鄭挺軍，朱林

(1.中國兵器工業(yè)第213 研究所，陜西西安710061;2.西安石油大學機械工程學院，陜西西安710065)

在深孔珩磨中，將超聲振動切削技術應用到的深孔珩磨工藝中，將會獲得比普通珩磨優(yōu)異的工藝效果，可大大提高加工精度、表面質量和效率。但是由于該技術涉及電學、聲學、機械學等眾多學科，知識面寬，是屬于邊緣學科，其聲振系統(tǒng)的結構設計沒有完整而成熟的理論公式可供參考。作者利用力學振動系統(tǒng)和電路系統(tǒng)的類比特性原理，通過試驗研究，建立了超聲振動深孔珩磨中撓性桿－油石座振動系統(tǒng)的數(shù)學模型，確定了該系統(tǒng)的頻率方程的修正系數(shù)，為該聲振系統(tǒng)的設計提供了較為準確的依據(jù)。

1 設計原理

當將力類比于電壓、振速類比于電流、力阻抗類比于電阻抗時，力學振動系統(tǒng)和電路之間有等效關系，這種方法稱為力電類比法。超聲振動系統(tǒng)是一個力學振動系統(tǒng)，利用力電類比，可將它描述為類似電路的等效機械圖，從而可應用機械阻抗方法，方便地分析其振動性能，從而為其設計帶來方便。

為了設計需要，將撓性桿－油石座工具振動系統(tǒng)簡化為端點帶有集中質量的桿，其數(shù)學模型建立如下:

撓性桿－油石座工具振動系統(tǒng)可以簡化為端點帶有集中質量的桿的數(shù)學模型，設集中質量的大小為M，其縱向自由振動方程為:

式中:u 為縱向位移，m;

E 為彈性模量，Pa;

ρ 為桿的材料密度，kg/m3。

為解上述振動方程，假設桿的各點作同步運動，即設:

式中:T(t)為運動規(guī)律的時間函數(shù);

U(x)是桿上距原點x 處截面的縱向振動幅值。

式(3)中第一個等號的左邊與x 無關，右邊與t 無關，λ 只能是常數(shù)，由此得到:

當λ ＞0 時，才有非零解U(x)，設λ =ω2，其中ω 為正數(shù)。則式(4)變?yōu)?/p>

則由式(5)可以解得:

式中:C1、C2、b 為常數(shù)，ω 為固有圓頻率。

根據(jù)等直桿的簡單邊界條件，一端固定一端自由可得

將式(8)代入式(6)解出固有頻率為:

相應的主振型為:

根據(jù)撓性桿的左端固定，右端有集中質量M，邊界條件為:

由式(11)、(2)、(7)可得:

將式(12)代入式(6)中得

上式即頻率方程，引入量綱為一的因子

式中:l 為撓性桿的長度，mm;

A 為撓性桿的橫截面，mm2;

M 為油石座質量，kg。

則式(13)可寫為

由式(15)可得

為了計算撓性桿－油石座振動系統(tǒng)，求解其頻率方程(16)的解，利用計算機進行數(shù)值計算。在這里使用MATLAB 軟件，它具有強大的計算和圖形繪制功能，為進行數(shù)值計算帶來了方便。為了求解頻率方程，可以用fplot 函數(shù)在指定的范圍內繪制出該函數(shù)的圖形。

(1)創(chuàng)建M 文件myfun

function y=myfun(x)

動力有限元模型的離散參數(shù)需要根據(jù)相應地層的剪切波波速及激勵的頻率范圍來確定[16]。為了簡化模型，同時又能反映地層的動力特性，根據(jù)地層剪切波速的變化范圍，將復雜的真實地層簡化為5層水平構造，每層代表一個主要的剪切波速域[17]。剪切波速cs的計算公式[18]為：

y=x* tan(x)－0.36

注:根據(jù)不同的質量比α，創(chuàng)建不同的M 文件，程序中α1=0.36(第一次試驗時的質量比)

(2)運行程序

fplot(‘myfun’，［1，10］)

注:該函數(shù)的語法格式為:fplot(function，limits)，.limits 是一個矢量，指定x 軸上的范圍。為了求頻率方程的根，在指定范圍內繪制函數(shù)圖形，交點的橫坐標即為頻率方程的根。根據(jù)設計要求，只輸出范圍在1 ～10 的函數(shù)圖形，即頻率方程的根的范圍在1 ～10 之間。

(3)圖形輸出

圖1 α=0.36 頻率方程求根曲線圖

(4)區(qū)間化分

根據(jù)圖1 把根的區(qū)間化為［1，2］、［2，4］、［5，7］、［8，10］，所求的根就在這幾個范圍內。

(5)選取區(qū)間

對于超聲深孔珩磨聲振系統(tǒng)的固有頻率，不同的聲振系統(tǒng)的固有頻率值是不相同的，因為頻率具有周期性，故同一系統(tǒng)在每個周期內分別還會有相應的頻率值。根據(jù)聲振系統(tǒng)的頻率值應在20 kHz 左右的原則，系統(tǒng)設計時只要算出滿足要求的頻率值即可。考慮珩磨結構，主要選擇［5，7］區(qū)間作為該系統(tǒng)設計的主要區(qū)間。其求根曲線圖如圖2所示。

圖2 ［5，7］區(qū)間頻率方程求根曲線圖(α=0.36)

圖3 ［6.2，6.4］區(qū)間頻率方程求根曲線圖(α=0.36)

將［5，7］區(qū)間再次細化為［6.3，6.4］，如圖3所示，即可得到所求解，β = 6.34，將β 值代入式(14)中，可以算得撓性桿長l=270 mm。

2 試驗

為上驗證上述計算結果，并對其進行修正，最終得到較為合適的修正系數(shù)，則對撓性桿－油石座振動系統(tǒng)進行試振，根據(jù)結果對相應系數(shù)進行修改。初次試驗的相應尺寸為:油石座長度L =129 mm、厚度H=12 mm、寬度B=9 mm，撓性桿直徑為5 mm、長度為270 mm。

試驗條件:

超聲波發(fā)生器:電源輸出電壓220 V，輸出最大功率1 000 W，工作頻率為20 kHz ±400 Hz;阻抗分析儀:PV70A;

彎曲振動圓盤:厚度5.8 mm，直徑96 mm;階梯形變幅桿:調質45 鋼;

換能器:壓電陶瓷;

電腦、測試軟件等。

圖4 l=270 mm，α=0.36 測試參數(shù)

在階梯形變幅桿與換能器、彎曲振動圓盤連接好后，將撓性桿－油石座焊接在彎曲振動圓盤上，再將這套振動系統(tǒng)與阻抗分析儀相連，最后與計算機相連接。其初次試驗結果如圖4所示。

由圖4所示，諧振頻率f =25.7 kHz，與理論計算相差較大，因此在不改變油石座基礎上修改撓性的長度l，改變質量比α。現(xiàn)分別列于表1 中。

表1 撓性桿－油石座振動實驗結果(油石座高度為12 mm)

由表1 可以出，理論計算結果與實驗值之間存在差值，這主要是由于將油石座、油石簡化為一個集中質量，而實際上油石座的形狀，質量分布都會影響系統(tǒng)的固有頻率，因此對頻率方程作修正，引入修正系數(shù)K，對式(16)進行修正，修正后頻率方程為:

式中:K 為修正系數(shù)，(K=0.85);

l 為撓性桿的長度，mm。

最終確定撓性桿的長度l =230 mm，直徑為5 mm，將撓性桿－油石座振動系統(tǒng)與超聲波發(fā)生器相連接，振動霧化較果好。

為了進一步驗證修正系數(shù)的準確程度，再對撓性桿－油石座振動系統(tǒng)進行結構設計，并連接實驗儀器，確定修正后計算的頻率與實測頻率之間誤差。改變油石座高度，并在油石座上銑出油石槽，其結構如圖5所示。

圖5 油石座結構

表2 撓性桿－油石座振動實驗結果(油石座高度為6.4 mm)

3 結論

由表2 可以看出，由式(18)所計算出來的撓性桿－油石座振動系統(tǒng)的諧振頻率，在19 ～23 KHz范圍內較為精確。

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