任鳳英， 李興斯

（1.大連理工大學(xué)運籌學(xué)與控制論研究所，遼寧大連 116024；2.北京師范大學(xué)珠海分校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，廣東珠海 519087）

基于f－散度的一致風(fēng)險度量

任鳳英＊1，2， 李興斯1

（1.大連理工大學(xué)運籌學(xué)與控制論研究所，遼寧大連 116024；2.北京師范大學(xué)珠海分校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，廣東珠海 519087）

進一步研究了帶有熵約束的一致風(fēng)險度量，鑒于它的許多良好性質(zhì)，提出了帶有f－散度約束的一致風(fēng)險度量，獲得了一大組可以靈活選取的風(fēng)險度量，并且給出了一致風(fēng)險度量理論中可接受集的控制方法.另外，討論了將這類風(fēng)險度量直接用于優(yōu)化問題的優(yōu)點以及它們的穩(wěn)健化處理方法，得到了一致風(fēng)險度量的新的表現(xiàn)形式，此形式是CVaR的上界，在應(yīng)用中是更易處理的.

一致風(fēng)險度量；凸風(fēng)險度量；一致熵風(fēng)險度量；一致f－散度風(fēng)險度量

0 引 言

根據(jù)一致風(fēng)險度量理論，對于一組風(fēng)險資產(chǎn)構(gòu)成的組合X，決策者能夠知道需要多少資本儲備，使得組合X的風(fēng)險可以接受.其基本思想是首先定義一個可接受集合A，需要A滿足一些合理的性質(zhì)，這組性質(zhì)形成風(fēng)險度量的一致性公理，任何一個滿足一致性公理的風(fēng)險度量都可以表示為

這個表達式也稱為一致風(fēng)險度量的對偶表達式，其中Q∈Σ，Σ代表概率測度的集合，它的大小本質(zhì)上是由可接受集合A決定的.因為要使風(fēng)險X變得可以接受，那么所需的最小資本儲備是ρ（X）＝｛m＋X∈A｝.集合A的大小決定了概率測度Q∈Σ的變化范圍.如果知道如何說明可接受集A，就能構(gòu)造相應(yīng)的風(fēng)險度量ρA（X）；反之，如果有一個一致風(fēng)險度量ρ（X），就能表示出可接受集合＝｛X｜ρ（X）≤0｝.在文獻［1］中，通過錐優(yōu)化的對偶關(guān)系，說明了A與Σ的相互制約關(guān)系.由于定量地表達A是非常困難的，對于CVaR來說，可接受集合對應(yīng)的概率測度集是Σ＝｛Q∈，其中M1是所有概率測度的集合.因此，有l(wèi)－logα.受這一表達形式的啟發(fā)，文獻［1］提出在上面的風(fēng)險度量的對偶表達式中，用相對熵（Kullback－Leibler散度）來控制Σ的大小，產(chǎn)生一個優(yōu)化模型如下：

其中c由可接受的風(fēng)險水平確定，通過控制參數(shù)c的變化來約束概率測度的集合，并對應(yīng)不同的可接受集Ac，表示不同的代理人有不同的容忍度，同時也表示一組不同的風(fēng)險度量ρc（X）.H（Q｜P）是Q關(guān)于P的相對熵，定義如下：

最近，F(xiàn)ollmer等［2］從分布不變性、模型穩(wěn)健性、獨立風(fēng)險聚合下的行為以及大偏差界等幾個方面研究了一致風(fēng)險度量的這種特殊形式，并稱之為一致熵風(fēng)險度量，記為

文獻［2］是從凸熵風(fēng)險度量的一致調(diào)整的角度來研究ρc（X）的性質(zhì)的.凸熵風(fēng)險度量的定義如下：

其中參數(shù)γ∈［0，＋∞），是風(fēng)險厭惡系數(shù).文獻［2］分析了ρc（X）的一些性質(zhì)，更多地側(cè)重于這兩個風(fēng)險度量之間的差別.在精算問題中應(yīng)用這兩個風(fēng)險度量時，ρc（X）比eγ（X）的表現(xiàn)更好.本文要在一致風(fēng)險度量的統(tǒng)一表達式中，通過描述概率測度集合Σ，間接地表示各種不同的可接受集合A.除了相對熵外，也擴展到一般的f－散度，稱之為一致f－散度風(fēng)險度量.由于有一大組f－散度，產(chǎn)生了一組豐富的一致f－散度風(fēng)險度量，并討論它們的性質(zhì)和應(yīng)用問題.

1 記號與定義

設(shè)（Ω，F(xiàn)）為可測空間，X是定義在其上的有界可測隨機變量的線性空間.讓A表示可接受凸錐，Χ＋A且A∩（－A）＝｛0｝.那么泛函ρ（·）定義如下：

可接受集合A的性質(zhì)導(dǎo)致ρ（X）有如下4條性質(zhì)，稱為一致性公理，即對于X，Y∈L∞和m∈R，λ∈R＋，有

（1）單調(diào)性：X≥Yρ（X）≤ρ（Y）

（2）平移不變性：ρ（X＋m）＝ρ（X）－m

（3）正齊性：ρ（λX）＝λρ（X）

（4）次可加性：ρ（X＋Y）≤ρ（X）＋ρ（Y）

滿足這些性質(zhì)的風(fēng)險度量稱為一致風(fēng)險度量，它們有統(tǒng)一的對偶表達式：

當(dāng)不要求有正齊性時，一致風(fēng)險度量擴展為凸風(fēng)險度量，它們的統(tǒng)一的對偶表達式為

其中Σ1表示在Χ上的所有概率測度，α（Q）定義如下：

當(dāng)α（Q）∈｛0，＋∞｝時，凸風(fēng)險度量的表達式化為一致風(fēng)險度量的表達式［3－6］.

2 帶約束的一致風(fēng)險度量

2.1 一致熵風(fēng)險度量

從引言的兩個表達式可知，一致熵風(fēng)險度量是帶有Kullback－Leibler散度約束的風(fēng)險度量；凸熵風(fēng)險度量是帶有熵罰的凸風(fēng)險度量.

定義1對給定的c＞0，一致熵風(fēng)險度量ρc定義如下：

其中Q∈Σ，Σ是一致風(fēng)險度量定義中所有概率測度的集合.c的選取是為了控制概率測度集合Σ的大小.

ρc（X）的基本性質(zhì)：

（1）對任何的α∈（0，1）和X∈L∞，

其中c（α）＝－logα＞0.

左邊的不等式是已知的［2］，右邊的不等式證明如下：

（3）根據(jù)ρc的定義，其中的最大值是可達的，即

（4）當(dāng)考慮n個不同的隨機變量時，ρc有下面的性質(zhì)：

這個性質(zhì)說明：如果這n個隨機變量表示n個保險合約，當(dāng)合約數(shù)量增加時，每個合約的費用將下降到公平費用.性質(zhì)（2）～（4）的證明見文獻［2］.

2.2 一致f－散度風(fēng)險度量

定義2 設(shè)概率測度Q關(guān)于P連續(xù)，f：（0，＋∞）→R是任意一個凸函數(shù)，使得f（1）＝0，那么Q和P之間的f－散度是

由于凸函數(shù)f可有多種選取方式，f－散度包含了一大組關(guān)于概率分布間距離的度量.另外，也會用到f的共軛函數(shù)f＊，定義如下：

下面是常用的凸函數(shù)及其代表的散度或稱距離.

例1f（x）＝xlogx，對應(yīng)Kullback－Leibler相對熵散度

分布的熵與f－散度有密切的聯(lián)系，如下面的式子：

已知的其他的散度還有很多，f－散度的一些基本性質(zhì)如下：

性質(zhì)1Df（Q｜P）＝Df＊（P｜Q）當(dāng)且僅當(dāng)屈c∈R：f＊（u）－f（u）＝c（u－1），f＊是f的伴隨共軛函數(shù).

性質(zhì)2（Q｜P）＝Df（Q｜P），當(dāng)且僅當(dāng)屈c∈R：f1（u）－f（u）＝c（u－1）.

性質(zhì)3f（1）≤Df（Q｜P）≤f（0）＋f＊（0）.

性質(zhì)4Df（Q｜P）≥f（1）＝0，其中等式成立當(dāng)且僅當(dāng)Q＝P.

Q、P是任意的概率測度.

定義3對給定的c＞0，一致f－散度風(fēng)險度量ρ（f，c）定義如下：

其中Q∈Σ，Σ是一致風(fēng)險度量定義中所有概率測度的集合.顯然一致熵風(fēng)險度量是它的特例，將從優(yōu)化的角度分析一致f－散度風(fēng)險度量.它們的性質(zhì)概括在下面的定理中.

由于目標(biāo)函數(shù)的線性和f的凸性，這是一個凸優(yōu)化問題，使用Lagrange方法求解.

優(yōu)化問題中的密度函數(shù)之比 （x）≥0，聯(lián)系不等式的Lagrange乘子λ≥0.根據(jù)最優(yōu)解的充分且必要條件，對所有的g（x），計算L關(guān)于g（x）的方向?qū)?shù)：

因此， （x）必須使下面的等式

幾乎處處成立.

（x）還需要滿足下列約束條件和互補松弛條件：

可以斷言λ＞0，否則，由最優(yōu)性條件可推出x＝μ.這是退化的情況.當(dāng)λ＞0，

當(dāng)f（x）＝xlogx時， （x）＝e（－x）／λ＋μ／λ－1，最優(yōu)值是可達的，記為

如果在優(yōu)化問題中，默認(rèn) （x）是密度之比，則拉格朗日函數(shù)簡化為

3 應(yīng) 用

3.1 對沖問題中的應(yīng)用

可以將一致f－散度風(fēng)險度量融于對沖問題中，不必單獨增加一個風(fēng)險度量約束.一個風(fēng)險最小化歐式期權(quán)對沖問題如下：

其中XT代表對沖組合在到期日的值，它由α份股票和β份無風(fēng)險債券構(gòu)成；CT是歐式期權(quán)在到期日的價值，暫且考慮單期的對沖問題.那么這個問題就是在可接受的風(fēng)險容忍水平下，選取風(fēng)險資產(chǎn)和無風(fēng)險資產(chǎn)的投資組合，使得一致f－散度風(fēng)險度量最小.所求得的最優(yōu)值說明：還需要多少資本儲備才能使得出售期權(quán)可能發(fā)生的負(fù)債在可接受的風(fēng)險容忍水平之下.由于這個優(yōu)化問題是一個凸優(yōu)化，可以將其離散化后求解，它是在多項式時間內(nèi)可解的［7］.

3.2 穩(wěn)健化一致f－散度風(fēng)險度量

上述風(fēng)險度量假設(shè)P是已知的，但是在實際的應(yīng)用中，P通常是從歷史數(shù)據(jù)中估計或使用蒙特卡羅方法獲得，有時也采用專家的判斷，因此所得概率測度P不可避免地含有誤差.為了控制模型風(fēng)險，提出一致f－散度風(fēng)險度量的穩(wěn)健形式：

4 結(jié) 語

本文探索了如何給出一致風(fēng)險度量中可接受集的可操作性表示，即把它轉(zhuǎn)化為對f－散度的約束，通過上界c來表示概率測度間的距離，其中c的選取可參考CVaRα中的α.通過c的變化，所給出的一致f－散度風(fēng)險度量能夠表達決策者的風(fēng)險厭惡，并且有多種表示方式.這一方法還可以直接用于組合優(yōu)化和衍生產(chǎn)品的對沖問題，這類優(yōu)化問題的求解留待以后詳細(xì)探討.

［1］ 任鳳英，李興斯.一致風(fēng)險度量和錐優(yōu)化分析［J］.運籌學(xué)學(xué)報，2010，14（2）：95－106.

REN Feng－ying，LI Xing－si.The cone optimization analysis of coherent risk measure［J］.Operations Research Transactions，2010，14（2）：95－106.（in Chinese）

［2］Follmer H，Knispel T.Entropic risk measures：coherence vs.convexity model ambiguity and robust large deviations［J］.Stochastics and Dynamics，2011，11（2－3）：333－351.

［3］Artzner P，Delbaen F，Eber J M，etal.Coherent measures of risk［J］.Mathematical Finance，1999，9（3）：203－228.

［4］Fllmer H，Schied A.Stochastic Finance—An Introduction in Discrete Time［M］.2nd ed.Berlin：Walter de Gruyter，2004.

［5］Fllmer H，Schied A.Convex measures of risk and trading constraints［J］.Finance and Stochastics，2002，6（4）：429－447.

［6］Frittelli M，Rosazza G E.Putting order in risk measures［J］.Journal of Banking ＆Finance，2002，26（7）：1473－1486.

［7］Ben－Tal A，Nemirovski A.Lectures on Modern Convex Optimization：Analysis Algorithms and Engineering Applications［M］.Philadelphia：SIAM，2001.

Coherent risk measure based onf－divergence

REN Feng－ying＊1，2， LI Xing－si1

（1.Institute of Operations Research and Control，Dalian University of Technology，Dalian 116024，China；2.College of Applied Mathematics，Beijing Normal University，Zhuhai，Zhuhai 519087，China）

The investigation for the coherent risk measures with entropy constraints is conducted，and because it has many good properties，the coherent risk measure withf－divergence constraints is presented.The study obtains a group of flexible risk measures and the methods to control the acceptable set of the coherent risk measure theory.In addition，its advantages used directly in optimization problems and the robustness of method are discussed.The new expression of coherent risk measure is obtained.It is the upper bound ofCVaRand more tractable in applications.

coherent risk measure；convex risk measure；coherent entropy risk measure；coherentfdivergence risk measure

O221.5

A

1000－8608（2013）05－0772－05

2012－03－16；

2013－07－01.

任鳳英＊（1961－），女，博士生，副教授，E－mail：rui5926＠sina.com.