秦帥鋒 鄭公平 馬驍 李海燕 童晶晶 楊博

(河南師范大學(xué)物理系，新鄉(xiāng) 453007)

(2013年1月6日收到;2013年1月30日收到修改稿)

1 引言

1995年玻色-愛(ài)因斯坦凝聚的實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)使得超冷原子成為物理學(xué)一個(gè)非常活躍的研究領(lǐng)域.21世紀(jì)初期，超冷原子在超流體和Mott-絕緣體之間的量子相變實(shí)驗(yàn)[1]使得光晶格成為物理學(xué)許多研究方向的超低溫實(shí)驗(yàn)室[2].2007年，美國(guó)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)局的物理學(xué)家進(jìn)一步實(shí)現(xiàn)了雙阱光學(xué)超晶格[3,4].在雙阱光晶格中，每個(gè)雙阱單元中的情況是完全一樣的，在實(shí)驗(yàn)中同時(shí)產(chǎn)生了許多完全相同的事例，因此在一次測(cè)量過(guò)程中就可以得到所觀測(cè)量的量子力學(xué)期待值[5].基于這個(gè)新的試驗(yàn)方法，實(shí)現(xiàn)了許多新奇的現(xiàn)象.Cheinet等通過(guò)調(diào)節(jié)偏壓勢(shì)[6]，觀測(cè)到雙阱中無(wú)自旋原子的粒子數(shù)臺(tái)階分布，這使得他們可以控制任意某個(gè)阱中的原子數(shù).Trotzky等則在對(duì)稱(chēng)的雙阱中通過(guò)控制兩個(gè)等效自旋為1/2的原子生成了自旋單態(tài)與自旋三重態(tài)的價(jià)鍵態(tài)[7]，這對(duì)于量子磁性的實(shí)驗(yàn)研究非常有意義.以往的文獻(xiàn)討論光學(xué)超晶格中自旋為1的原子的比較少.最近，Wagner等研究了雙阱超晶格中自旋為1的原子數(shù)的臺(tái)階分布[8].與標(biāo)量原子和自旋為1/2的原子相比，自旋為1的原子之間具有更豐富的自旋相互作用[9,10].本文中我們將推廣雙阱光學(xué)超晶格，提出實(shí)現(xiàn)三阱光學(xué)超晶格的理論方案，并研究弱磁場(chǎng)下對(duì)稱(chēng)三阱光學(xué)超晶格中自旋為1的原子系統(tǒng)的量子多體基態(tài)和相圖.由于磁場(chǎng)很弱及三阱之間的關(guān)聯(lián)，存在許多奇異的自旋態(tài).這些量子態(tài)可以通過(guò)調(diào)節(jié)外磁場(chǎng)和光勢(shì)壘的高度非常簡(jiǎn)便而精確地控制.

2 模型

2.1 三阱光學(xué)超晶格

原子感受到的光晶格勢(shì)場(chǎng)是由兩束相對(duì)傳播的激光束形成的駐波，數(shù)學(xué)上可描述為

其中V為勢(shì)壘高度，λ為晶格周期.本文中考慮一維情況，推廣到三維是直接的.在光晶格勢(shì)場(chǎng)的基礎(chǔ)上再疊加一個(gè)半周期的光晶格勢(shì)，

調(diào)節(jié)光場(chǎng)強(qiáng)度至4V1＞V2，便可得到對(duì)稱(chēng)雙阱光晶格.若要產(chǎn)生非對(duì)稱(chēng)雙阱光晶格，則需要再加一個(gè)磁場(chǎng)梯度.我們發(fā)現(xiàn)：如果三個(gè)周期比為1：2：3的光晶格勢(shì)疊加，

便可形成三阱光晶格.調(diào)節(jié)至V3=3V1,V2=2V1，三阱光晶格是對(duì)稱(chēng)的，如圖1所示.與雙阱光晶格不同的是，僅僅調(diào)節(jié)三個(gè)勢(shì)壘的相對(duì)強(qiáng)度，便可實(shí)現(xiàn)非對(duì)稱(chēng)三阱光晶格.按照相同的思路，疊加四個(gè)周期比為 1：2：3：4 的光晶格勢(shì)，還可以實(shí)現(xiàn)四阱光晶格.依次類(lèi)推.

圖1 一維對(duì)稱(chēng)三阱光學(xué)超晶格

2.2 三格點(diǎn)Bose-Hubbard模型

考慮超冷的自旋為1的原子囚禁在如圖1所示的一維對(duì)稱(chēng)三阱光學(xué)超晶格里，每個(gè)三阱單元中囚禁三個(gè)原子.由于原子在低勢(shì)壘之間的躍遷矩陣元遠(yuǎn)大于高勢(shì)壘之間的，因此可以將此系統(tǒng)約化為三格點(diǎn)模型，等效的Bose-Hubbard哈密頓量為[8,11,12]

其中

假設(shè)外磁場(chǎng)沿著z軸方向，同時(shí)也被取為量子化軸方向.考慮弱磁場(chǎng)[14]，參數(shù) p表征線性塞曼能量.約化后的二次塞曼能量q項(xiàng)平移了q，其中是系統(tǒng)的總粒子數(shù)算符.采用線性極化微波的方法，參數(shù)q的大小和正負(fù)已經(jīng)能夠獨(dú)立地調(diào)節(jié)[15,16].參數(shù)U0和U2分別是不依賴(lài)和依賴(lài)自旋的相互作用常數(shù)[17].對(duì)于本文考慮的排斥相互作用原子，U0＞0.如果U2＞0或者U2＜0，則自旋相互作用分別是反鐵磁性的，例如23Na，或者鐵磁性的，例如87Rb.對(duì)于實(shí)驗(yàn)上常用的原子，|U2|?U0.

3 基態(tài)相圖

在圖2中，分別給出了反鐵磁性和鐵磁性原子對(duì)應(yīng)的基態(tài)相圖.

圖中Mα表示此態(tài)沿量子化軸方向的總自旋分量為α.如圖所示，二者的相圖很不相同.反鐵磁性原子對(duì)應(yīng)的相圖中只可能有M3,M1,M0,M-1,M-3，而鐵磁性原子的相圖中還可能有M±2.在負(fù)的q區(qū)域，鐵磁性原子的相圖中只有完全極化態(tài)M±3.

圖2 基態(tài)相圖(紫、黑、綠、紅、藍(lán)、淺藍(lán)、黃色區(qū)域分別代表基態(tài)M3,M2,M1,M0,M-1,M-2,M-3.參數(shù) p，q均以23Na原子間的U2為單位.鐵磁性原子間依賴(lài)自旋的相互作用參數(shù)取為-U2.U0=25U2，t=5U2)(a)反鐵磁性23Na原子;(b)鐵磁性原子

這些量子態(tài)可以通過(guò)調(diào)節(jié)隧穿參數(shù)t和二次塞曼能量q精確地控制.完全極化態(tài)M±3的形式為

其中右矢態(tài)中的三個(gè)數(shù)字依次表示自旋量子數(shù)、磁量子數(shù)和原子數(shù)目，下標(biāo)標(biāo)記格點(diǎn)位置.由于格點(diǎn)位置是可以區(qū)分的，因此通過(guò)交換下標(biāo)，另外有五個(gè)的本征態(tài)與|2,±2;2〉1|1,±1;1〉2|0,0;0〉3是簡(jiǎn)并的，在基態(tài)中它們是等權(quán)疊加的.為了簡(jiǎn)化符號(hào)，只寫(xiě)出其中一個(gè).當(dāng)然，|1,±1;1〉1|1,±1;1〉2|1,±1;1〉3態(tài)是唯一的，因?yàn)槿孔討B(tài)不可區(qū)分.

基態(tài)M±2的形式為

其中A2,B2及態(tài)M±3中的A3,B3均隨著隧穿參數(shù)t的增大而增大.態(tài)M±3和M±2都不受外磁場(chǎng)控制，包括M±2態(tài)中的參數(shù)β2.但是態(tài)M±1為

即M±1與M0同時(shí)受隧穿參數(shù)t和二次塞曼能量q的控制.下面詳細(xì)分析自旋態(tài)M0，態(tài)M±1有類(lèi)似的行為.

首先，在圖3給出(10)式中參數(shù)B對(duì)隧穿參數(shù)t的依賴(lài)關(guān)系.可以看出：無(wú)論鐵磁性、反鐵磁性還是中性原子，B都隨著t的減小而減小.參數(shù)A有類(lèi)似的行為.這是因?yàn)閨U2|?U0，而U0項(xiàng)希望原子在三個(gè)格點(diǎn)上均勻分布.隨著t的減小，U0項(xiàng)的影響增大，在弱隧穿極限下，U0項(xiàng)起決定作用，A，B都將趨于零.

(10)式中參數(shù)ζ，β，γ，δ更易受二次塞曼能量q的調(diào)控.在圖4中，給出了ζ對(duì)q的依賴(lài)關(guān)系.可以看出：無(wú)論鐵磁性還是反鐵磁性原子，|ζ|都隨著q的增大而減小.這是因?yàn)楣茴D量(3)式中正的q項(xiàng)希望各個(gè)格點(diǎn)上的磁量子數(shù)為零.隨著q的增大，磁量子數(shù)非零的態(tài)減少.對(duì)于足夠強(qiáng)的二次塞曼能量，鐵磁性或反鐵磁性的自旋為1的原子都趨近于中性原子.出于同樣的原因，參數(shù)β有類(lèi)似的行為.

圖3 基態(tài)(10)式中參數(shù)B對(duì)隧穿參數(shù)t的依賴(lài)關(guān)系(點(diǎn)狀線、實(shí)線和虛實(shí)線分別對(duì)應(yīng)反鐵磁性、自旋為0的和鐵磁性原子.q=0.5U2，其他參數(shù)同圖2)

圖4 基態(tài)(10)式中ζ對(duì)二次塞曼能量q的依賴(lài)關(guān)系(點(diǎn)狀線、實(shí)線和虛實(shí)線分別對(duì)應(yīng)反鐵磁性、自旋為0的和鐵磁性原子.t=2.5U2，其他參數(shù)同圖2)

圖5給出了δ對(duì)q的依賴(lài)關(guān)系.對(duì)于反鐵磁性原子，自旋相互作用U2項(xiàng)希望基態(tài)下總自旋量子數(shù)Stotal盡可能的小，而鐵磁性原子的選擇正好相反.正的q項(xiàng)希望各個(gè)格點(diǎn)上的磁量子數(shù)為零，但它僅僅是希望磁量子數(shù)為零，不管Stotal是大還是小.隨著q的增大，自旋相互作用U2項(xiàng)的作用被弱化，因此對(duì)于鐵磁性原子δ會(huì)減小，而對(duì)于反鐵磁性原子δ將增大.參數(shù)γ有類(lèi)似的行為.

圖5 基態(tài)(10)式中δ對(duì)二次塞曼能量q的依賴(lài)關(guān)系(點(diǎn)狀線、實(shí)線和虛實(shí)線分別對(duì)應(yīng)反鐵磁性、自旋為0的和鐵磁性原子.參數(shù)同圖4)

4 結(jié)論

本文從理論上研究了弱磁場(chǎng)下對(duì)稱(chēng)三阱光學(xué)超晶格中自旋為1的超冷原子系統(tǒng)的基態(tài).三阱光學(xué)超晶格具有與雙阱光學(xué)超晶格相同的優(yōu)點(diǎn)：在實(shí)驗(yàn)中可以同時(shí)產(chǎn)生許多完全相同的事例.同時(shí)相對(duì)于雙阱光學(xué)超晶格中的兩格點(diǎn)關(guān)聯(lián)，三格點(diǎn)關(guān)聯(lián)具有更豐富的物理內(nèi)容.并且由于這些量子自旋態(tài)可以通過(guò)調(diào)節(jié)外磁場(chǎng)和光勢(shì)壘的高度非常簡(jiǎn)便而精確地控制，因此適合用來(lái)進(jìn)一步研究自旋糾纏[8,19-21].

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