秦 蕊

（杭州師范大學理學院，浙江杭州310036）

若環(huán)R中元素都為冪等元，即對任意x∈R有x2＝x，則稱環(huán)R為Boolean環(huán)．在1980年，Tominaga將Boolean環(huán)推廣為廣義Boolean環(huán)［1］，同時Swaminathan也對Boolean環(huán)的另一個推廣Boolean－like環(huán)作了相關(guān)介紹［2］．眾所周知，Boolean環(huán)是一類特殊的周期環(huán)，早在1985年，Abu－khuzam和Ohori等人就對周期環(huán)的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)作了相關(guān)研究［3－4］．后來，Abu－khuzam的廣義J環(huán)［5］也為本文提供了重要思想，并且在其近期的Boolean－like環(huán)［6］中，對Boolean－like環(huán)作了詳細說明．在以上基礎上，進一步研究Booleanlike環(huán)，其主要目的是給出了一種建構(gòu)廣義Boolean－like環(huán)的方法，闡述相關(guān)的性質(zhì)及構(gòu)造若干廣義Boolean－like環(huán)的例子．文中設N表示所有冪零元素的集合，E表示所有冪等元素的集合．

定義1 環(huán)R叫做廣義Boolean－like環(huán)，如果在R中任取元素a，b都有（a－a2）（b－b2）仍是R中的冪零元．

定義2 設R是交換環(huán)，不是零因子，．對加法和乘法定義如下：任取，這樣．

s（a1d1－b1c1）＝0，t（a2d2－b2c2）＝0．

引理2 在廣義Boolean－like環(huán)中任意非零因子都是可逆的．

證明 設x∈R，那么（x－x2）∈N，進而（x－x2）n＝0，因此xn＝xn＋1g（x），g（x）∈Z［x］，這樣得到xn（1－xg（x））＝0．因為xn≠0，所以1－xg（x）＝0，故xg（x）＝0．

這就證明了x是可逆的．

定理1 若R是可交換的，Q（R）是一個廣義Boolean－like環(huán)當且僅當R是廣義Boolean－like環(huán)．

證明 （?）任取x，y∈R，則x（1－x）y（1－y）＝0．由引理2，假設b，d是非零因子，設x＝b－1a，y＝d－1c．?。@樣有

b－1a（1－b－1a）d－1c（1－d－1c）＝0．

進而

a（1－b－1a）c1－d－1c＝0．

所以

ab－1（b－a）cd－1（d－c）＝0．

即

也就是

因此Q（R）是一個廣義Boolean－like環(huán)．

（?）任取x，y∈R，則．

R是一個廣義Boolean－like環(huán)．

定義3 設R是交換環(huán)，σ：R→R是一個同構(gòu)，．那么T是一個環(huán)．加法和乘法定義如下：

定理2 設R是一個環(huán)，σ：R→R為一個同構(gòu)，且有

那么R是一個廣義Boolean－like環(huán)當且僅當T是一個廣義Boolean－like環(huán)．

證明 （?）對任意A，B∈T

所以

同理

因此

即

［（A－A2）（B－B2）］m＋n＋2＝0，

也就是

（A－A2）（B－B2）∈N．

所以T是一個廣義Boolean－like環(huán)．

（?）任取a，b∈R．令．

容易看到

進而

因此

因為（A－A2）（B－B2）∈N（T），所以（a－a2）（b－b2）∈N（R）．

這樣R是一個廣義Boolean－like環(huán)．

注意1 任意Mn（R）都不是廣義Boolean－like環(huán)，如

定理3 若R為廣義Boolean－like環(huán)，那么R中任意元素可以表示為一個冪等元素和一個冪零元素之和．

證明 任取x，y∈R，設x＝y(tǒng)，則

（x－x2）（y－y2）∈N，

那么

（x－x2）2∈N（R），（x－x2）m＝0，

因此

xm＝xm＋1f（x），f（x）∈Z（x）．

設

e＝（xf（x））m＝xmfm（x），

e2＝xmfm（x）xmfm（x）＝xm＋1f（x）xm－1fm（x）fm－1（x）＝xmfm－1（x）xm－1fm（x）＝xmfm（x）＝e．

那么可得到

x＋N＝x2＋N＝（x＋N）2＝（x＋N）m＝xm＋N＝xm＋1f（x）＋N＝（xm＋1＋N）（f（x）＋N）＝xf（x）＋N＝（xf（x）＋N）n＝xmfm（x）＋N＝e＋N．

所以x－e∈N，

故存在w∈N，使得w＝x－e．

也就是x＝e＋w，這里e2＝e，w∈N．

定理4 若R是廣義Boolean－like環(huán)，N是可交換的．那么R中任意元素可唯一的表示為x＝e＋w這里e2＝e，xe＝ex且w∈N．

證明 假設x＝e＋w＝f＋u這里f2＝f，xf＝fx，u∈N．

xe＝ex，因此ew＝we，那么wx＝x2－ex＝x2－xe＝xw．

由于ef＝（x－w）（x－u）＝x2－xu－wx＋wu

fe＝（x－u）（x－w）＝x2－xu－wx－wu

所以ef＝fe，進而（e－f）3＝e－f，（e－f）4＝（e－f）2，因此（e－f）2∈N．

而e－f＝u－w∈E，即使e－f＝w－u＝0，這樣e＝f，w＝u，x表法唯一．

推論 若N是可交換的，那么以下說法是等價的：

（i）R是廣義Boolean－like環(huán)，

（ii）對任意R中元素x，存在唯一的e，x使得x－e∈N這里e2＝e，ex＝xe．

證明 （?）顯然．

（?）設x，y∈R，由（ii）得到x＝e＋w，y＝f＋u這里e2＝e，f2＝f，w∈N且u∈N．

因此x－x2＝e＋w－e2－ew－we－w2＝w－ew－we－w2∈N．

同理y－y2＝f－fu－uf－u2∈N，

那么（x－x2）（y－y2）∈N，所以R廣義Boolean－like環(huán)．

定理5 設R是廣義Boolean－like環(huán)，那么環(huán)

也是廣義Boolean－like環(huán)．

證明 對任意的

可以看到

因此

這樣

所以［（A－A2）（B－B2）］n＝O，也就是（A－A2）（B－B2）∈N（R）．

那么T是一個廣義Boolean－like環(huán)．

定理6R是一個廣義Boolean－like環(huán)當且僅當

證明 取A，B∈T，A＝，

則

所以

故［（A－A2）（B－B2）］n＝O，（A－A2）（B－B2）∈N（R），

那么S是一個廣義Boolean－like環(huán)．

反向顯然．

注意2 若R是廣義Boolean－like環(huán)，則eRe也是一個廣義Boolean－like環(huán)．

顯然對任取的eae，ebe∈eRe，由于eRe?R，

所以（（eae－（eae）2）（ebe－（ebe）2））n＝0，即eRe是廣義Boolean－like環(huán)．

注意3 ｛Boolean like環(huán)｝?｛廣義Boolean－like環(huán)｝?｛周期環(huán)｝

（i）廣義Boolean－like環(huán)不一定是Boolean－like環(huán)，由以下例子顯然可以得到

對所有x，y∈R，（x－x2）（y－y2）＝0，因此R是一個廣義Boolean－like環(huán)．

這樣R不可交換，所以R不是Boolean like環(huán)．

（ii）周期環(huán)不一定是廣義Boolean－like環(huán)，由下可知

顯然它是一個周期環(huán)，由于任取x∈GF（4），x4＝x．但是存在a∈GF（4），a2＝1＋a，（a－a2）2＝1，這說明R不是廣義Boolean－like環(huán)．

［1］Tominaga H，Yaqub A．A Generialization of Boolean Rings［J］．Kyungook Math，1980，12（25）：2．

［2］Swaminathan V．On Foster's Boolean Like Rings［J］．Math Seminar Note，1980，8（2）：347－367．

［3］Abu－khuzam H，Yaqub A．Structure of Certain Periodic Rings［J］．Canad Math Bull，1985，28（1）：120－123．

［4］Ohori M．On Stronglyπ－Regular Rings and Periodic Rings［J］．Math Okayama Univ，1985，7（27）：49－52．

［5］Abu－khuzam H，Yaqub A．Generialized J－Rings and Commutativity［J］．International Journal of Algebra，2008，2（14）：649－657．

［6］Abu－Khuzam H，Yaqub A．Boolean－Like Rings and Related Rings［J］．International Journal of Algebra，2011，5（6）：275－284．