蔣瓊明，楊綠峰，2，陳 正

（1.廣西大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院；工程防災(zāi)與結(jié)構(gòu)安全教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南寧530004；2.廣西壯族自治區(qū) 住房和城鄉(xiāng)建設(shè)廳，南寧530028）

暴露在氯鹽環(huán)境下的混凝土結(jié)構(gòu)，由于氯離子的侵入使鋼筋表面的氯離子濃度達(dá)到臨界濃度而導(dǎo)致鋼筋銹蝕，從而影響到混凝土結(jié)構(gòu)的耐久性和安全性，因此，預(yù)測(cè)氯離子在混凝土中的濃度分布是評(píng)價(jià)混凝土結(jié)構(gòu)服役壽命的一個(gè)重要環(huán)節(jié)。雖然氯離子侵入混凝土包括了擴(kuò)散作用、滲透作用、電化學(xué)遷移等綜合因素的結(jié)果，但在實(shí)際的應(yīng)用中通常認(rèn)為擴(kuò)散起主導(dǎo)作用，并采用基于Fick第二定律的氯離子擴(kuò)散模型進(jìn)行分析。余紅發(fā)等［1－3］提出了能同時(shí)考慮氯離子的結(jié)合能力、氯離子擴(kuò)散系數(shù)的時(shí)間依賴性和結(jié)構(gòu)微缺陷影響的混凝土結(jié)構(gòu)服役壽命解析模型；Tang等［4］討論了使用過于簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)解分析混凝土服役壽命可能帶來的誤差，并給出了一個(gè)改進(jìn)的解析分析方法。雖然解析方法計(jì)算量少，使用簡(jiǎn)單，但由于解析解常受到規(guī)則邊界條件和材料均勻性的局限，所以實(shí)際上常常需要借助于有限元等數(shù)值方法。Han［5］考慮結(jié)合氯離子和蒸發(fā)水對(duì)氯離子擴(kuò)散系數(shù)的影響，利用有限元方法分析了混凝土中氯離子濃度的分布；Var Dimitri等［6］應(yīng)用有限差分法對(duì)氯離子引起混凝土中鋼筋腐蝕的初始時(shí)間進(jìn)行了評(píng)估。楊綠峰等［7］提出了氯離子擴(kuò)散場(chǎng)的計(jì)算長度，并據(jù)此建立了混凝土中氯離子擴(kuò)散分析的補(bǔ)償長度理論［8］及服役壽命分析的邊界元法［9］。有限元法適應(yīng)性強(qiáng)，但在計(jì)算過程中通常在時(shí)間域和空間域中需要同時(shí)采用細(xì)密離散網(wǎng)格，計(jì)算量較大、效率不高。邊界元法的未知量僅存在于邊界結(jié)點(diǎn)上，可以使待求解問題的維數(shù)降低一維，未知量較少，計(jì)算效率得到很大提高。

使用邊界元法解決瞬態(tài)擴(kuò)散問題時(shí)，可采用與時(shí)間相關(guān)［7，9］及與時(shí)間不相關(guān)［11］2種基本解。楊綠峰［7］和郭力［12］分別采用與時(shí)間相關(guān)和與時(shí)間不相關(guān)的基本解建立了混凝土中氯離子擴(kuò)散分析的邊界元法。前者可以用較少的時(shí)間步得到精度較高的計(jì)算結(jié)果［8］，所以更適合于在氯離子擴(kuò)散分析中應(yīng)用，而且可以選擇采用2種不同的時(shí)間進(jìn)程解決時(shí)域積分問題［13］：分時(shí)段逐步推進(jìn)法和全時(shí)域初值推進(jìn)法，前者將時(shí)間域離散后逐段建立邊界元法計(jì)算格式，并以前一時(shí)間段的計(jì)算結(jié)果作為下一時(shí)間段的初始值；后者總是從初始時(shí)刻開始積分，不需要對(duì)每個(gè)時(shí)間步的結(jié)果求域內(nèi)積分，保證了邊界元法計(jì)算模型僅在擴(kuò)散域邊界上離散，提高計(jì)算效率［14］。

本文采用與時(shí)間相關(guān)的基本解，并利用氯離子擴(kuò)散場(chǎng)補(bǔ)償長度理論［8］建立了混凝土中氯離子擴(kuò)散分析的邊界元法，分別利用分時(shí)段逐步推進(jìn)法和全時(shí)域初值推進(jìn)法作為邊界元法的時(shí)間進(jìn)程，比較了2種時(shí)間進(jìn)程在氯離子擴(kuò)散問題中的特點(diǎn)，結(jié)果表明：基于全時(shí)域初值推進(jìn)法建立混凝土中氯離子擴(kuò)散分析的邊界元法，可以避免分時(shí)段逐步推進(jìn)法在氯離子擴(kuò)散域內(nèi)產(chǎn)生的積分項(xiàng)和域內(nèi)積分問題，從而簡(jiǎn)化計(jì)算格式，顯著提高計(jì)算效率，而且能夠保證邊界元模型中時(shí)間域離散網(wǎng)格和計(jì)算格式的收斂性，提高計(jì)算結(jié)果的穩(wěn)定性。在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究了混凝土結(jié)構(gòu)的服役壽命，分析了氯離子擴(kuò)散維數(shù)對(duì)混凝土結(jié)構(gòu)腐蝕過程與服役壽命的影響。

1 混凝土中氯離子擴(kuò)散分析的邊界元法

基于Fick第二定律的二維擴(kuò)散方程可以表示為：

其邊界條件和初始條件為：

式中：C為混凝土中氯離子濃度（%，氯離子質(zhì)量占混凝土質(zhì)量的百分比，本文中氯離子濃度均為此單位）；q為氯離子的濃度梯度，是C的方向?qū)?shù)；t為混凝土暴露于氯離子環(huán)境中的時(shí)間（a）；D為混凝土中氯離子擴(kuò)散系數(shù)（mm2／a）；Cs、qs分別為混凝土表面氯離子濃度、濃度梯度；C0為混凝土內(nèi)部初始氯離子濃度；Γ1、Γ2和Ω分別為混凝土的第一、二類邊界和域內(nèi)。

將混凝土中氯離子擴(kuò)散的時(shí)間域［t0，tn］離散成n個(gè)子域［tk－1，tk］，（k＝1，2，…，n），且：

依據(jù)文獻(xiàn)［7］，可以針對(duì)時(shí)間子域 ［tk－1，tk］，將式（1）轉(zhuǎn)化為如下積分方程：

式中：AP為與源點(diǎn)P點(diǎn)位置有關(guān)的系數(shù)，當(dāng)點(diǎn)P位于氯離子擴(kuò)散域內(nèi)部時(shí)，AP＝1，反之，當(dāng)源點(diǎn)P位于擴(kuò)散域邊界上時(shí)，AP＝，此時(shí)β表示擴(kuò)散域邊界上P點(diǎn)兩側(cè)切線的內(nèi)夾角；為tk時(shí)刻混凝土中源點(diǎn)P處的氯離子濃度；C＊、q＊是氯離子擴(kuò)散問題的基本解［7］。

可以看出，式（4）中每一項(xiàng)積分的起始點(diǎn)都是時(shí)間子域的初始時(shí)刻tk－1，并將前一個(gè)時(shí)間子域的計(jì)算結(jié)果作為該子域的初始值，屬于分時(shí)段逐步推進(jìn)法。由于等號(hào)右側(cè)第二項(xiàng)屬于域內(nèi)積分，因而該邊界元模型通常需要開展域內(nèi)離散，不僅增加計(jì)算量，而且有可能導(dǎo)致計(jì)算誤差積累，降低計(jì)算精度，消減了邊界元法的優(yōu)勢(shì)。

2 全時(shí)域初值推進(jìn)的氯離子擴(kuò)散分析邊界元法

為了克服分時(shí)段逐步推進(jìn)法存在的問題，這里采用全時(shí)域初值推進(jìn)法建立混凝土中氯離子擴(kuò)散分析的邊界元法模型，即總是從氯離子擴(kuò)散的時(shí)間域［t0，tn］的初始時(shí)刻t0開始，對(duì)于時(shí)域中的任意時(shí)刻tk，可建立邊界積分方程：

上式等號(hào)右側(cè)的域內(nèi)積分項(xiàng)只存在于時(shí)間域的初始時(shí)刻t0，為了避免域內(nèi)離散，需要消除該項(xiàng)，此時(shí)可以利用

代替式（1）、（2）中的氯離子濃度C，建立混凝土中氯離子擴(kuò)散分析的控制方程及其邊界條件和初始條件：

其邊界條件和初始條件為：

根據(jù)上述兩式，可以建立關(guān)于CI的氯離子擴(kuò)散分析的邊界積分方程：

如此即可消除積分方程中的域內(nèi)積分項(xiàng)，從而充分發(fā)揮邊界元法的優(yōu)勢(shì)。

在式（9）基礎(chǔ)上，建立混凝土中氯離子擴(kuò)散分析的邊界元法計(jì)算模型。首先根據(jù)補(bǔ)償長度理論［8］確定計(jì)算模型的幾何尺寸，并沿該模型的邊界離散出N個(gè)線性單元，同時(shí)將氯離子擴(kuò)散的時(shí)間域［t0，tn］離散成n個(gè)等步長子域，可得邊界元法控制方程：

式中，｛CI和 ｛qI分別表示ts時(shí)刻單元結(jié)點(diǎn)上的氯離子濃度CI及其梯度qI。

其中，［N］＝ ［N1N2］表示單元形函數(shù)矩陣；C和q分別由C＊和q＊在時(shí)間子域上積分得到：

這里：

將各邊界單元的控制方程集成總體方程，據(jù)此可求得邊界上各結(jié)點(diǎn)處的CI和qI，進(jìn)而可得到域內(nèi)點(diǎn)的氯離子濃度值。

3 氯離子侵蝕下混凝土結(jié)構(gòu)服役壽命分析的邊界元法

處于氯鹽環(huán)境下混凝土結(jié)構(gòu)的服役壽命是指結(jié)構(gòu)建成開始使用到結(jié)構(gòu)失效的時(shí)間過程，包括誘導(dǎo)期、發(fā)展期和失效期3個(gè)時(shí)期。其中，誘導(dǎo)期是指混凝土內(nèi)鋼筋表面氯離子濃度達(dá)到臨界值所需的時(shí)間；發(fā)展期是指從鋼筋銹蝕到混凝土保護(hù)層脹裂所需的時(shí)間；失效期是指從保護(hù)層開裂到結(jié)構(gòu)失效所需的時(shí)間。文獻(xiàn)中通常將誘導(dǎo)期作為氯鹽環(huán)境下鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)的服役壽命［9］，而將發(fā)展期和失效期作為結(jié)構(gòu)的安全儲(chǔ)備。因此這里將誘導(dǎo)期壽命近似視為混凝土結(jié)構(gòu)的服役壽命。

根據(jù)混凝土結(jié)構(gòu)中鋼筋腐蝕的閾值濃度Ccr和鋼筋表面某點(diǎn) （xd，yd）處t時(shí)刻的氯離子濃度C（xd，yd，t），可以建立混凝土結(jié)構(gòu)腐蝕的極限方程：

當(dāng)g （Ccr，C）＝0，即C（xd，yd，T）＝Ccr時(shí)，鋼筋開始銹蝕，稱T為氯鹽腐蝕下混凝土結(jié)構(gòu)的服役壽命。

4 算例分析

算例1：使用文獻(xiàn)［7］中的算例，邊長為1 000mm的鋼筋混凝土方板，厚度為100mm，將其中的4個(gè)面用環(huán)氧樹脂封閉，沿厚度方向留下2個(gè)相鄰面AB和AD暴露在含氯離子的溶液中，如圖1所示?；炷恋?個(gè)暴露面上的表面氯離子濃度Cs＝1%，初始氯離子濃度為0，混凝土的氯離子擴(kuò)散系數(shù)D為1.0×10－12m2／s。分別采用文獻(xiàn)［7］和本文中2種時(shí)間進(jìn)程的邊界元法格式計(jì)算混凝土板內(nèi)部對(duì)角線處的氯離子濃度，并比較2種時(shí)間進(jìn)程對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響。

計(jì)算擴(kuò)散時(shí)間分別為10a、30a時(shí)混凝土中的氯離子濃度，根據(jù)混凝土中氯離子擴(kuò)散分析的補(bǔ)償理論［7－8］，邊界元計(jì)算模型的長度Lt：

擴(kuò)散時(shí)間為10、30a時(shí)的補(bǔ)償長度分別取為L10＝70mm、L30＝110mm，兩者都小于構(gòu)件的實(shí)際長度，這里取計(jì)算長度建立邊界元法計(jì)算模型，利用全時(shí)域初值推進(jìn)邊界元法計(jì)算混凝土板對(duì)角線AC上的氯離子濃度值。計(jì)算模型中，時(shí)間域被均勻劃分為5個(gè)子域。為了分析模型的收斂性，將模型的全部邊界分別離散為8、16和32個(gè)等長度單元，并將計(jì)算結(jié)果與有限元相比較，有限元模型的離散網(wǎng)格為10mm×10mm，時(shí)域離散步長為Δt＝0.5a。結(jié)果如圖2所示。從中可以看出，全時(shí)域初值推進(jìn)邊界元法計(jì)算結(jié)果與有限元法吻合良好，將邊界離散為16個(gè)邊界單元時(shí)即可獲得較好的計(jì)算精度。

圖1 氯離子二維擴(kuò)散計(jì)算模型

圖2 離散邊界元數(shù)量對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響

為了對(duì)比全時(shí)域初值推進(jìn)法和分時(shí)段逐步推進(jìn)法對(duì)邊界元法計(jì)算結(jié)果和計(jì)算效率的影響，這里分別利用兩種時(shí)間進(jìn)程方法計(jì)算擴(kuò)散時(shí)間為30a時(shí)，混凝土板對(duì)角線AC上坐標(biāo)為（40mm，40mm）處的氯離子濃度，并根據(jù)有限元法結(jié)果分析計(jì)算精度和計(jì)算效率。2種方法取同樣的BEM離散模型，即將邊界離散為16個(gè)邊界單元。另外，由于分時(shí)段逐步推進(jìn)法含有域內(nèi)積分項(xiàng)，需將擴(kuò)散域離散為10mm×10mm的域內(nèi)單元，并采取高斯積分的方法加以處理。計(jì)算結(jié)果如圖3、表1所示，從中可以看出時(shí)間域劃分的時(shí)段數(shù)量對(duì)2種方法計(jì)算結(jié)果的精度和效率有明顯影響。對(duì)于全時(shí)域初值推進(jìn)法，邊界元法計(jì)算用時(shí)少，且計(jì)算結(jié)果隨著時(shí)段數(shù)量的增加而快速收斂。而分時(shí)段逐步推進(jìn)法耗時(shí)隨著時(shí)段數(shù)量的增加而顯著增加，而且在時(shí)段不超過5個(gè)時(shí)，計(jì)算結(jié)果快速向有限元結(jié)果靠近，但當(dāng)時(shí)域離散的時(shí)段繼續(xù)增加時(shí)，誤差反而快速增大，計(jì)算結(jié)果不收斂。

圖3 2種時(shí)間進(jìn)程的計(jì)算精度比較

表1 2種時(shí)間進(jìn)程的計(jì)算耗時(shí)比較

根據(jù)對(duì)BEM模型的分析，分時(shí)段逐步推進(jìn)法產(chǎn)生誤差的原因在于式（4）右側(cè)第2項(xiàng)的域內(nèi)積分。采用常規(guī)的高斯積分法計(jì)算域內(nèi)積分時(shí)，由于該積分核函數(shù)C＊在源點(diǎn)處的值會(huì)隨著時(shí)段增加、時(shí)間步長減小而迅速增大。擴(kuò)散系數(shù)D取單位值時(shí)，C＊值在源點(diǎn)附近的值如圖4所示，從中可以看出，積分核函數(shù)在源點(diǎn)處的值隨著時(shí)間步長的減小而快速增大，且增大部分主要集中在源點(diǎn)附近很小的區(qū)域內(nèi)，造成函數(shù)曲線越來越不光滑，從而導(dǎo)致常規(guī)的高斯積分法產(chǎn)生誤差。此時(shí)，即便增加積分點(diǎn)，也難以有效提高計(jì)算精度，如圖5所示。

盡管可以采取細(xì)分域內(nèi)離散網(wǎng)格或強(qiáng)行令積分核函數(shù)在源點(diǎn)處的值為零［10］等方法解決該問題，但前者會(huì)弱化邊界元法不需要域內(nèi)離散的優(yōu)點(diǎn)，增大計(jì)算工作量；后者并沒有全面解決核函數(shù)在源點(diǎn)附件區(qū)域過分增大的問題。

圖4 取不同時(shí)間步長時(shí)的基本解特征

圖5 取不同高斯積分點(diǎn)個(gè)數(shù)對(duì)相對(duì)誤差的影響

算例2 考慮一個(gè)截面尺寸500mm×500mm的方形截面混凝土柱，其鋼筋配置情況如圖6所示，鋼筋的保護(hù)層厚度為40mm?；炷林?個(gè)側(cè)面都暴露于氯鹽環(huán)境中，設(shè)混凝土柱表面氯離子濃度Cs＝0.8%，初始氯離子濃度0，臨界氯離子濃度為0.22%［15］，混凝土擴(kuò)散系數(shù)為1.0×10－12m2／s。這里采用本文建立的全時(shí)域初值推進(jìn)邊界元法預(yù)測(cè)該混凝土柱的服役壽命。

圖6 混凝土柱截面及配筋

在柱的角部存在氯離子二維擴(kuò)散現(xiàn)象，所以可以從角部取出一個(gè)邊長為Lt＝140mm的混凝土試塊，建立邊界元法計(jì)算模型，其中Lt為計(jì)算長度，按照50a結(jié)構(gòu)服役時(shí)間和式（17）確定，氯離子沿AE邊、AF邊進(jìn)入混凝土試件內(nèi)，如圖7（a）所示；而在遠(yuǎn)離拐角的中部將發(fā)生氯離子一維擴(kuò)散，因此從邊中部取出長度為Lt＝140mm的混凝土試塊，建立邊界元法計(jì)算模型，氯離子沿GH邊進(jìn)入混凝土試件內(nèi)，如圖7（b）所示。這里利用全時(shí)域初值推進(jìn)邊界元法計(jì)算兩個(gè)模型中鋼筋周圍的氯離子濃度，并和有限元法計(jì)算結(jié)果相比較，結(jié)果如圖8所示。有限元法計(jì)算模型中，氯離子擴(kuò)散域采用10mm×10mm的離散單元網(wǎng)格，采用Δt＝0.5a的步長離散時(shí)域；邊界元法計(jì)算模型中，全部邊界離散為40個(gè)等長單元，并采用和有限元法相同的時(shí)域離散方式。從圖8可以看出，本文建立的全時(shí)域初值推進(jìn)邊界元法與有限元計(jì)算結(jié)果基本吻合，具有較高的計(jì)算精度。而且，盡管二個(gè)模型中鋼筋與構(gòu)件表面的距離都是40mm，但氯離子濃度及其隨時(shí)間變化的規(guī)律有明顯區(qū)別，二維擴(kuò)散區(qū)鋼筋表面的氯離子濃度明顯高于一維擴(kuò)散區(qū)，而且隨著擴(kuò)散時(shí)間的增長，二者之間的差別逐漸增大。

圖7 混凝土柱中氯離子擴(kuò)散計(jì)算模型

圖8 一、二維擴(kuò)散條件下鋼筋表面的氯離子濃度

根據(jù)式（16），利用全時(shí)域初值推進(jìn)邊界元法分別計(jì)算了一維、二維擴(kuò)散區(qū)鋼筋銹蝕時(shí)混凝土柱的服役壽命，并將計(jì)算結(jié)果與有限元法相比較，詳見圖9。圖中結(jié)果再次表明，本文方法與有限元法結(jié)果基本吻合，具有很高的計(jì)算精度。而且可以看出，二維擴(kuò)散條件下，混凝土結(jié)構(gòu)的服役壽命較一維擴(kuò)散條件大大降低，因此實(shí)際設(shè)計(jì)中，采用二維氯離子擴(kuò)散模型進(jìn)行計(jì)算更符合真實(shí)情況，才能保證鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)的耐久性。

圖9 混凝土柱的服役壽命預(yù)測(cè)值

5 結(jié) 語

建立了混凝土中氯離子擴(kuò)散分析的全時(shí)域初值推進(jìn)邊界元法，研究了分時(shí)段逐步推進(jìn)邊界元法計(jì)算結(jié)果不隨時(shí)域細(xì)分而收斂的原因。與分時(shí)段逐步推進(jìn)邊界元法相比，全時(shí)域初值推進(jìn)邊界元法可以消除氯離子擴(kuò)散域內(nèi)的積分項(xiàng)，避免域內(nèi)離散，不僅簡(jiǎn)化了計(jì)算格式，而且提高了迭代過程的穩(wěn)定性和計(jì)算結(jié)果的精度，減少了計(jì)算耗時(shí)。研究結(jié)果表明，氯離子擴(kuò)散維數(shù)對(duì)氯離子濃度分布和混凝土結(jié)構(gòu)服役壽命有顯著影響，應(yīng)在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中加以考慮。

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