榮翠蓮， 王連堂

(西北大學 數(shù)學系， 陜西 西安 710127))

0 引言

聲波散射和傳播問題在醫(yī)學成像、地理勘探、非破壞性檢測等領域中有著廣泛的應用，一直都是數(shù)學物理領域的研究熱點.古典聲波散射理論有兩個基本問題，一是時間調和聲波在不可穿透障礙散射的問題，另一個是時間調和聲波在非均勻介質中的散射問題.對于均勻介質中聲波散射的各問題，如混合邊界、開弧等大多都得到了很好地解決[1-4]，而對非均勻介質的研究相對較少.分層介質是非均勻介質中一種簡單而有實際意義的情況.文獻[5]從理論上給出了不可穿透障礙在兩層介質中聲波散射正問題的適定性及反問題的唯一性，本文主要利用邊界積分方程和Nystrom法給出此類正問題的數(shù)值算法，并給出不同的數(shù)值算例.

(1)

(2)

u1=0,x∈Γ1

(3)

這里，波數(shù)kj=wj/cj，wj為介質Dj中波的頻率，cj為波速.λ0是D0,D1中兩種介質密度之比，它為正常數(shù).外部全場u0可以分解為u0=ui+us，其中ui表示入射平面波，比如ui=eik0x·d，us表示散射場，us滿足Sommerfeld輻射條件，

(4)

此外，每個散射場的輻射解有如下的外部漸進性：

1 正散射問題的解

定理1 正散射問題(1)～(4)至多有一解[5].

對于正散射問題解的存在性，我們利用位勢理論將其轉化為邊界積分方程組.因為Helmholtz方程的任何一個解均可表示為單、雙層位勢的組合，我們先定義單雙層位勢.設Γl,Γj均為有界封閉曲線,φ為可積函數(shù)，則積分

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

x∈Γl

(10)

這里,j,l,m={0,1}.用C0,α(Γj)和C1,α(Γj)表示H?lder連續(xù)函數(shù)空間和H?lder連續(xù)可微函數(shù)空間.當j≠l時，上述算子從C(Γj)→C0,α(Γj)和從C0,α(Γj)→C1,α(Γj)都是緊的[7].

用如下形式的單雙層位勢組合來表示散射場us和u1：

Φ0(x,y)φ(y)}ds(y)，

x∈D0

(11)

x∈D1

(12)

其中ψ,φ,χ是三個待定的函數(shù)，η≠0是耦合參數(shù).運用邊界條件(2)、(3)及單雙層位勢的跳躍關系，不難推出下面的邊界積分方程組：

(13)

(14)

(15)

X=(ψ,φ,χ)′,C=(f,g,0)′,I為恒等算子.所以，方程組可簡記為：

(E+A)X=C

因為E是有界逆算子，A為緊算子，由Riesz-Fredholm理論知方程組有唯一解[8].因此，我們有以下結論：

定理2 如果k12不是負的Laplace算子的Dirichlet特征值，則正散射問題有唯一解.

由Hankel函數(shù)的漸進性知，單雙層位勢組合所對應的遠場模式為：

2 數(shù)值算法

Γj:{zj(t)=(zj1(t),zj2(t)),0≤t≤2π},j={0,1},

其中：

(λ0+1)ψ(z0(ti))+

這里

(-1)|i-p|π

p=0,1,…,2n-1

式中,G1(t,τ),G2(t,τ)為超奇異T算子核裂解得出，具體可參考文獻[9]，這里只是加上邊界標號.

3 數(shù)值算例

在數(shù)值計算時，取定入射波為ui=eik0x·d，其中d=(1,0)表示入射方向，參數(shù)η=k1.下面給出具體的數(shù)值算例的求值結果.

例1 外邊界曲線Γ0，內邊界曲線Γ1，

t∈[0,2π]；

Γ1:z1(t)=(cost,sint),t∈[0,2π],區(qū)域內波數(shù)為k0=0.5,k1=1.遠場模式u∞(d)和u∞(-d)的數(shù)值結果如表1、表2所示.

表1 例1中方向為d時數(shù)值結果

表2 例1中方向為-d時數(shù)值結果

例2 外邊界曲線Γ0，內邊界曲線Γ1，

Γ1:z1(t)=(0.6cost,0.2sint),t∈[0,2π].波數(shù)為k0=2.5,k1=2.遠場模式u∞(d)和u∞(-d)的數(shù)值結果如表3，表4所示.

表3 例2中方向為d時數(shù)值結果

表4 例2中方向為-d時數(shù)值結果

為了驗證此方法的可行性，我們取d=(-1,0),λ0=1與文獻[10]的結果做了一個對照，數(shù)值結果是一致的.同時，例1、例2的數(shù)值結果也表明該方法的收斂速度是非?？斓?，所以文中的方法是可行有效的.

4 結束語

目前，對于混合邊界在分層介質中的聲波散射問題的數(shù)值解暫時還沒有有效的解決方式.因此，我們期望本文中所用方法可以有效地解決該類問題.

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[2] 王連堂，楊阿莉，管金友,等.阻尼邊界條件散射問題的數(shù)值解法[J].數(shù)學物理學報,2009,29(6):1 704-1 713.

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