楊慶超 樓京俊 劉樹勇 李海峰

（海軍工程大學(xué)科研部 武漢 430033）

準(zhǔn)零剛度系統(tǒng)具有固有頻率低、承載能力大、隔振效果好的優(yōu)點(diǎn)，近年來引起了學(xué)者們的興趣［1－2］.A.Carrella等［3－5］學(xué)者對(duì)準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)剛度特性的影響因素及傳遞率特性進(jìn)行了深入分析.I.Kovaci等［6－7］學(xué)者對(duì)以某一工作范圍內(nèi)系統(tǒng)剛度最小為目標(biāo)，對(duì)準(zhǔn)零剛度系統(tǒng)進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)研究.彭獻(xiàn)等［8－10］學(xué)者對(duì)單層準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行了分析.針對(duì)船舶機(jī)械隔振系統(tǒng)的特點(diǎn)，本文考慮了船舶隔振系統(tǒng)基座的彈性特性，建立了準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程并對(duì)其動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行了分析，得到系統(tǒng)倍周期分岔點(diǎn)及倍周期分岔隨系統(tǒng)參數(shù)變化的規(guī)律.

1 準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程的建立

船舶機(jī)械隔振系統(tǒng)的基座不能再看作無限大的剛體，而應(yīng)考慮基座的動(dòng)態(tài)特性，將其看作具有一定阻抗的彈性基座，對(duì)于低頻振動(dòng)，基座可以簡化為一個(gè)由彈簧和阻尼器支撐的質(zhì)量塊，這樣就將具有彈性基座的隔振系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為了雙層隔振系統(tǒng)，其中準(zhǔn)零剛度系統(tǒng)的剛度特性可以用一個(gè)三次方式子表示，船舶準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)示意圖見圖1.

圖1 準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)示意圖

以向上為正方向，由圖1a）可得

為消除方程中的重力項(xiàng)，對(duì)式（1）進(jìn)行坐標(biāo)變換，以彈簧處于平衡狀態(tài)時(shí)，質(zhì)量塊所處位置為原點(diǎn)，如圖1b）所示.

令X1＝Z1－h(huán)1，X2＝Z2－h(huán)2，H＝h1－h(huán)2，則式（1）可以轉(zhuǎn)化為

式（2）的第一式乘以w，與第二式相加得式（3）

2 幅頻特性分析

設(shè)系統(tǒng)的周期響應(yīng)為

將式（4）代入式（3）第二式，可得到x2（t）各諧波系數(shù)與x1（t）各諧波系數(shù)的關(guān)系：

將式（4）代入式（3）第一式，并將式（5）代入化簡，令b1，1＝－A1sin（ρ），c1，1＝A1cos（ρ），N＝1可得

取w＝0.2，?1＝0.05，?2＝0.15，a＝4，b＝3，k1＝3，k2＝2，可以得出基諧波的幅頻特性曲線（f＝6），和諧波響應(yīng)幅值與激勵(lì)力幅值之間的關(guān)系（ω＝4），如圖2、圖3所示.由圖2可見，在線性共振點(diǎn)后，系統(tǒng)存在一個(gè)反共振點(diǎn)，在反共振點(diǎn)處，系統(tǒng)振幅突然變小.由圖3可見，當(dāng)f∈［0，1］時(shí)，系統(tǒng)只有一個(gè)穩(wěn)定的諧波解.當(dāng)f∈［2，26］時(shí)，系統(tǒng)存在3個(gè)諧波解，具體為哪個(gè)諧波解由初始條件決定.當(dāng)f∈［26，28］時(shí)，系統(tǒng)只有一個(gè)穩(wěn)定的諧波解.

圖2 基諧波幅頻特性曲線

圖3 諧波響應(yīng)與激勵(lì)力幅值之間的關(guān)系

3 基諧波穩(wěn)定性分析

基諧波失穩(wěn)將會(huì)產(chǎn)生第1級(jí)次諧波，通過分析基諧波的穩(wěn)定性，可以得到第1級(jí)次諧波產(chǎn)生的邊界.針對(duì)該系統(tǒng)為強(qiáng)非線性系統(tǒng)的特點(diǎn)，本文運(yùn)用諧波平衡法將基諧波穩(wěn)定性的分析轉(zhuǎn)化為變分方程（Hill方程）解穩(wěn)定性的分析.

對(duì)基諧波響應(yīng)疊加一個(gè)擾動(dòng)量得

將式（7）代入式（3），其中xi滿足式（3），可得Hill方程為

Hill方程為周期參數(shù)激勵(lì)系統(tǒng)，在不穩(wěn)定區(qū)域可能存在2種不同形式的解.其中當(dāng)w≈時(shí)，式（8）的解為

當(dāng)激勵(lì)力周期為T時(shí)，式（9）的周期為2T，因此，當(dāng)系統(tǒng)以式（9）方式失穩(wěn)時(shí)，系統(tǒng)將發(fā)生倍周期分岔，通過求解系統(tǒng)以式（9）方式失穩(wěn)的邊界就可得到倍周期分岔的分岔值.當(dāng)系統(tǒng)以式（10）方式失穩(wěn)時(shí)，系統(tǒng)將發(fā)生鞍結(jié)分岔，這種情況常存在折疊點(diǎn).

4 倍周期分岔分析

為得到穩(wěn)定的邊界，令式（9）ξ＝0，并代入式（8）第二式，可得u1（t）與v2（t）的關(guān)系式：

將式（9）和式（11）代入式（8）第一式，并令cos（ωt／2），sin（ωt／2）系數(shù)為零，可以得到

要使線性方程組（12）有非零解，其系數(shù)矩陣的行列式需等于零，即求得倍周期分岔的基諧波穩(wěn)定邊界.在邊界內(nèi)，ξ＞0，線性方程組（12）系數(shù)行列式小于零，基諧波失穩(wěn)，產(chǎn)生周期為2T的新周期解.在邊界外，ξ＜0，線性方程組（12）系數(shù)行列式大于零，不發(fā)生倍周期分岔，即為基諧波穩(wěn)定區(qū)域.

按照前面的參數(shù)設(shè)置，即w＝0.2，?1＝0.05，?2＝0.15，a＝4，b＝3，k1＝3，k2＝2，f＝6，可作出系統(tǒng)發(fā)生T→2T倍周期分岔的邊界，與系統(tǒng)的幅頻曲線疊加，即可求得基諧波發(fā)生倍周期分岔的分岔值，如圖4所示.其中實(shí)線為系統(tǒng)的幅頻曲線，虛線為系統(tǒng)發(fā)生T→2T倍周期分岔的分岔邊界，兩者的交點(diǎn)即為倍周期分岔值.通過分析可知，前者分岔點(diǎn)為不穩(wěn)定分岔點(diǎn)，即分岔得到的2T周期解不穩(wěn)定，在數(shù)值計(jì)算時(shí)得不到該2T周期解.當(dāng)控制參數(shù)ω由大變小，經(jīng)過后一個(gè)分岔點(diǎn)時(shí)，系統(tǒng)將發(fā)生一次穩(wěn)定的倍周期分岔，分岔圖見圖5.

圖4 倍周期分岔邊界

圖5 系統(tǒng)倍周期分岔圖

通過將系統(tǒng)幅頻曲線（見圖6）和線性方程組（12）的系數(shù)矩陣行列式聯(lián)立求解，運(yùn)用延拓算法可得到T→2T倍周期分岔隨其他系統(tǒng)參數(shù)變化的規(guī)律，如圖6所示.由圖6a）可知，系統(tǒng)倍周期分岔區(qū)域隨著?1的增大而減小，當(dāng)?1＝0.1時(shí)，系統(tǒng)倍周期分岔區(qū)域?yàn)棣亍剩?.5，4.8］；當(dāng)?1＝0.8時(shí)，系統(tǒng)倍周期分岔區(qū)域?yàn)棣亍剩?.7，4.3］.由圖6b）可知，系統(tǒng)倍周期分岔區(qū)域隨著f的增大而減小，且逐漸向高頻移動(dòng)，當(dāng)f＝15時(shí)，系統(tǒng)倍周期分岔區(qū)域?yàn)棣亍剩?.9，5］；當(dāng)f＝30時(shí)，系統(tǒng)倍周期分岔區(qū)域?yàn)棣亍剩?.6，5.3］.

圖6 倍周期分岔隨系統(tǒng)參數(shù)變化的曲線

5 結(jié)束語

考慮船舶隔振系統(tǒng)基座彈性特性，建立了準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程，并運(yùn)用諧波平衡法分析了系統(tǒng)的幅頻特性.針對(duì)準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)具有強(qiáng)非線性的特點(diǎn)，通過分析系統(tǒng)變分方程的穩(wěn)定性，得到了系統(tǒng)倍周期分岔點(diǎn).運(yùn)用延拓法分析了系統(tǒng)隨參數(shù)變化時(shí)倍周期分岔的規(guī)律，即系統(tǒng)倍周期分岔區(qū)域隨著?1的增大而減小，隨著f的增大而減小，且逐漸向高頻移動(dòng).

［1］張建卓，李 旦，董 申，等.新型非線性超低頻水平隔振系統(tǒng)研制［J］，機(jī)械設(shè)計(jì)，2005，22（5）：19－21.

［2］LEE C M，GOVERDOVSKIY V N.A multi－stage high－speed railroad vibration isolation system with negative stiffness［J］.Journal of Sound and Vibration，2012，331：914－921.

［3］CARRELLA A，BRENNAN M J，WATERS T P.Static analysis of a passive vibration isolator with quasi－zero－stiffness characteristic［J］.Journal of Sound and Vibration，2007，（301）：678－689.

［4］路純紅，白鴻柏，楊建春，等.超低頻非線性隔振系統(tǒng)的研究［J］.噪聲與振動(dòng)控制，2010（4）：10－13，17.

［5］YANG J，XIONG Y P，XING J T.Dynamics and power flow behavior of a nonlinear vibration isolation system with a negative stiffness mechanism［J］.Journal of sound and vibration，2012，332：167－183.

［6］KOVACIC I，BRENNAN M J，WATERS T P.A study of a nonlinear vibration isolator with a quasi－zero stiffness characteristic［J］.Journal of Sound and Vibration，2008（315）：700－711.

［7］ROBERTSON W S，KIDNER M R F，CAZZOLATO B S，et al.retical design parameters for a quasizero stiffness magnetic spring for vibration isolation［J］.Journal of Sound and Vibration，2009（326）：88－103.

［8］彭 獻(xiàn)，張施祥.種準(zhǔn)零剛度被動(dòng)隔振系統(tǒng)的非線性共振響應(yīng)分析［J］.湖南大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2011，38（8）：34－39.

［9］路純紅，白鴻柏.型超低頻非線性被動(dòng)隔振系統(tǒng)的設(shè)計(jì)［J］.振動(dòng)與沖擊，2011，30（1）：234－236.

［10］殷華林，湯炳新.頻非線性隔振器的動(dòng)力學(xué)分析［J］.機(jī)械工程師，2008（2）：66－67.