呂海艷 袁 偉 侯喜文

(華中師范大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，武漢 430079)

(2012年12月28日收到;2013年2月27日收到修改稿)

1 引言

由于量子糾纏在量子信息科學(xué)中起著非常重要的作用，人們提出了多種糾纏量度如約化Neumann熵，concurrence[1]，和負(fù)性等[2].約化Neumann熵是通過計(jì)算子系統(tǒng)的約化密度矩陣得到，能很好的描述純態(tài)的量子糾纏.對(duì)兩量子比特，concurrence能用解析的數(shù)學(xué)公式計(jì)算[1]，負(fù)性是計(jì)算部分轉(zhuǎn)置密度矩陣的跡模[2].盡管它們的定義完全不同，但它們能很好地描述糾纏態(tài)的特性，特別是約化Neumann熵被廣泛地用來研究場(chǎng)與原子相互作用系統(tǒng)[3]和其他模型[4-8]的量子糾纏動(dòng)力學(xué).

最近文獻(xiàn)[9]給出來任意兩組分量子態(tài)的concurrence，其優(yōu)點(diǎn)是不僅考慮了密度矩陣的部分轉(zhuǎn)置，而且還考慮了密度矩陣的重排.我們將利用文獻(xiàn)[9]提出的concurrence來研究場(chǎng)與原子相互作用系統(tǒng)的糾纏動(dòng)力學(xué)，并計(jì)算約化Neumann熵，發(fā)現(xiàn)concurrence與約化Neumann熵主要是正關(guān)聯(lián)的.此外，在合適的模型參數(shù)與初態(tài)的條件下，量子糾纏在較長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)具有幾乎不變的特性，使得人們有足夠的時(shí)間來完成量子信息處理.

2 模型

其中ω和ω0分別為場(chǎng)和原子的頻率;a?和a是場(chǎng)的產(chǎn)生和湮沒算符;b?和b是原子的產(chǎn)生和湮沒算符;γ是非線性參數(shù);g是場(chǎng)與原子的耦合參數(shù).當(dāng)原子處在基態(tài)與場(chǎng)處在光子相加相干態(tài)的直積為初始態(tài)，將模型參數(shù)固定為ω=ω0=1，γ=1，g=100，文獻(xiàn)[3]研究了約化Neumann熵動(dòng)力學(xué).由于推廣的二項(xiàng)式態(tài)能在實(shí)驗(yàn)中實(shí)現(xiàn)，還能用于量子門[10]，我們將考慮場(chǎng)處在推廣的二項(xiàng)式態(tài)和幾組不同的模型參數(shù)γ和g，研究concurrence和約化Neumann熵的動(dòng)力學(xué).

3 糾纏動(dòng)力學(xué)特性

我們選取場(chǎng)的初態(tài)為推廣的二項(xiàng)式態(tài)，而原子的初態(tài)為基態(tài)，整個(gè)系統(tǒng)的初態(tài)為

其中|N,p,φ〉a是推廣的二項(xiàng)式態(tài)[10]，N是光子數(shù)，0≤ p≤ 1，φ是相角，|n〉a是場(chǎng)的 Fock 態(tài)，|0〉b是原子的基態(tài)，下標(biāo)a和b分別對(duì)應(yīng)于場(chǎng)和原子子系統(tǒng)，初態(tài)的時(shí)間演化是 |ψ(t)〉=e-iHt|ψ(0)〉，相應(yīng)的密度矩陣 ρ=|ψ(t)〉〈ψ(t)|.

我們利用兩種糾纏量度來研究場(chǎng)與原子相互作用模型(1)的初態(tài)(2)的糾纏動(dòng)力學(xué).一種量度是concurrence，其定義[9]為

其中ρa(bǔ)=Trbρ是將密度矩陣對(duì)其中的一個(gè)子系統(tǒng)b求跡.

圖 1 concurrence(實(shí)線)和約化 Neumann熵 (點(diǎn)線)的時(shí)間演化，其中γ =0.02((a)，(c)); γ =0.25((b)，(d));p=0.04((a)，(b));p=0.5((c)，(d))

我們還研究了其他模型參數(shù)和初態(tài)，以及較長(zhǎng)的演化時(shí)間，發(fā)現(xiàn)上述兩個(gè)結(jié)論還是適用的，圖2是又一個(gè)例子.在圖2中，g=1，p=1，γ =0.02((a)，(c)); γ =0.25((b)，(d));N=3((a)，(b));N=6((c)，(d))的 concurrence和約化 Neumann 熵.當(dāng) p=1時(shí)，推廣是二項(xiàng)式態(tài)退化為Fock態(tài)|N〉a.從圖2(a)可以看到，在弱非線性參數(shù)γ和低激發(fā)Fock態(tài)條件下，concurrence和約化Neumann熵幾乎是等同的，且具有較好的準(zhǔn)周期性.

圖 2 concurrence(實(shí)線)和約化 Neumann 熵 (點(diǎn)線)的時(shí)間演化，其中 g=1，p=1：γ=0.02((a)，(c));γ=0.25((b)，(d));N=3((a)，(b));N=6((c)，(d))

圖3 concurrence的時(shí)間演化，其中參數(shù)γ=0.03，p=0.5，N=15(實(shí)線);γ=0.03，p=0.7，N=15(短虛線);γ=0.02，p=0.5，N=15(點(diǎn)虛線);γ=0.02，p=0.7，N=12(短點(diǎn)虛線)

4 結(jié)論

我們研究了場(chǎng)與非線性介質(zhì)中的原子相互作用系統(tǒng)的量子糾纏動(dòng)力學(xué)，發(fā)現(xiàn)糾纏的兩種量度concurrence和約化Neumann熵是正關(guān)聯(lián)占優(yōu)勢(shì);在適當(dāng)?shù)臈l件下，幾乎不變的糾纏具有較長(zhǎng)的時(shí)間.這有利于量子糾纏理論和量子信息.此外，我們可以探討混態(tài)的糾纏特性，包括多組分量子糾纏，并考慮環(huán)境對(duì)糾纏的影響[16,17].

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