王嘉鑫，林德福，祁載康

(北京理工大學 宇航學院，北京100081)

0 引言

在未來空戰(zhàn)中，近程空對空格斗導彈應(yīng)具備越肩發(fā)射攻擊第4 代戰(zhàn)斗機的能力，從而對導彈控制系統(tǒng)提出了3 點新要求:1)亞秒級的制導時間要求系統(tǒng)快速響應(yīng);2)對抗高機動目標強調(diào)對靜不穩(wěn)定彈體的增穩(wěn)能力;3)大空域飛行要求系統(tǒng)具備強魯棒性。三回路過載駕駛儀能夠適應(yīng)上述需求，其過載主反饋保證了快速性;增穩(wěn)回路利用“合成穩(wěn)定性”和高頻振蕩環(huán)節(jié)設(shè)計解決了對靜不穩(wěn)定彈體的控制問題，同時增強了系統(tǒng)的魯棒性[1－7]。

現(xiàn)有文獻大多關(guān)注在給定性能指標下三回路過載駕駛儀的設(shè)計方法，而研究該類駕駛儀時頻特性的資料較少。Nesline 等[5]認為三回路過載駕駛儀對飛行高度、速度以及彈體質(zhì)心變化的敏感度較低，魯棒性較強，并可降低雷達天線罩斜率寄生回路對制導系統(tǒng)的影響。文獻[8 －11]提出了通過包含時域響應(yīng)和高頻性能的混合指標、ITAE 最優(yōu)控制指標和改進的Butterworth 濾波器等方法設(shè)計駕駛儀性能指標，并提出了基于輸出反饋極點配置的工程設(shè)計方法。

本文對三回路過載駕駛儀及其內(nèi)回路的結(jié)構(gòu)、時域和頻域性能以及對靜不穩(wěn)定彈體的增穩(wěn)能力進行了解析分析，并通過無量綱分析方法，提出了一種三回路過載駕駛儀的設(shè)計思路。

1 彈體控制模型

將彈體視為剛體模型，利用小擾動線性化假設(shè)方法，建立去耦的縱向彈體控制模型，可由如下微分方程表示:

推導由舵轉(zhuǎn)角到彈體角速度以及法向過載的傳遞函數(shù)分別為

式中:Tm和ξm分別為開環(huán)彈體的時間常數(shù)和阻尼系數(shù);Tα為攻角滯后時間常數(shù);A1和A2為包含舵面升力的高頻環(huán)節(jié)系數(shù)和ka分別為前向增益。表1 給出了彈體參數(shù)的物理意義與表達式[7]，其中:Jz為彈體俯仰軸的轉(zhuǎn)動慣量，S 和L 分別為特征面積和特征長度分別為俯仰力矩系數(shù)導數(shù)，為升力系數(shù)導數(shù)。對靜穩(wěn)定彈體有aα＞0，且aα越大靜穩(wěn)定度越高;aα＜0 表示靜不穩(wěn)定;aα=0 為靜中立穩(wěn)定。同時對正常式布局彈體aδ＞0，而對鴨式布局彈體aδ＜0.本文采用的典型彈體仿真參數(shù)如表2[10]所示。

表1 彈體參數(shù)的物理意義和表達式Tab.1 Physical significance and expressions of coefficients

表2 仿真參數(shù)Tab.2 Simulation parameters

2 新彈體分析

作為多回路反饋的高階控制系統(tǒng)，三回路過載駕駛儀由內(nèi)向外包括開環(huán)彈體以及姿態(tài)角速度、姿態(tài)角和加速度3 條反饋控制通道，把上述3 條反饋回路獨立構(gòu)成的飛行控制系統(tǒng)分別簡稱為阻尼回路新彈體、增穩(wěn)回路新彈體和三回路駕駛儀。

2.1 開環(huán)控制系統(tǒng)

開環(huán)控制系統(tǒng)也稱開環(huán)彈體，如圖1 所示。假設(shè)舵機控制系統(tǒng)較快，忽略其動力學滯后，kACT為舵機增益，正常式氣動布局彈體取kACT= －1，鴨式布局kACT=1，則系統(tǒng)傳遞函數(shù)為

式中:KC0=kACTvk?·為前向增益;k0為增益調(diào)整系數(shù)。(4)式表明開環(huán)控制系統(tǒng)受彈體氣動性能和飛行環(huán)境的影響較大，魯棒性較差，且通常為極度欠阻尼系統(tǒng)，ξm約為0.1[10]，彈體頻率較高，抗干擾能力較弱，不能控制靜不穩(wěn)定彈體，因此，工程上常常需要設(shè)計控制器改善開環(huán)彈體的性能。

圖1 開環(huán)控制系統(tǒng)Fig.1 Open loop control system

2.2 阻尼回路新彈體

阻尼回路新彈體是在開環(huán)彈體的基礎(chǔ)上，通過姿態(tài)角速度反饋構(gòu)成的控制系統(tǒng)，其結(jié)構(gòu)如圖2 所示，傳遞函數(shù)為

式中:KC1=(kACTk?·v)/(1 +kACTkg為閉環(huán)增益;為時間常數(shù);ξ1= (2μmTm+為阻尼;k1為增益調(diào)整系數(shù);kg為設(shè)計參數(shù)，當kgk?·?1 時，有KC1≈kACTk?·v;T1≈Tm，ξ1≈μm+ |kgk?·Tα|/2Tm，通過設(shè)計kg使系統(tǒng)(5)式具有良好的阻尼系數(shù)，而新彈體的快速性和靜穩(wěn)定性與開環(huán)彈體近似，且系統(tǒng)增益易受彈體飛行狀態(tài)的影響，魯棒性較低。新彈體的開環(huán)幅值穿越頻率ωCR可由(6)式近似計算[5]:

若要求新彈體穩(wěn)定，需滿足不等式組

即kg＞(1/bα)|aα/aδ|，kg＞－(aω+bα)/|aδ|，由于(1/bα)|aα/aδ| ＞0 ＞－(aω+bα)/|aδ|，解得

將(8)式代入(6)式，得到ωCR＞|aα|/bα.

分析表明，1)對靜穩(wěn)定彈體，不等式(8)式始終成立，而對靜不穩(wěn)定彈體，控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性與平衡狀態(tài)下攻角和舵轉(zhuǎn)角的傳遞比的倒數(shù)|aα/aδ|相關(guān)，當舵效率較高時，即|aα/aδ|較小，阻尼回路新彈體更易達到穩(wěn)定;2)開環(huán)增益kgk?·對系統(tǒng)的穩(wěn)定性影響較大，但(6)式表明ωCR與kg呈正比，而考慮工程上為獲得足夠的穩(wěn)定裕度通常期望ωCR遠小于舵機頻帶或傳感器頻帶，因此阻尼回路對靜不穩(wěn)定彈體的增穩(wěn)性能將受到頻帶限制。

2.3 增穩(wěn)回路新彈體

增穩(wěn)回路新彈體是在阻尼回路的基礎(chǔ)上，增加姿態(tài)角主反饋構(gòu)成的控制系統(tǒng)，如圖3 所示。

圖3 增穩(wěn)回路新彈體Fig.3 Stabilizing loop system

增穩(wěn)回路的設(shè)計目的是在彈體響應(yīng)的短周期內(nèi)以姿態(tài)角速率的積分近似攻角，并將與攻角呈正比的恢復(fù)力矩信號反饋至輸入端，從而增加了彈體的靜穩(wěn)定性，且這種增穩(wěn)能力取決于控制系統(tǒng)的設(shè)計參數(shù)，因此可以被稱為“合成穩(wěn)定性”。在工程上，對姿態(tài)角的測量較為容易，因此增穩(wěn)回路普遍采用姿態(tài)角作為主反饋量。(10)式給出了增穩(wěn)回路新彈體的傳遞函數(shù):

對比(10)式和(11)式可知，增穩(wěn)回路新彈體與姿態(tài)駕駛儀具有相同的特征方程:

式中:T1和T2分別為一階和二階環(huán)節(jié)時間常數(shù);μ2為阻尼系數(shù)。由姿態(tài)駕駛儀性能可知，當μ2≈0.5 時，存在如下關(guān)系[12]:T1＞Tα，T2＜Tm，即增穩(wěn)回路新彈體的二階環(huán)節(jié)時間常數(shù)小于開環(huán)彈體時間常數(shù)Tm，從而使新彈體的振蕩頻率加快，由于靜穩(wěn)定性與彈體無阻尼振蕩頻率呈正比，增穩(wěn)回路新彈體的穩(wěn)定性較開環(huán)彈體有所提高;同時一階環(huán)節(jié)時間常數(shù)大于攻角滯后時間常數(shù)Tα，導致系統(tǒng)的響應(yīng)速度很慢，并且由T1決定的一階根為主導極點，而通常又有Tα?Tm，因此系統(tǒng)閉環(huán)極點間的“距離”由此拉開。

若要求增穩(wěn)回路新彈體穩(wěn)定，需滿足下列不等式組:

解得

可知當增穩(wěn)回路和阻尼回路新彈體達到臨界穩(wěn)定時分別所需設(shè)計增益kgSL和kgDL的比為

(15)式表明，提高彈體靜穩(wěn)定性至臨界穩(wěn)定時，增穩(wěn)回路新彈體所需設(shè)計增益kg遠小于阻尼回路新彈體，而增穩(wěn)回路的開環(huán)穿越頻率ωCR仍可由(6)式近似計算[5]，那么當kg下降后ωCR也降低，即對舵機頻帶的要求也可隨之降低，然而增穩(wěn)回路新彈體的快速性和阻尼系數(shù)均下降。

2.4 三回路駕駛儀

三回路駕駛儀是在增穩(wěn)回路的外層通過過載反饋構(gòu)成的閉環(huán)控制系統(tǒng)，如圖4 所示。其中，kA、ωI和kg為設(shè)計參數(shù)。

圖4 三回路駕駛儀Fig.4 Three－loop autopilot

三回路駕駛儀的閉環(huán)傳遞函數(shù)具有如下形式:

式中:J3、J2、J1為閉環(huán)特征多項式系數(shù);KC3為閉環(huán)增益。其表達式如下

將(16)式的特征多項式分解為一階和二階環(huán)節(jié)的積，得到

式中:τ 為一階環(huán)節(jié)的時間常數(shù);ω 和ξ 分別為二階環(huán)節(jié)的角頻率與阻尼系數(shù)，不失一般性，設(shè)ξ =0.5，解得

忽略由舵面升力帶來的高頻零點對閉環(huán)系統(tǒng)動態(tài)性能的影響，即A1≈0，A2≈0，同時設(shè)開環(huán)彈體參數(shù)Tm?1，μm?1，當ωITα?kg?2umTm/k?·Tα時，一階環(huán)節(jié)為閉環(huán)主導模態(tài)，那么有

上述分析表明:1)一階環(huán)節(jié)時間常數(shù)τ ＜Tα，時域響應(yīng)比增穩(wěn)回路快，且其快速性可通過設(shè)計參數(shù)調(diào)節(jié);2)二階環(huán)節(jié)的頻率可由設(shè)計參數(shù)決定;3)當kg一定時，ωI的取值越大，二階環(huán)節(jié)越快，一階環(huán)節(jié)越慢。綜上所述，三回路駕駛儀能夠通過調(diào)節(jié)設(shè)計增益使一階慢根為閉環(huán)主導極點，并“遠離”開環(huán)彈體極點，且高頻振蕩極點的可控性較強，使控制系統(tǒng)具有較高的魯棒性。

若要求三回路駕駛儀穩(wěn)定，需滿足不等式組

達到臨界穩(wěn)定時三回路駕駛儀和增穩(wěn)回路設(shè)計增益的比分別為

分析表明:二者的阻尼回路設(shè)計增益kg基本一致;當aα＞－ωCRbα時，ωITL比ωISL略小，說明過載閉環(huán)后需要更大的反饋控制增益保證系統(tǒng)穩(wěn)定性。

2.5 對靜不穩(wěn)定彈體的增穩(wěn)能力對比

x*=aα/bα表征了靜不穩(wěn)定彈體的靜穩(wěn)定度，在臨界穩(wěn)定時，由不等式(7)式、(13)式、(24)式可分別得到阻尼回路新彈體、增穩(wěn)回路新彈體和三回路駕駛儀的控制器參數(shù)對于x*的約束關(guān)系分別如(27)式～(29)式所示，且當x*的下限值越小，表明控制系統(tǒng)對靜不穩(wěn)定彈體的增穩(wěn)能力越高。

1)阻尼回路新彈體

2)增穩(wěn)回路新彈體

當ωCR＞－aω－bα時，有

3)三回路駕駛儀

當ωCR＞ － aω－bα且kA＞－ωI/v 時，有

上述分析表明，當設(shè)計增益滿足不等式(30)式時

3 種控制系統(tǒng)對被增穩(wěn)彈體的x*下限值之比約為

(31)式、(32)式表明，增穩(wěn)回路對靜不穩(wěn)定彈體的增穩(wěn)能力相比阻尼回路大幅提高，而三回路駕駛儀與增穩(wěn)回路基本一致。綜上所述，三回路駕駛儀的增穩(wěn)回路能夠有效提高控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性;過載反饋閉環(huán)之后，在提高系統(tǒng)響應(yīng)速度的同時，對彈體的增穩(wěn)能力依然較高。

3 三回路駕駛儀的無量綱分析

3.1 三回路駕駛儀的無量綱化

為便于分析設(shè)計參數(shù)對控制系統(tǒng)的影響，將三回路駕駛儀進行無量綱化。設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)(16)式的低頻主導極點和高頻振蕩極點分別為p1、p2和p3，為保證系統(tǒng)具有良好的穩(wěn)定性，三回路駕駛儀的閉環(huán)極點均為LHP 極點，并存在如下關(guān)系:

上述分析表明，τ、ω 和ξ 是三回路駕駛儀的主要性能參數(shù)，并能夠與閉環(huán)極點相互表示。在給定狀態(tài)空間描述下，利用輸出反饋的極點配置方法[9]，三回路駕駛儀的閉環(huán)極點能夠任意接近期望極點，從而使駕駛儀的設(shè)計參數(shù)與閉環(huán)極點一一對應(yīng)，并以此確定系統(tǒng)的開環(huán)性能。為便于分析，采用無量綱化方法，研究三回路駕駛儀的設(shè)計參數(shù)、閉環(huán)極點、開環(huán)和閉環(huán)系統(tǒng)性能參數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系。

令λ=ωτ 為無量綱時間常數(shù)，表征了低頻極點與高頻極點的距離。定義無量綱算子忽略高頻零點的影響，得到三回路駕駛儀閉環(huán)傳函的無量綱表達式為

λ、ξ 和Kc決定了三回路駕駛儀無量綱系統(tǒng)的性能。在低頻處較小而λ 較大，系統(tǒng)(34)式可近似為一階慣性環(huán)節(jié)，傳遞函數(shù)為

3.2 無量綱系統(tǒng)的時域分析

為考察駕駛儀無量綱閉環(huán)系統(tǒng)的時域性能，令閉環(huán)增益Kc≈1，阻尼系數(shù)ξ=0.6[6]，獲得三回路駕駛儀無量綱模型和一階環(huán)節(jié)無量綱模型的單位階躍響應(yīng)上升時間隨λ 的變化曲線如圖5 所示。圖6給出了當λ =7 時無量綱駕駛儀對單位階躍過載指令的響應(yīng)曲線。

圖5 無量綱系統(tǒng)T63%隨λ 的變化Fig.5 Non－dimensional λ

圖6 無量綱駕駛儀的單位階躍響應(yīng)Fig.6 Response of the autopilot to a step command

仿真結(jié)果表明:1)駕駛儀和一階環(huán)節(jié)的T63%近似，工程上可利用一階環(huán)節(jié)近似估計三回路駕駛儀的時域性能;2)隨λ 的增大而減小，當λ 足夠大時趨近于1;3)當λ ＞5.5 時能夠收斂至±20%的誤差帶以內(nèi);當λ ＞9 時基本不再隨λ 變化;4)一階環(huán)節(jié)為駕駛儀閉環(huán)主導環(huán)節(jié)。

3.3 無量綱系統(tǒng)的頻域分析

通常彈體動力學的不確定性最大[7]，因此將三回路駕駛儀閉環(huán)模型在彈體環(huán)節(jié)處斷開構(gòu)成開環(huán)控制系統(tǒng)，其幅相裕度與穿越頻率是駕駛儀的重要設(shè)計指標，在頻域內(nèi)考察λ 對相位裕度和穿越頻率的影響。(36)式給出了駕駛儀的無量綱開環(huán)傳遞函數(shù):

(36)式并不顯含λ，且與彈體氣動性能以及設(shè)計參數(shù)相關(guān)，但由前述對應(yīng)關(guān)系可得到駕駛儀開環(huán)性能隨設(shè)計指標的變化規(guī)律。令)的相位裕度為Pm，穿越頻率為ωCRτ，在表2 給出的仿真條件下，Pm和ωCRτ 隨λ 的變化曲線分別如圖7 和圖8 所示。研究結(jié)果表明:1)駕駛儀速度越快，隨λ 增大，穩(wěn)定裕度收斂越快;2)開環(huán)穿越頻率隨λ 近似線性變化，當λ 較大時，曲線的斜率ωCR/ω 約為常值;3)繼續(xù)增大λ，穩(wěn)定裕度將趨于常值，穩(wěn)定性不再提高，而無量綱穿越頻率將繼續(xù)增大。

圖7 開環(huán)相位裕度隨λ 的變化Fig.7 Open loop phase margin versus λ

綜上所述，本文提出了一種三回路駕駛儀的設(shè)計思路:通過增穩(wěn)回路設(shè)計一個遠離開環(huán)彈體頻率且主要受系統(tǒng)設(shè)計參數(shù)決定的閉環(huán)一階低頻主導極點和一對阻尼合適的高頻極點，在折衷了系統(tǒng)快速性的同時達到提高魯棒性和穩(wěn)定性的目的?？刂葡到y(tǒng)付出的代價是:若增強低頻極點的時域主導性需要增大高、低頻極點間的頻率差，而高頻極點又直接影響駕駛儀的開環(huán)穿越頻率以及舵機帶寬，將導致響應(yīng)較快的舵機系統(tǒng)搭配較慢的駕駛儀，使控制資源的利用率下降。

圖8 無量綱穿越頻率ωCRτ 隨λ 的變化Fig.8 Non－dimensional crossover frequency ωCRτ versus λ

在駕駛儀設(shè)計中，首先根據(jù)總體需求確定控制系統(tǒng)快速性指標τ 和合適的阻尼系數(shù)ξ，其次選取合適的λ，同時檢驗開環(huán)穿越頻率ωCR與舵機頻帶的匹配性和穩(wěn)定裕度等指標，研究表明在保證舵機系統(tǒng)頻帶約為駕駛儀穿越頻率的3 ～5 倍時，λ 可取6 ～9.該設(shè)計思路通過閉環(huán)系統(tǒng)設(shè)計并輔以開環(huán)指標檢驗，能夠使駕駛儀具有合適的快速性、穩(wěn)定性和魯棒性。

4 結(jié)論

建立了縱向彈體控制模型，提出了三回路過載駕駛儀的兩層內(nèi)回路可獨立構(gòu)造新彈體的概念，并對比研究了開環(huán)彈體、阻尼回路新彈體、增穩(wěn)回路新彈體和三回路駕駛儀的結(jié)構(gòu)、快速性、魯棒性以及對靜不穩(wěn)定彈體的增穩(wěn)能力;推導了三回路駕駛儀的無量綱模型并進行了仿真分析;最后提出了一種三回路駕駛儀的設(shè)計思路。

研究結(jié)果表明:阻尼回路新彈體可抑制彈體擺動，但其增穩(wěn)能力和魯棒性較弱;增穩(wěn)回路新彈體構(gòu)造了一階低頻主導極點，具有良好的增穩(wěn)能力和魯棒性，但受彈體氣動性能限制，其響應(yīng)速度較慢;三回路駕駛儀的時頻特性主要由設(shè)計參數(shù)決定，魯棒性較強，其增穩(wěn)回路提高了系統(tǒng)的穩(wěn)定性，過載主反饋使駕駛儀具有較快的響應(yīng)速度。

References)

[1]Mracek C P，Ridgely D B.Missile longitudinal autopilot:comparison of multiple three loop topologies[C]∥AIAA Guidance，Navigation，and Control Conference.San Francisco:AIAA，2005:2005 －6380.

[2]Mracek C P，Ridgely D B.Missile longitudinal autopilot:connections between optimal control and classical topologies[C]∥AIAA Guidance，Navigation，and Control Conference.San Francisco:AIAA，2005:2005 －6381.

[3]Wise K A.Robust stability analysisi of adaptive missile autopolit[C]∥AIAA Guidance，Navigation，and Control Conference.Keystone:AIAA，2008:1 －18.

[4]Kang S，Kim H J，Won D，et al.Robust roll－pitch－yaw integratedautopilot for a high angle－of－attack missile[C]∥AIAA Guidance，Navigation，and Control Conference.Keystone:AIAA，2008:2008 －7001.

[5]Nesline F W，Zarchan P.Robust instrumentation configuration for homing missile flight control[C]∥Guidance and Control Conference.Reston:AIAA，1980:209 －219.

[6]Zarchan P.Tactical and strategic missile guidance[M].5rd ed.Virginia:AIAA Inc，2007:483 －539.

[7]Garnell P，East D J.Guided weapon control systems[M].Oxford:Pergamon Press，1977.

[8]Lin D F，F(xiàn)an J F，Qi Z K，et al.Analysis and improvement of missile three－loop autopilots[J].Journal of Systems Engineering and Electronics，2009，20(4):844 －851.

[9]Fan J F，Lin D F，Qi Z K，et al.Missile autopilot design using optimal control and frequency constraint[C]∥2nd International Syposium on Systems and Contron in Aerospace and Astronauties，ISSCAA，Shenzhen，China:IEEE，2008:1 －6.

[10]王輝，林德福，祁載康.導彈偽攻角反饋的三回路駕駛儀分析[J].系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2012，34(1):92 －98.WANG Hui，LIN De－fu，QI Zai－kang.Design and analysis of missile three－loop autopilot with pseudo－angle of attack feedback[J].Systems Engineering and Electronics，2012，34(1):92 －98.(in Chinese)

[11]Wang H，Lin D F，Wang J，et al.Design and analysis of missile two－loop autopilot with PI compensator under Multi－constraints[C]∥3rd International Conference on Advanced Computer Theory and Engineering (ICACTE).Chengdu IEEE，2010:V5－117－121.

[12]魏先利，夏群力，祁載康.姿態(tài)及過載自動駕駛儀比例導引對比研究[J].彈箭與制導學報，2003，23(4):5 －8，12.WEI Xian－li，XIA Qun－li，QI Zai－kang.Comparing study of proportion navigation guidance law of attitude and acceleration autopilots[J].Journal of Projectiles，Rockets，Missiles，and Guidance，2003，23(4):5 －8，12.(in Chinese)