(dú)經(jīng)營或者由于某種原因不能繼續(xù)合作下去，應(yīng)該怎樣分配經(jīng)營成果；或者因為經(jīng)驗不善而虧損，應(yīng)該如何分?jǐn)倐鶆?wù)等相關(guān)問題。這些思考對于經(jīng)管相關(guān)專業(yè)的學(xué)生是有所裨益的。

4 大數(shù)定律與保險經(jīng)營

概率法則總是在對大量隨機(jī)現(xiàn)象的考察中才能顯現(xiàn)出來，為了研究“大量”的隨機(jī)現(xiàn)象，常常采用極限的形式，這就引導(dǎo)到極限定理的研究。大數(shù)定律就是極限定理研究的成果之一。所謂大數(shù)定律，即是用來說明大量的隨機(jī)現(xiàn)象由于偶然性相互抵消所呈現(xiàn)的必然數(shù)量規(guī)律的一系列定理的統(tǒng)稱。大數(shù)定律的運(yùn)作，可以將個別風(fēng)險單位遭遇損失的不確定性，轉(zhuǎn)化為風(fēng)險單位集合的損失的確定性。由于與損失金額的預(yù)測具有相關(guān)性，大數(shù)定律的運(yùn)用直接關(guān)系到補(bǔ)償或給付的實現(xiàn)程度與保險經(jīng)營的穩(wěn)定性［15］。

例如，假設(shè)保險的損失概率為0.2，置信水平為1－α＝0.95，當(dāng)參保人數(shù)為100人時，實際損失變動與保險單位總數(shù)的比值為

但若參保人數(shù)達(dá)到10000人時，該比值則降低到

反之，保險公司可以從控制風(fēng)險的角度，先制定實際損失變動與保險單位總數(shù)的比值，進(jìn)一步從中確定該項保險的最低參保人數(shù)。

5 結(jié) 論

在概率論與數(shù)理統(tǒng)計的課堂教學(xué)中有針對性的提出問題，營造一個積極思考的環(huán)境，有助于幫助學(xué)生了解概率統(tǒng)計的方法來源于實際，又在實際工作中有廣泛的應(yīng)用。能夠引導(dǎo)學(xué)生一步一步自己尋求解決問題的方法，激起學(xué)生的探究欲望，而不是被動地記憶、理解教師傳授的知識。在解決案例的過程中，學(xué)生可以獲得親身思考的機(jī)會，便于逐漸形成善于質(zhì)疑、樂于探究、勤于動腦、努力求知的研究態(tài)度。

［1］盛驟，謝式千，潘承毅.概率論與數(shù)理統(tǒng)計［M］.北京：高等教育出版社，2010.

［2］茆詩松，程依明，濮曉龍.概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程［M］.北京：高等教育出版社，2004.

［3］張艷輝.保險經(jīng)營中的大數(shù)法則與規(guī)模經(jīng)濟(jì)性［J］.財貿(mào)研究，2003，14（3）：36-38.

［4］鮑如鈞，李聰.基于概率模型的證券投資定量決策支持［J］.上海海運(yùn)學(xué)院學(xué)報，2002，23（1）：77-82.

［5］戴振強(qiáng).證券投資決策的概率方法［J］.2007，23（5）：9-10.

［6］唐萬生，梁建峰，韓其恒.組合證券投資的概率準(zhǔn)則模型［J］.系統(tǒng)工程學(xué)報，2004，19（2）：193-197.

［7］劉裔宏，王毓基.關(guān)于保險理賠的概率分析［J］.系統(tǒng)工程，1992，10（3）：35-40.

［8］葉其宏.一種改進(jìn)的概率密碼方案的構(gòu)建與分析［J］.浙江海洋學(xué)院學(xué)報：自然科學(xué)版，2007，26（3）：303-306.

［9］王新春，肖繼先，劉曉紅.案例在概率論教學(xué)中的應(yīng)用［J］.河北理工大學(xué)學(xué)報，2007，10（2）：105-107.

［10］李強(qiáng)，張文倩.跨專業(yè)概率統(tǒng)計案例教學(xué)與實踐探索［J］.泰山學(xué)院學(xué)報，2009，31（3）：140-144.

［11］馬金鳳，湯驊.將數(shù)學(xué)史及實際案例融入概率統(tǒng)計課程的教法研究［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2010，29（4）：57-60.

［12］徐群芳.概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程教學(xué)的探索與實踐［J］.大學(xué)數(shù)學(xué)，2010，26（1）：10-13.

［13］劉瓊蓀，鐘波.將數(shù)學(xué)建模思想融入工科“概率統(tǒng)計”教學(xué)中［J］.大學(xué)數(shù)學(xué)，2006，22（2）：152-154.

［14］楊靜，陳冬，程小紅.貝葉斯公式的幾個應(yīng)用［J］.大學(xué)數(shù)學(xué)，2011，27（2）：131-132.

［15］王東紅.大數(shù)定律和中心極限定理在保險業(yè)中的重要應(yīng)用［J］.數(shù)學(xué)的實踐與認(rèn)識，2005，35（10）：128-133.

Exploration of case teaching method in probability and statistics course

WANG Xin，CHENG Ximing

（College of Science，Beijing Information Science＆Technology University，Beijing 100192，China）

Probability and Statistics is not only a required course for mathematics major but also a basic course for majors in economic management and engineering.It closely combines theory with practice and is characterized by wide coverage and great applicability.Case teaching method，as a means of teaching reform，is applied to the classes of Probability and Statistics with focus on four important knowledge points as follows，conditional probability，total probability formula，mathematical expectation and law of large numbers.Some practical cases in the daily life are first introduced to students before a detailed process of problem solving is presented，thus stimulating their curiosity and ability to explore problems and familiarizing them with the application of probability and statistics knowledge in their real life.Class experiments have clearly shown that case teaching method is much significance to broaden students'vision，better the curriculum construction，enhance teaching effects，and improve the capability of teachers and students.

cases-driven；total probability；mathematical expectation；law of large numbers；confidence interval

O212.1

A

10.3969／j.issn.1673-5862.2013.03.014

1673-5862（2013）03-0372-04

2012-10-12。

北京市委組織部優(yōu)秀人才項目（2011D005007000005）；北京信息科技大學(xué)教學(xué)改革基金資助項目（2011JGYB45）。

王 昕（1978-），女，河北邯鄲人，北京信息科技大學(xué)講師，博士。

book=375,ebook=113