陳 亮 盛衛(wèi)星 韓玉兵 馬曉峰

（南京理工大學(xué)電子工程與光電技術(shù)學(xué)院，江蘇 南京210094）

引 言

數(shù)字波束形成技術(shù)以其靈活的多波束性能和強(qiáng)抗有源干擾性能在雷達(dá)、聲納、無(wú)線通信等領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用.隨著技術(shù)的發(fā)展，為提高距離分辨能力和成像分辨率，一些先進(jìn)雷達(dá)系統(tǒng)的帶寬越來(lái)越寬，寬帶數(shù)字波束形成成了陣列天線和陣列信號(hào)處理領(lǐng)域的一個(gè)研究熱點(diǎn).

過(guò)去十幾年來(lái)，對(duì)于寬帶波束形成的研究，學(xué)者們做出了很多的努力，并且取得了一定的成果.例如，有學(xué)者提出利用空時(shí)聯(lián)合的自適應(yīng)處理方法［1-4］，通過(guò)在每一個(gè)天線單元后增加一個(gè)有限長(zhǎng)單位沖激響應(yīng)濾波器，提高系統(tǒng)的自由度，來(lái)實(shí)現(xiàn)寬帶數(shù)字波束形成.有的學(xué)者提出了利用Bessel函數(shù)展開(kāi)的方式實(shí)現(xiàn)寬帶波束形成［5］.有的學(xué)者提出了將寬帶波束形成問(wèn)題轉(zhuǎn)換為一個(gè)凸優(yōu)化問(wèn)題，通過(guò)設(shè)計(jì)個(gè)性化的代價(jià)函數(shù)，并利用現(xiàn)有的凸優(yōu)化解決工具，實(shí)現(xiàn)寬帶數(shù)字波束形成［6-7］.近幾年來(lái)，相干信號(hào)空間聚焦類(lèi)算法［8-11］由于相對(duì)適中的運(yùn)算量以及較好的性能得到了眾多學(xué)者的廣泛關(guān)注，酉約束陣列導(dǎo)向矢量聚焦（Unitary Constrained Array Manifold Focusing，UCAMF）［8］、旋轉(zhuǎn)信號(hào)子空間（Rotational Signal Subspace，RSS）［9，11］、雙 邊 相 關(guān) 變 換（Two-sided Correlation Transformation，TCT）［10］等聚焦算法相繼被提出.然而，上述算法的最大缺點(diǎn)在于，聚焦矩陣的計(jì)算是建立在期望信號(hào)以及干擾來(lái)波方向先驗(yàn)已知的條件下的.如果預(yù)計(jì)的期望信號(hào)及干擾角度來(lái)向信息與實(shí)際的角度來(lái)向存在偏差，那么聚焦算法的性能將急劇下降，從而影響到最終的寬帶波束形成性能.

目前，窄帶自適應(yīng)單脈沖算法的研究成果比較豐富［12-14］，而針對(duì)寬帶自適應(yīng)單脈沖算法的研究并不是很多.Bucris在文獻(xiàn)［15］中提出了基于Bayesian聚焦的寬帶數(shù)字波束形成算法.該算法假設(shè)期望信號(hào)和干擾信號(hào)的來(lái)波方向服從正態(tài)分布，在一定范圍內(nèi)，克服了角度先驗(yàn)估計(jì)誤差對(duì)最終波束形成性能的影響.在此基礎(chǔ)上，本文針對(duì)單脈沖雷達(dá)實(shí)際工作環(huán)境中的具體情況，重新設(shè)計(jì)聚焦矩陣，提出了改進(jìn)算法.一方面，該算法進(jìn)一步降低了系統(tǒng)對(duì)先驗(yàn)信息的要求，增強(qiáng)了算法的普遍性和實(shí)用性；另一方面，在保證和波束性能的情況下，該算法克服了傳統(tǒng)Bayesian方法不能直接被應(yīng)用到差波束求解上的缺陷.

1 寬帶陣列信號(hào)模型

寬帶信號(hào)可以被看作是若干相鄰頻率窄帶信號(hào)的組合，以簡(jiǎn)化分析.假設(shè)寬帶信號(hào)s（n）是由J個(gè)窄帶信號(hào)疊加而成的，即

式中：sfj（t）是以fj為中心頻率的窄帶信號(hào)成分的時(shí)域采樣.對(duì)式（1）中的每一個(gè)窄帶信號(hào)運(yùn)用窄帶陣列信號(hào)模型，那么寬帶信號(hào)下的陣列接收數(shù)據(jù)可以寫(xiě)成

式中：a（fj，θ）表示fj頻率下，來(lái)波方向?yàn)棣鹊年嚵辛餍问噶浚籲（t）表示噪聲信號(hào)，它也可以被寫(xiě)成J個(gè)窄帶噪聲信號(hào)之和為

將式（3）代入式（2）可以得到

當(dāng)有 K 個(gè)遠(yuǎn)場(chǎng)信號(hào)s1（t），s2（t），…，sK（t）分別來(lái)自θ1，θ2，…，θK方向的時(shí)候，總的陣列輸出寬帶信號(hào)可以表示為

式中：A（fj，θ）＝［a（fj，θ1），a（fj，θ2），…，a（fj，θK）］；Sfj（t）＝［s1，fj（t），s2，fj（t），…，sK，fj（t）］T.從式（5）可以看出，該數(shù)據(jù)模型和窄帶陣列數(shù)據(jù)模型是非常相似的.

2 傳統(tǒng)聚焦算法的基本原理

相干信號(hào)子空間類(lèi)方法，對(duì)接收到的數(shù)據(jù)進(jìn)行快速傅里葉變換處理，將寬帶接收信號(hào)劃分為若干個(gè)互不重疊的窄帶子頻率帶，對(duì)每個(gè)窄帶子頻率帶內(nèi)的數(shù)據(jù)進(jìn)行聚焦處理，將它們聚焦到預(yù)先設(shè)定的參考頻率上.接著，算法對(duì)聚焦之后的協(xié)方差矩陣求平均，從而減小了信號(hào)之間的相干系數(shù)，達(dá)到了解相干的目的.其核心思想實(shí)際上就是頻域平滑技術(shù).對(duì)于寬帶自適應(yīng)波束形成來(lái)說(shuō)，利用經(jīng)過(guò)了聚焦處理和平均之后的協(xié)方差矩陣，在參考頻率點(diǎn)上，進(jìn)行經(jīng)典的窄帶自適應(yīng)波束形成算法，就能實(shí)現(xiàn)寬帶的自適應(yīng)波束形成.整個(gè)算法的結(jié)構(gòu)框圖如圖1所示.

如何構(gòu)造聚焦矩陣就成為此類(lèi)算法的關(guān)鍵問(wèn)題.不同的聚焦矩陣選取對(duì)應(yīng)不同的算法，其核心思想都是在某種準(zhǔn)則下，找到聚焦頻點(diǎn)和參考頻點(diǎn)之間的某種關(guān)系.文獻(xiàn)［9］構(gòu)造如下的代價(jià)函數(shù)：

式中：T（fj）表示聚焦頻率為fj時(shí)對(duì)應(yīng)的聚焦矩陣；A（f0）和A（fj）分別表示參考頻率和聚焦頻率下對(duì)應(yīng)的陣列流形矢量.為了簡(jiǎn)潔，文后都用A（f0）和A（fj）代替A（f0，θ）和A（fj，θ）.該算法即為 RSS算法，其核心思想是使各頻點(diǎn)聚焦后的陣列流形矢量和參考頻率下的陣列流形矢量之間的誤差最小.文獻(xiàn)［10］構(gòu)造了如下所示的代價(jià)函數(shù)為

圖1 相干子空間類(lèi)方法整體框圖

式中：

該算法就是TCT算法，其導(dǎo)出的聚焦矩陣是使各頻率點(diǎn)聚焦后并且去噪的協(xié)方差矩陣與參考頻率處去噪后的協(xié)方差矩陣之間的誤差為最小.

其它的相干聚焦算法還包括總體最小二乘算法，信號(hào)子空間變換算法等.但是，這類(lèi)算法要么就是必須要精確地知道信號(hào)和干擾的來(lái)向，要么就是直接的數(shù)據(jù)域求解，微小的來(lái)向估計(jì)誤差會(huì)帶來(lái)很大的聚焦誤差，從而導(dǎo)致波束形成算法性能的下降，而直接的數(shù)據(jù)域求解又帶來(lái)巨大的計(jì)算量.這些短板限制了此類(lèi)算法的應(yīng)用.

3 改進(jìn)的Bayesian聚焦算法

針對(duì)傳統(tǒng)聚焦算法在來(lái)波方向估計(jì)存在誤差的情況下，性能惡化的事實(shí)，文獻(xiàn)［15］提出了基于Bayesian聚焦的寬帶波束形成算法.

考慮到信號(hào)和干擾來(lái)波方向的不確定性，最優(yōu)聚焦矩陣可以通過(guò)如下方法獲得

式中：T（fj）表示聚焦頻率為fj時(shí)對(duì)應(yīng)的聚焦矩陣；Eθ｛·｝表示對(duì)按某一規(guī)律隨機(jī)分布的來(lái)波方向角求數(shù)學(xué)期望；f0和fj分別表示參考頻率和聚焦頻率；‖·‖2F表示二范數(shù)的平方.假設(shè)共有K個(gè)遠(yuǎn)場(chǎng)信號(hào)，并且各自的來(lái)波方向呈隨機(jī)分布且相互獨(dú)立，可得

式中：aθ（fj）表示來(lái)波方向?yàn)棣?，頻率為fj情況下的陣列流形矢量；fθi表示第i個(gè)遠(yuǎn)場(chǎng)信號(hào)來(lái)波方向的概率密度函數(shù).由于各個(gè)來(lái)波方向角相互獨(dú)立，式（9）就可以轉(zhuǎn)換為一個(gè)一重積分的求解問(wèn)題，從而簡(jiǎn)化了聚焦矩陣的計(jì)算，具體步驟如下：

定義：

可以看出，p2（θ）反映出的是K個(gè)遠(yuǎn)場(chǎng)信號(hào)來(lái)波方向不確定性的總體表征.將式（10）、（11）代入式（8）中，得

式（12）就是Bayesian聚焦矩陣求解的核心公式.從上面的分析可以看到，聚焦矩陣求解的基本思想就是：在考慮來(lái)波方向不確定因素的情況下，使得聚焦前后的陣列流形矢量誤差的期望值為最小的那個(gè)聚焦矩陣，就是最優(yōu)解.不同的來(lái)波方向概率密度函數(shù)對(duì)應(yīng)不同的聚焦算法.比如說(shuō)，當(dāng)來(lái)波方向概率密度函數(shù)滿足在觀察角度范圍內(nèi)均勻分布的時(shí)候，對(duì)應(yīng)全局聚焦算法；當(dāng)來(lái)波方向概率密度函數(shù)滿足在某些角度上出現(xiàn)為必然事件，而在其余角度位置上出現(xiàn)為不可能事件的時(shí)候，對(duì)應(yīng)旋轉(zhuǎn)信號(hào)子空間（RSS）算法.

為了求解式（12）中的最優(yōu)聚焦矩陣，首先求解一個(gè)特殊情況，也就是來(lái)波方向概率密度函數(shù)為均勻分布下的解.根據(jù)文獻(xiàn)［16］可以知道，任一頻點(diǎn)下的陣列流形矢量都可以用一組正交基函數(shù)的線性組合表示，如果采用傅里葉基函數(shù)的話，有

式中：G為基函數(shù)系數(shù)矩陣；H為基函數(shù)矩陣；hn（θ）即為H中的第n行元素.在不考慮陣元間互耦以及假設(shè)陣元具有全向性的時(shí)候，G的第m行第n個(gè)元素可以表示為

式中：（θm，rm）是第m陣元位置的極坐標(biāo)表示；Jn（·）表示n階第一類(lèi)Bessel函數(shù).如果式（13）中采用的正交函數(shù)基為N階的話，那么G為一個(gè)M×（2 N＋1）的矩陣，而H為一個(gè)（2 N＋1）×1的矩陣.式（14）中n的變化范圍是 -N到N.

由上面的分析可知，該頻點(diǎn)下的聚焦誤差可以重新寫(xiě)成

式中，Gθ（f0）表示參考頻點(diǎn)下的G矩陣.經(jīng)推導(dǎo)可以得到，此時(shí)的最優(yōu)聚焦矩陣為

式中‘?’表示矩陣偽逆.

文獻(xiàn)［13］考慮來(lái)波方向的不確定性，結(jié)合其概率密度函數(shù)，利用上述思想，令

由式（13）和（17）可以看出，Bayesian方法相比于全局聚焦方法，區(qū)別僅僅在于導(dǎo)向矢量前的加權(quán)函數(shù)p（θ）的不同.經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)推導(dǎo)可以得到

式中

由式（18）可以看到，新基函數(shù)系數(shù)矩陣C可以被看作是ρ矩陣和G矩陣的卷積.其中，Cmn是系數(shù)矩陣C的第m 行n列元素.式（19）中，ρ矩陣表示對(duì)式（11）中的p（θ）做正交基函數(shù)分解得到的系數(shù)矩陣，ρn為ρ矩陣的第n個(gè)元素.

類(lèi)似式（16）可以得到此時(shí)的最優(yōu)聚焦矩陣為

如前所述，不同的概率密度函數(shù)對(duì)應(yīng)具體不同的聚焦算法.文獻(xiàn)［15］著重考慮和波束性能，提出期望信號(hào)來(lái)波方向和干擾來(lái)波方向均服從正態(tài)分布的假設(shè)，即

式中：θ1和θ2為假設(shè)的期望信號(hào)和干擾來(lái)波方向的平均值；σ1和σ2分別為標(biāo)準(zhǔn)差.當(dāng)期望信號(hào)以及干擾信號(hào)的實(shí)際來(lái)波方向與預(yù)計(jì)的期望值差別不大的時(shí)候，該算法具有比較低的聚焦誤差，而這種性能的獲得是以增加大偏離角下的聚焦誤差換來(lái)的.所以，此種概率密度函數(shù)的假設(shè)，同樣具有一定局限性.

對(duì)單脈沖角度跟蹤下的應(yīng)用.傳統(tǒng)的Bayesian算法并不能直接應(yīng)用在差波束上，這并不是由自適應(yīng)波束形成算法所造成的，而是聚焦算法本身的問(wèn)題，所以，文后對(duì)此問(wèn)題的分析都是建立在非自適應(yīng)波束形成的基礎(chǔ)上的.

理想的情況是沒(méi)有任何聚焦誤差的情況，為了簡(jiǎn)化分析，假設(shè)陣列為一個(gè)均勻線陣，陣元個(gè)數(shù)為偶數(shù)，選取陣列中心的位置為參考.經(jīng)過(guò)聚焦處理之后，寬帶信號(hào)某一頻點(diǎn)下非自適應(yīng)的靜態(tài)單脈沖比，就完全和窄帶條件下非自適應(yīng)的靜態(tài)單脈沖比相同，可以按照如下公式表示為

式中：ε和εt分別表示實(shí)際角度和指向角度對(duì)應(yīng)的方向余弦；d和λ分別表示陣元間距和波長(zhǎng).如果實(shí)際情況中包含聚焦誤差的話，那么被聚焦誤差“污染”了的單脈沖比可以表示為

式中er（m）表示第m個(gè)陣元對(duì)應(yīng)的聚焦誤差.因?yàn)橹挥蟹肿訉?duì)差波束起作用，可將式（23）中分子上的誤差部分單獨(dú)取出為

從式（24）可以看到，當(dāng)聚焦誤差在陣元上呈現(xiàn)對(duì)稱(chēng)分布特性的時(shí)候，也就是er（m）＝er（-m）的時(shí)候，誤差部分對(duì)差波束產(chǎn)生的貢獻(xiàn)基本接近于0.

考慮到全局聚焦方法［17］在整個(gè)角度域內(nèi)，具有相對(duì)比較平坦的聚焦誤差分布，并且聚焦誤差在陣元上的分布具有對(duì)稱(chēng)特性，有利于對(duì)稱(chēng)取反法下自適應(yīng)差波束的求解.同時(shí)，傳統(tǒng)Bayesian方法下的和波束又具有較好的干擾抑制性能，將上述兩種方法的思想結(jié)合起來(lái)，給出如下的概率密度函數(shù)假設(shè)

式（22）假設(shè)期望信號(hào)來(lái)向服從均值為θ1，標(biāo)準(zhǔn)差為σ1的正態(tài)分布，而干擾信號(hào)方向假設(shè)服從平均分布.其中Δθ為干擾信號(hào)來(lái)波方向平均分布的范圍.

干擾信號(hào)的來(lái)波方向范圍估計(jì)方法如下：

首先，在時(shí)間域上對(duì)接收到的陣列信號(hào)進(jìn)行相干累加，降低噪聲成分，即

遍歷整個(gè)角度范圍，通過(guò)對(duì)感興趣頻帶上的靜態(tài)波束形成結(jié)果進(jìn)行累加，得到整個(gè)角度遍歷結(jié)果，即.

通過(guò)設(shè)置合適的門(mén)限值，判斷上一步中的結(jié)果.如果對(duì)應(yīng)某個(gè)角度下的值大于門(mén)限，就認(rèn)為該處出現(xiàn)干擾的可能性比較大，反之則認(rèn)為不可能出現(xiàn)干擾.概率密度函數(shù)可以表示為

假設(shè)不僅降低了算法對(duì)先驗(yàn)知識(shí)的要求，不需要任何干擾信號(hào)來(lái)波方向的先驗(yàn)知識(shí)，增加了整個(gè)系統(tǒng)的靈活性，從文后的仿真實(shí)驗(yàn)可以看出，提出的改進(jìn)方法，在改善和波束性能和穩(wěn)健性的同時(shí)，解決了大偏差角下的大聚焦誤差問(wèn)題，比全局聚焦方法和傳統(tǒng)Bayesian聚焦方法更具優(yōu)勢(shì)，從而被成功地運(yùn)用到寬帶自適應(yīng)差波束的求解上.

在上述基本原理的基礎(chǔ)上，給出整個(gè)算法的基本原理.通過(guò)上面的分析可知，經(jīng)過(guò)聚焦處理后的數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣為

那么，總的協(xié)方差矩陣為各個(gè)頻點(diǎn)上被聚焦后的協(xié)方差矩陣的和為

和、差波束均采用線性約束最小方差（Linearly Constrained Minimum Variance，LCMV）準(zhǔn)則，該準(zhǔn)則的核心思想是：在滿足期望方向恒定增益約束的同時(shí)，使得總的輸出功率最小，從而對(duì)干擾信號(hào)起到抑制作用，即

式中：w表示待求解的權(quán)重系數(shù)矢量；c為約束導(dǎo)向矢量，對(duì)于寬帶波束形成來(lái)說(shuō)，通常將其設(shè)定為參考頻率下，期望方向的陣列流形矢量；f為約束響應(yīng)矢量，用來(lái)保證期望方向上的增益值.

對(duì)和波束形成來(lái)說(shuō)，c＝a（θ，f0），θ和f0分別表示期望信號(hào)的來(lái)波方向以及參考頻率.如前所述，對(duì)稱(chēng)取反法下，差波束對(duì)應(yīng)的約束導(dǎo)向矢量為和波束下約束導(dǎo)向矢量的前一半元素不變，后一半元素取相反數(shù)，即

式中：符號(hào)‘·’表示哈達(dá)瑪乘積.取這樣的導(dǎo)向矢量的目的，實(shí)際上是為了在干擾方向形成零陷的同時(shí)，在差波束方向圖對(duì)應(yīng)期望信號(hào)方向上產(chǎn)生零深.利用拉格郎日乘數(shù)法可以得到式（31）的解為

至此，我們給出算法的具體步驟：

1）通過(guò)陣列接收數(shù)據(jù)，利用式（25）、（27）和（28），估計(jì)出外界干擾來(lái)波方向的概率密度函數(shù)分布，并進(jìn)而構(gòu)造p2（θ）.

2）在給定的基函數(shù)階數(shù)及陣列結(jié)構(gòu)下，利用式（14）計(jì)算得到矩陣G.

3）利用式（18）和（19），計(jì)算系數(shù)矩陣C.

4）利用式（20），計(jì)算各個(gè)頻點(diǎn)下的聚焦矩陣T（fj）.

5）利用式（29）和（30）計(jì)算經(jīng)過(guò)頻域平滑后的數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣R.

6）根據(jù)式（32）和式（33），計(jì)算和、差波束權(quán)重系數(shù)矢量w.

4 計(jì)算機(jī)仿真及分析

仿真參數(shù)設(shè)置如下：實(shí)驗(yàn)采用均勻分布線陣，陣元間距為信號(hào)最大頻率對(duì)應(yīng)波長(zhǎng)的一半，陣元數(shù)目為20個(gè)；期望信號(hào)和干擾信號(hào)都采用線性調(diào)頻的形式，中心頻率為1 500Hz，帶寬為600Hz，參考頻率為1 500Hz，相對(duì)帶寬為40%；信號(hào)快拍數(shù)為256；噪聲功率為1.為突出文章中提出算法的優(yōu)越性，將所提改進(jìn)方法對(duì)應(yīng)的仿真結(jié)果和傳統(tǒng)Bayesian方法［15］、RSS聚焦方法［9］以及全局聚焦方法［17］的結(jié)果進(jìn)行比較.

4.1 干擾信號(hào)來(lái)波方向的概率分布估計(jì)

需要對(duì)干擾信號(hào)來(lái)波方向的概率密度函數(shù)進(jìn)行合理的估計(jì)，結(jié)果如圖2所示.

式（25）中的門(mén)限值被設(shè)為掃描結(jié)果最大值的0.9倍.從圖2可以看到：在實(shí)際的干擾信號(hào)來(lái)波方向?yàn)?0°的情況下，估計(jì)得到的干擾信號(hào)來(lái)波方向的概率密度函數(shù)服從60°度到80°范圍內(nèi)的均勻分布.后面的仿真中，均假設(shè)干擾信號(hào)來(lái)波方向服從該概率密度函數(shù).

4.2 輸出信干噪比隨輸入信噪比變化實(shí)驗(yàn)

本實(shí)驗(yàn)給出了各種方法下，和波束輸出信干噪比隨輸入信噪比的變化曲線.圖3給出了DOA估計(jì)誤差較小的時(shí)候，輸出信干噪比隨輸入信噪比的變化.

假設(shè)期望信號(hào)來(lái)自105°，干擾信號(hào)來(lái)自70°，干擾噪聲比為40dB.傳統(tǒng)Bayesian方法中，兩正態(tài)分布函數(shù)的均值分別是105°和70°，恰好對(duì)準(zhǔn)實(shí)際信號(hào)和干擾來(lái)向，標(biāo)準(zhǔn)差均設(shè)置為1.5.改進(jìn)方法中的正態(tài)分布函數(shù)均值為105°，方差也為1.5，和傳統(tǒng)方法中的設(shè)置一樣.可以看到，低信噪比條件下，RSS算法性能相對(duì)要比其它算法好一點(diǎn)，原因在于信號(hào)實(shí)際來(lái)波方向和假設(shè)的方向是完全對(duì)準(zhǔn)的，因而具有最優(yōu)的性能，其余算法性能基本相當(dāng).當(dāng)信噪比比較高的時(shí)候，改進(jìn)Bayesian方法具有比較好的性能，而其余方法性能有明顯的下降.

圖3 DOA估計(jì)誤差較小時(shí)，輸出信干噪比隨輸入信噪比的變化

圖4給出了DOA估計(jì)誤差較大的時(shí)候，輸出信干噪比隨輸入信噪比的變化.這里，信號(hào)方向仍然被設(shè)定為105°，而干擾方向被設(shè)定成60°.此時(shí)，由于比較大的來(lái)波方向估計(jì)誤差，RSS聚焦方法下的波束形成性能急劇下降，完全起不到自動(dòng)抑制干擾的目的.傳統(tǒng)Bayesian盡管在一定程度上抑制了干擾，但是整體效果不如文中提出的改進(jìn)Bayesian方法.而全局聚焦方法本身與期望信號(hào)和干擾信號(hào)的來(lái)向沒(méi)有關(guān)系，所以其結(jié)果也和圖3中的類(lèi)似，在高信噪比條件下性能明顯下降.

圖4 DOA估計(jì)誤差較大時(shí)，輸出信干噪比隨輸入信噪比的變化

綜合圖3和圖4的結(jié)果，可以看到，文中提出的改進(jìn)方法，能夠充分利用陣列接收到的信號(hào)，波束形成性能穩(wěn)健，對(duì)外界干擾環(huán)境的變化不敏感，保證了輸出信干噪比性能.

4.3 和、差波束方向圖實(shí)驗(yàn)

本實(shí)驗(yàn)信噪比為0dB，干噪比取40dB.和、差波束均采用LCMV波束形成算法.結(jié)果如圖5和圖6所示.

從圖5可以看到：各個(gè)方法下的和波束方向圖都能自動(dòng)地將主瓣對(duì)準(zhǔn)期望信號(hào)方向，在干擾方向上產(chǎn)生零陷.然而，相比于其他聚焦方法，傳統(tǒng)的Bayesian聚焦算法在大角度估計(jì)誤差下，方向圖和參考頻點(diǎn)下的方向圖之間的偏差比較大.方向圖邊緣部分的發(fā)散也就更大.

從圖6可以看到：雖然各個(gè)方法下的自適應(yīng)差波束方向圖都能在干擾方向產(chǎn)生零陷，但是由于大角度偏差帶來(lái)大估計(jì)誤差問(wèn)題，以及誤差的非對(duì)稱(chēng)分布，導(dǎo)致傳統(tǒng)Bayesian聚焦方法和RSS算法在期望信號(hào)指向位置沒(méi)有能夠產(chǎn)生零深，并且方向圖畸變，旁瓣電平明顯上升.

4.4 聚焦誤差隨角度變化實(shí)驗(yàn)

圖7給出了各種不同聚焦算法下，各個(gè)不同頻點(diǎn)下，聚焦誤差在整個(gè)角度域內(nèi)的變化情況.觀察頻點(diǎn)為最小頻率（1 200Hz），中心頻率（1 500Hz），測(cè)試頻率（1 350Hz）和最大頻率（1 800Hz）.

從圖7可以看出：RSS聚焦算法只有在70°和105°兩個(gè)位置具有比較小的聚焦誤差，這也就解釋了不同頻率下的和波束方向圖圖5（a），差波束方向圖圖6（a）僅僅在期望信號(hào)和干擾信號(hào)這兩個(gè)位置重合，而其余位置上均不重合的原因.全局聚焦算法在整個(gè)角度域內(nèi)的分布相對(duì)比較平坦.傳統(tǒng)Bayesian方法在70°和105°附近的聚焦誤差很小，其他角度位置上，聚焦誤差則迅速上升，并且在70°和105°之間的角度范圍內(nèi)，聚焦誤差曲線有“凸起”.改進(jìn)方法則具有比較好的聚焦性能，相比與全局聚焦方法和RSS方法，在70°和105°位置，其具有更小的聚焦誤差.而相比于傳統(tǒng)Bayesian方法，其“凹口”更寬，穩(wěn)健性更好.

圖7 各個(gè)方法下聚焦誤差隨來(lái)波角度的變化

4.5 聚焦誤差在陣元上的分布實(shí)驗(yàn)

本實(shí)驗(yàn)研究了1 350Hz下，聚焦誤差在陣元上的分布情況.結(jié)果由圖8給出.

圖8 聚焦誤差在陣元位置上的分布

從圖8的結(jié)果可以看出，改進(jìn)方法下，聚焦誤差在整個(gè)陣元上的分布基本呈現(xiàn)出對(duì)稱(chēng)的特性.而傳統(tǒng)Bayesian方法下的聚焦誤差在陣元上的分布不具有規(guī)則性.這也應(yīng)證了式（24）要求的誤差分布具有對(duì)稱(chēng)性的理論推導(dǎo).觀察圖8可以進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)：陣列最兩端處的陣元，其對(duì)應(yīng)的聚焦誤差是比較大的，可以理解此陣元在進(jìn)行波束形成的時(shí)候是“失效”的.這種“失效”，導(dǎo)致系統(tǒng)實(shí)際的自由度會(huì)有所減少，從而使和波束方向圖主瓣略有展寬，這也與圖5中的結(jié)果吻合.

4.6 單脈沖測(cè)角誤差實(shí)驗(yàn)

圖9給出了各個(gè)方法下，自適應(yīng)單脈沖比曲線的比較.可以看出RSS方法下，單脈沖比曲線產(chǎn)生了明顯的畸變，而傳統(tǒng)Bayesian方法更是出現(xiàn)了明顯的零點(diǎn)漂移.全局聚焦算法與前二者相比，穩(wěn)定性有所提高，但單脈沖比曲線也存在隨頻率發(fā)散的問(wèn)題.文中提出的改進(jìn)Bayesian方法，單脈沖比曲線線性特性好，零點(diǎn)對(duì)準(zhǔn)期望指向，不隨頻率的變化而發(fā)散，具有較好的跟蹤性能.

圖9 各個(gè)方法下自適應(yīng)單脈沖比曲線

圖10給出了在改進(jìn)方法下，自適應(yīng)單脈沖測(cè)角誤差隨著輸入信噪比變化的情況.可以看到，隨著輸入信噪比的增加，單脈沖跟蹤的角度誤差在逐步減小，當(dāng)輸入信噪比增大到一定程度之后，角度估計(jì)誤差保持穩(wěn)定，并最終收斂在一個(gè)接近于0的值上.因?yàn)樽赃m應(yīng)波束形成算法只能對(duì)有源干擾信號(hào)進(jìn)行抑制，而沒(méi)有辦法濾除噪聲信號(hào)，所以最終角度估計(jì)誤差的值也只能收斂到一個(gè)非常接近0的地方，而不能夠達(dá)到絕對(duì)0值.圖10反映出來(lái)的結(jié)果，也從另外一個(gè)方面驗(yàn)證了提出的方法運(yùn)用到自適應(yīng)單脈沖的正確性和可靠性.

圖10 改進(jìn)方法下單脈沖測(cè)角均方根誤差隨輸入信噪比變化

4.7 算法復(fù)雜度比較

文章所提方法、傳統(tǒng)Bayesian方法、RSS聚焦方法以及全局聚焦方法的運(yùn)算量在本節(jié)中進(jìn)行比較.由于無(wú)論是哪種方法，都需要對(duì)各個(gè)頻點(diǎn)下的聚焦矩陣進(jìn)行計(jì)算，所以，這里給出上述幾種方法的運(yùn)算復(fù)雜度都是針對(duì)一個(gè)頻點(diǎn)的，并且以復(fù)數(shù)乘法（Complex Maltiply，CM）的次數(shù)來(lái)衡量.

假設(shè)陣元個(gè)數(shù)為M，信源個(gè)數(shù)為K，來(lái)波方向概率密度函數(shù)正交分解的階數(shù)為P，來(lái)波方向概率密度函數(shù)角度采樣點(diǎn)的個(gè)數(shù)為Na，Bessel函數(shù)分解的階數(shù)為Nb，快拍數(shù)為Ns.

RSS聚焦方法總共分為三個(gè)步驟，1）At＝Aθ（fj）Aθ（f0）H需要KM2次CM；2）對(duì)上式的結(jié)果進(jìn)行奇異值分解，需要20 M3次CM；3）T＝VUH，需要M3次CM，所以總共需要21 M3＋KM2次復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算.

傳統(tǒng)Bayesian方法總共分為三個(gè)步驟，1）如式（19）所示，對(duì)來(lái)波方向概率密度函數(shù)進(jìn)行正交分解，需要（2P＋1）Na次CM；2）按照式（18）計(jì)算C（fj，ρ（θ）），此步驟需要（2 Nb＋1）（2P＋1）M 次 CM 運(yùn)算；3）按照公（20），對(duì)聚焦矩陣進(jìn)行計(jì)算，此步驟需要20 M3次CM運(yùn)算；所以該方法總共需要20 M3＋（2P＋1）（2 MNb＋Na＋M）次CM.

全局聚焦方法只需要進(jìn)行一次矩陣偽逆運(yùn)算和一次矩陣乘法，總共需要20 M3＋（2 Nb＋1）M2次CM.

文中所提出的改進(jìn)方法以傳統(tǒng)的Bayesian方法為框架，所以基本的運(yùn)算復(fù)雜度和傳統(tǒng)Bayesian方法相同，只是多出式（27）所示的對(duì)來(lái)波方向概率密度函數(shù)的更新操作，此步驟需要MNs次CM運(yùn)算，所以改進(jìn)方法總的算法復(fù)雜度為20 M3＋（2P＋1）（2 MNb＋Na＋M）＋MVs.

令K＝2，P＝30，Na＝180，Nb＝30，Ns＝256，圖11給出了各個(gè)方法對(duì)應(yīng)的算法復(fù)雜度隨陣元個(gè)數(shù)變化的情況.

圖11 各種方法運(yùn)算復(fù)雜度的比較

從圖11可以看出，改進(jìn)的Bayesian方法和傳統(tǒng)Bayesian方法擁有近乎相似的復(fù)雜度，相比于RSS聚焦方法和全局聚焦算法，在運(yùn)算復(fù)雜度上只有微小的增長(zhǎng)，而從之前的分析中可以看到，增長(zhǎng)主要來(lái)自于式 （18）和（27）對(duì)應(yīng)的計(jì)算.之前的實(shí)驗(yàn)結(jié)果已經(jīng)表明：本文提出的改進(jìn)方法，無(wú)論在和、差波束方向圖、輸出信干噪比以及單脈沖比曲線上，都具有更好的性能，算法的應(yīng)用范圍更廣，應(yīng)用條件更加寬松，那么微小的運(yùn)算復(fù)雜度的增加也是可以接受的，該方法也更符合工程實(shí)際需要.

5 結(jié) 論

研究并提出了一種基于改進(jìn)Bayesian聚焦的寬帶自適應(yīng)單脈沖測(cè)角算法.該算法在傳統(tǒng)Bayesian算法的基礎(chǔ)上，假設(shè)期望信號(hào)來(lái)波方向服從正態(tài)分布，干擾信號(hào)的來(lái)波方向服從均勻分布.仿真試驗(yàn)表明，改進(jìn)方法一方面改進(jìn)了文獻(xiàn)［13］中的Bayesian聚焦方法和波束性能，另一方面也克服了原有方法不能直接被用來(lái)解決差波束問(wèn)題的缺陷.新方法在幾乎不增加運(yùn)算復(fù)雜度的情況下，保證了單脈沖測(cè)角精度，對(duì)寬帶自適應(yīng)波束形成算法在實(shí)際工程中的應(yīng)用更具有一定指導(dǎo)意義.

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