張海林 張鐵巖

（交通運輸部公路科學研究院國家智能交通系統(tǒng)工程技術研究中心1） 北京 100088）

（青島市城市規(guī)劃設計研究院2） 青島 266071）

0 引 言

同自然界多數(shù)網(wǎng)絡類似，城市地鐵網(wǎng)絡也是由線和點組成，是一種典型的復雜網(wǎng)絡［1］．國內(nèi)一些主要城市，如北京、上海、廣州地鐵建設已初具規(guī)模．隨著網(wǎng)絡規(guī)模的不斷擴大，城市地鐵也會出現(xiàn)一系列問題，例如，信號故障，乘客人數(shù)的驟增造成列車、站臺過度擁堵等等．這些節(jié)點或邊發(fā)生的故障會通過線路和車站之間的耦合關系擴散開來，從而引起其他節(jié)點故障，最終導致部分節(jié)點甚至整個網(wǎng)絡的崩潰，這也就是通常所說的相繼故障［2］．因此有必要對網(wǎng)絡化條 件下城市地鐵網(wǎng)絡拓撲結(jié)構特性以及相繼故障發(fā)生、發(fā)展進行研究，從而對故障的預防、控制提供理論依據(jù)．

國內(nèi)對地鐵網(wǎng)絡相繼故障已有初步研究．汪小帆等［3］在中對全局耦合網(wǎng)絡、無標度網(wǎng)絡及小世界網(wǎng)絡中CML的相繼故障進行了較為詳細的闡述．Bao Zhejing，Cao Yijia［4］中對局域世界網(wǎng)絡的CML的相繼故障進行了研究．馬秀娟［5］等提出有向網(wǎng)絡CML的相繼故障，并在文獻［6］中對樹形網(wǎng)絡拓撲結(jié)構中的CML相繼故障特征進行了探討，馬福祥［7］將 CML模型應用到km，n網(wǎng)絡中，分析了km，n中不同網(wǎng)絡拓撲結(jié)構的魯棒性．以上研究主要集中在復雜網(wǎng)絡拓撲結(jié)構類型方面，而對在地鐵網(wǎng)絡實例分析中則尚未涉及．本文采用基于耦合映像格子（CML）的相繼故障模型和Matlab編程仿真，對北京、上海、廣州等國內(nèi)三個城市地鐵網(wǎng)絡相繼故障進行了研究．

1 基本概念

1.1 耦合映像格子

多數(shù)時空系統(tǒng)的時間、空間和狀態(tài)變量是連續(xù)的，適于用偏微分方程來描述．無論是進行理論分析還是數(shù)值計算，都比較復雜，而且運算量也大．耦合映象格子（coupled map lattice，CML）便是將時間和空間變量離散化，但狀態(tài)變量仍保持連續(xù)，這樣既克服上述缺點，又能從本質(zhì)上顯示出系統(tǒng)的復雜時空特性．它是一個時間、空間都離散，而狀態(tài)保持連續(xù)的非線性動力學系統(tǒng)，已成為研究時空混沌的強有力工具．在過去幾十年研究中，通常假設CML具有規(guī)則的拓撲結(jié)構（如全耦合或最近鄰耦合）．近年來，隨著復雜網(wǎng)絡的興起，人們已經(jīng)開始研究具有小世界或無標度拓撲結(jié)構的耦合映像格子中的動力學行為，如時空混沌、分岔，同步等等［8］．

1.2 基于CML的相繼故障模型

將具有N個節(jié)點的CML相繼故障模型描述如下．

式中：xi（t）為第i個節(jié)點在t時刻的狀態(tài)．N個節(jié)點的連接信息用鄰接矩陣A ＝ （ai，j）N×N表示．若節(jié)點i和j之間有邊相連，則aij＝aji＝1，否則aij＝aji＝0．這里規(guī)定任意2個不同的節(jié)點之間至多只能有1條邊，且不允許節(jié)點和自身相連；k（i）是節(jié)點i的度；ε∈（0，1）為耦合強度；非線性函數(shù)f表征節(jié)點自身的動態(tài)行為，這里選擇為混沌Logistic映射：f（x）＝4x（1－x），當0≤x≤1時，0≤f（x）≤1；式中的絕對值符號保證各節(jié)點的狀態(tài)非負．

如果節(jié)點i的狀態(tài)在m個時序內(nèi)始終在（0，1）范圍內(nèi)，即0＜xi（t）＜1，t≤m，那么稱節(jié)點i處于正常狀態(tài)．如果在m時刻，節(jié)點i的狀態(tài)xi（m）≥1，那么稱節(jié)點在此刻發(fā)生故障，節(jié)點在以后的任意時刻狀態(tài)恒等于零，即xj（t）≡0，t＞m．在節(jié)點狀態(tài)按照公式（1）迭代演化的網(wǎng)絡中，如果所有N個節(jié)點的初始狀態(tài)都在（0，1）范圍內(nèi)，并且沒有外部擾動，那么所有的節(jié)點將永遠保持正常狀態(tài)．

假設在m時刻給某個節(jié)點c施加一個外部擾動R≥1，如式（2）所示．

在這種情況下，節(jié)點c在第m 時刻發(fā)生故障．因此，對所有的t＞m 有xc（t）≡0．在第m＋1時刻，與c直接相鄰的節(jié)點都將受到m時刻c節(jié)點的狀態(tài)xc（m）的影響，并且這些節(jié)點的狀態(tài)值按照式（1）計算得出．此時計算出來的節(jié)點狀態(tài)值也有可能大于1，從而會引起新一輪的節(jié)點故障．這個過程反復進行，節(jié)點故障就可能擴散，最終導致網(wǎng)絡的崩潰．

1.3 復雜網(wǎng)絡特征參數(shù)簡介

直徑與平均路徑長度：網(wǎng)絡中2點之間的距離定義為連接2點的最短路徑邊數(shù)，其中任意兩點之間距離的平均值稱為網(wǎng)絡的平均路徑長度，記為L，任意兩個節(jié)點之間的距離的最大值稱為網(wǎng)絡的直徑，記為D；度是節(jié)點在復雜網(wǎng)絡中的一個重要屬性，是指與該節(jié)點連接的邊數(shù)；聚類系數(shù)Ci又叫做群聚系數(shù)，定義為與該節(jié)點直接相鄰的實際邊數(shù)目與最多可能邊數(shù)之比，整個網(wǎng)絡的聚類系數(shù)＜C＞即為網(wǎng)絡中所有節(jié)點聚類系數(shù)的平均值；節(jié)點介數(shù)是指網(wǎng)絡中通過該節(jié)點的最短路徑的數(shù)目．

2 相繼故障仿真結(jié)果分析

對北京、廣州、上海地鐵網(wǎng)絡構造說明如下，并統(tǒng)計得到3城市地鐵網(wǎng)絡特征值：（1）分析所用數(shù)據(jù)均來自各城市地鐵運營公司官方網(wǎng)站，時間截止到2011年底；（2）地鐵網(wǎng)絡采用Space L構造方法，以地鐵車站作為網(wǎng)絡節(jié)點，若在實際網(wǎng)絡中2站點之間有線路直接相連，則將其作為構造網(wǎng)絡的1條邊，并且在網(wǎng)絡構造過程中對部分線路和站點進行了適當處理．對于部分孤立線路，比如北京地鐵9號線、房山線和S2線，以及尚未開通站點均不在數(shù)據(jù)統(tǒng)計范圍之內(nèi)；（3）不考慮地鐵線路方向和列車在線路上行駛時間，將地鐵網(wǎng)絡抽象為為無向非加權網(wǎng)絡．對北京、廣州、上海地鐵網(wǎng)絡拓撲結(jié)構特征值統(tǒng)計見表1．其中直徑、平均路徑長度、度、平均度在復雜網(wǎng)絡中均為量綱一的量，在此指代不同情形下2點之間邊的個數(shù)．

表1 各城市地鐵網(wǎng)絡拓撲結(jié)構特征值

本次仿真工具采用Matlab，圖中數(shù)據(jù)均為50次實驗的平均值，仿真過程中取ε＝0．6，并在第10個時刻選擇攻擊節(jié)點施加擾動R（R≥1）．實驗采取兩種攻擊策略：隨機攻擊和蓄意攻擊．其中在蓄意攻擊時選取度較大的節(jié)點，對北京、廣州、上海分別選取西直門、廣州火車站、世紀大道作為攻擊目標．首先讀入網(wǎng)絡鄰接矩陣，求出相應參數(shù)，然后根據(jù)CML相繼故障模型得到仿真結(jié)果，輸出數(shù)據(jù)并畫出關系圖．

圖1顯示了城市地鐵網(wǎng)絡中在隨機攻擊和蓄意攻擊兩種策略下，擾動幅度R與故障規(guī)模I的關系曲線，從圖中可以看出3座城市地鐵網(wǎng)絡的擾動幅度與故障規(guī)模均有相似的變化趨勢，故障規(guī)模都會隨著擾動幅度的增大而增加，并且在這兩種攻擊策略下均存在相似的闕值，．當R＜時故障規(guī)模I很?。↖≤0．2），并且變化非常緩慢；當≤R≤時，故障規(guī)模I會迅速增加，并最終造成全局故障．從圖中可以看到，該相繼故障模型下，與隨機攻擊相比通過蓄意攻擊引起相繼故障進程稍有增加，但是效果并不明顯．由文獻［9］已知基于Space L的地鐵網(wǎng)絡的具有一定的隨機網(wǎng)絡特征，其度近似服從Poisson分布，多數(shù)節(jié)點度為2，度分布較為均勻，因此在相同的擾動幅度下，由蓄意攻擊和隨機攻擊兩種策略引起的相繼故障規(guī)模不會有明顯變化．

圖1 單目標隨機攻擊和蓄意攻擊條件下擾動幅度與故障規(guī)模關系

圖2 相繼故障在單目標隨機攻擊和蓄意攻擊條件下的擴散過程

圖3 多目標攻擊下擾動幅度與故障規(guī)模關系

圖4 多目標攻擊下相繼故障擴散過程

圖2 是單個節(jié)點相繼故障在地鐵網(wǎng)絡中的擴散過程，圖2a），2b）分別表示了網(wǎng)絡在隨機攻擊和蓄意攻擊2種策略下故障規(guī)模的傳播曲線，其中取擾動幅度R＝12．可以看到在同一攻擊策略下地鐵網(wǎng)絡的相繼故障擴散過程也呈現(xiàn)出相似的變化趨勢．在第0時刻施加擾動后，蓄意攻擊策略下在各個時刻引起的節(jié)點故障規(guī)?？偸谴笥陔S機策略，并且故障規(guī)模一開始便有較快的增長速度，變化呈現(xiàn)出先快后慢的趨勢；而隨機攻擊策略下網(wǎng)絡故障規(guī)模呈現(xiàn)出“慢—快—慢”的變化趨勢．同小世界網(wǎng)絡相比，地鐵網(wǎng)絡在兩種攻擊策略下的相繼故障傳播均需要較長時間，這也驗證了地鐵網(wǎng)絡具有較大的平均最短路徑拓撲結(jié)構特征．

在進行多目標攻擊時隨機選取兩個目標作為攻擊對象，并施加擾動．同樣取耦合強度ε＝0．6，圖3為多目標攻擊下故障規(guī)模隨擾動幅度變化關系曲線，從圖中可以看到同單目標攻擊相比，故障規(guī)模沒有明顯變化，這是因為對于單目標攻擊而言，當某個站點發(fā)生故障并向外傳播時便出現(xiàn)和多目標攻擊相似的情形，因此造成兩類攻擊除初始時刻之外并沒有較大差別．圖4為多目標攻擊條件下相繼故障規(guī)模隨時間的變化情形，在這里同樣取R＝12．可以看到在多目標隨機攻擊時故障規(guī)模的變化趨勢明顯快于單目標情況．同單目標隨機攻擊相比，在進行多目標攻擊時3城市地鐵網(wǎng)絡達到全局故障的時間提前約40%．以上表明對于地鐵網(wǎng)絡多目標攻擊只是加快了相繼故障的傳播速率，但對最終引起的網(wǎng)絡故障規(guī)模并沒有太大影響．

3 結(jié)束語

通過對北京、廣州、上海地鐵網(wǎng)絡拓撲結(jié)構和相繼故障分析得到以下結(jié)論：同許多其他網(wǎng)絡類似，在進行單目標攻擊時，地鐵網(wǎng)絡CML蓄意攻擊下故障擴散過程比隨機攻擊要劇烈，具有較快的傳播速度；但當相繼故障經(jīng)過充分傳播時，通過蓄意攻擊造成網(wǎng)絡故障規(guī)模效果并不明顯；同單目標攻擊相比，地鐵網(wǎng)絡的多目標攻擊只是加快了其相繼故障的擴散進程，對于最終引起的故障規(guī)模則影響不大．

本文只是在城市地鐵網(wǎng)絡物理層面分析其相繼故障，而未考慮運營交路、乘客換乘等諸多復雜情況，需要結(jié)合地鐵網(wǎng)絡實際情況做進一步研究．

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