趙君

(核工業(yè)理化工程研究院，天津 300180)

湍流指粘性流體(液體、氣體、等離子體)在高雷諾數(shù)條件下由于流動失穩(wěn)而引起極端混亂的流動狀態(tài)。它是自然界和工程中廣泛存在的流體流動現(xiàn)象，同時(shí)也是自然科學(xué)和工程技術(shù)中亟待解決的一個(gè)難題，工程技術(shù)中的大量問題與湍流問題密切相關(guān)(趙君，2008)。

1883年英國物理學(xué)家雷諾(Reynolds)由實(shí)驗(yàn)提出湍流這一基本流動形態(tài)以來，已有一百多年的歷史，但其基本的機(jī)理和規(guī)律至今還不是完全清楚。由于在湍流研究中存在著理論及實(shí)驗(yàn)技術(shù)方面的困難，因此湍流的研究相對于層流要復(fù)雜很多。

早期，人們認(rèn)為湍流是流體質(zhì)點(diǎn)的完全隨機(jī)運(yùn)動，為了避免湍流運(yùn)動隨機(jī)性帶來研究上的困難，建立了以求解湍流系綜平均運(yùn)動特征量為主要目的的湍流模式理論。雷諾(1895)將湍流運(yùn)動分解為系綜平均量和脈動量兩個(gè)部分，但是從N-S運(yùn)動方程出發(fā)的雷諾平均方程產(chǎn)生的雷諾應(yīng)力項(xiàng)導(dǎo)致了雷諾平均方程的不封閉性。為了解決雷諾平均方程的不封閉性問題，需要依靠理論與經(jīng)驗(yàn)的結(jié)合，對雷諾應(yīng)力項(xiàng)引進(jìn)一系列模型假設(shè)，使雷諾平均方程封閉，從而建立了一組描寫湍流平均量的封閉方程組的理論計(jì)算方法。

氣流為層流流動時(shí)，只存在通常意義上的粘性切應(yīng)力，即流體層之間只存在由分子擴(kuò)散引起的切應(yīng)力，而如果流體做湍流流動，流體層之間除了存在這種通常意義上的切應(yīng)力之外，還存在著由湍流脈動引起的附加切應(yīng)力，即雷諾應(yīng)力。實(shí)際有效切應(yīng)力為兩者之和。混合長度理論是普朗特在1925年提出的，主要思想是:湍流中流體微團(tuán)的不規(guī)則運(yùn)動與氣體分子的熱運(yùn)動類似，可以借用分子運(yùn)動論中建立粘性應(yīng)力與速度梯度之間關(guān)系的方法來研究湍流雷諾應(yīng)力與時(shí)均速度的關(guān)系(歐特爾，2008)。本文采用此理論計(jì)算脈動速度和雷諾應(yīng)力。

蒙特卡洛模擬方法是一種直接從流動的物理模擬出發(fā)的方法，能夠比較準(zhǔn)確地模擬單個(gè)分子的行為。它與Boltzmann方程都是經(jīng)過相同的物理推導(dǎo)得到的，但是蒙特卡洛模擬方法不依賴于逆碰撞假設(shè)，可以應(yīng)用于復(fù)雜情況，而且引入符合實(shí)際的物理模型更為容易，求解更為方便。

稀薄氣體分為三個(gè)領(lǐng)域包括:自由分子流領(lǐng)域、過渡領(lǐng)域和滑流領(lǐng)域。在自由分子流領(lǐng)域中，分子密度很小，分子之間的碰撞很少，主要存在分子與壁面之間的相互作用;在過渡流領(lǐng)域和接近滑流領(lǐng)域中，分子密度較大，不能忽略分子之間的碰撞，必須同時(shí)考慮分子與分子、分子與器壁之間的碰撞，采用蒙特卡洛方法可以很好地模擬這一區(qū)域分子運(yùn)動。蒙特卡洛方法曾被應(yīng)用于復(fù)雜外形航天飛機(jī)在過渡區(qū)的計(jì)算，取得了與實(shí)際較為一致的結(jié)果，因此本文選擇這一理論進(jìn)行計(jì)算。

1 流動計(jì)算

1.1 模擬分子雙體碰撞計(jì)算

氣體因分子與氣體中固體表面邊界的碰撞及分子間的碰撞而發(fā)生變化。雙體碰撞是一種最為簡單的碰撞，認(rèn)為雙體碰撞重要而可以忽略三體碰撞的條件是平均分子間隙遠(yuǎn)大于分子直徑。

為了完全確定雙體碰撞，即確定碰撞后的速度，除了需要知道碰撞前的速度外，還需要知道兩個(gè)重要參數(shù)(沈青，2003)。一個(gè)是瞄準(zhǔn)距離b，也就是質(zhì)心坐標(biāo)系中，尚未受到兩分子相互作用力影響的粒子軌道間的最接近距離。瞄準(zhǔn)距離越小，兩個(gè)分子的碰撞效果越明顯，瞄準(zhǔn)距離為零時(shí)是兩個(gè)分子正面碰撞的情況，瞄準(zhǔn)距離增加，分子因碰撞產(chǎn)生的偏轉(zhuǎn)減小，當(dāng)瞄準(zhǔn)距離超過一定范圍時(shí)，分子之間完全沒有作用;另一個(gè)是碰撞截面，除了瞄準(zhǔn)距離之外再確定碰撞平面就完全確定了碰撞。總碰撞截面包括兩個(gè)部分:一個(gè)是粘性碰撞截面σμ，一個(gè)是擴(kuò)散碰撞截面σD，根據(jù)這兩部分碰撞截面特點(diǎn)不同，可以有不同的分子模型。

圖1 硬球模型分子碰撞示意圖Fig.1 The hard-sphere molecular collision model

真實(shí)分子的碰撞截面是隨著相對速度而改變的，這是模擬真實(shí)氣體流動必須滿足的條件，這樣才能保證粘度系數(shù)與溫度的關(guān)系與實(shí)際氣體一致。變徑硬球模型解決了硬球模型中假設(shè)碰撞截面固定不變這一問題，變徑硬球模型分子具有和硬球模型一樣的散射幾率，計(jì)算碰撞后的速度方向散布時(shí)取樣十分簡單。變徑硬球模型的重要一步是將碰撞截面取為正比于分子間相對速度的一定的逆冪次，這樣就可以使所導(dǎo)出的粘度系數(shù)隨溫度的一定冪次變化。

在變徑硬球模型中，粘性碰撞截面σμ和擴(kuò)散碰撞截面σD比值不變，這在某些情況下會產(chǎn)生和實(shí)際有一定差距的結(jié)果，變徑軟球模型克服了這一缺點(diǎn)。綜合考慮，本文選擇變徑軟球模型進(jìn)行計(jì)算。

1.2 分子與表面相互作用計(jì)算

氣體分子與表面相互作用中有兩種反射模型，即鏡面反射模型和完全漫反射模型。鏡面反射模型假定，來流分子在物體表面的反射與光滑彈性球在光滑的完全彈性表面上的反射相同，即來流分子在物體表面的相對速度的法向分量改變方向，其余方向的速度分量不變。因此反射流產(chǎn)生的正壓力與來流產(chǎn)生的相同;而反射流產(chǎn)生的剪切應(yīng)力與來流產(chǎn)生的具有相反的符號，總剪切應(yīng)力為零，氣體與表面的能量交換為零。完全漫反射模型假定離開表面的分子以平衡的即Maxwell分布散射，平衡條件是表面溫度，Maxwell分布的溫度與來流的靜溫相同。氣體分子反射過程中既有可能發(fā)生鏡面反射又有可能發(fā)生漫反射，引入比例系數(shù)將兩者合成是比較合理的:

式中，vr為反射后分子速度;vs為鏡面反射后分子速度;vd為漫反射后分子速度;j為比例系數(shù)。

1.3 邊界條件及計(jì)算過程

計(jì)算時(shí)，主要需要出、入口和壁面邊界。根據(jù)假設(shè)設(shè)置出口條件，遇到壁面需要計(jì)算分子與壁面的碰撞，進(jìn)行碰撞的取樣。假設(shè)兩平行平板初始相距距離為y0，中間有溫度為t0的空氣，中間氣體以平均v0的速度沿x軸向前運(yùn)動。

認(rèn)為空氣流動狀態(tài)為湍流，采用普朗特混合長度理論計(jì)算其各個(gè)方向脈動速度和雷諾應(yīng)力:

如果流體微團(tuán)從x處移動到x+l'處，根據(jù)混合長度理論兩處的速度差等于x處流向脈動速度μ'，根據(jù)運(yùn)動連續(xù)假說，法向上也會產(chǎn)生脈動速度v'，兩個(gè)方向的脈動速度具有相同的量級但是符號相反，即

式中，k1為常數(shù);u為流向速度。

將(2)、(3)代入雷諾應(yīng)力計(jì)算公式，并將式中常數(shù)歸并到尚未確定的混合長度l中去，可得湍流脈動所引起的雷諾應(yīng)力為:

式中，l2=k1l'2，l為混合長度。

對于固體壁面附近湍流，普朗特假設(shè)混合長度與離壁面距離成正比，即

式中，k為卡門常數(shù)，可經(jīng)由實(shí)驗(yàn)測定，對光滑壁面k=0.417。

整體計(jì)算過程如下:

(1)對研究區(qū)域進(jìn)行網(wǎng)格劃分，置入模擬分子，設(shè)置各個(gè)模擬分子初始位置、初始速度等信息，計(jì)算初始脈動速度;

(2)根據(jù)分子速度按照勻速運(yùn)動規(guī)律估算模擬分子在一個(gè)時(shí)間步長內(nèi)的位移;

(3)進(jìn)行分子碰撞取樣，計(jì)算分子碰撞，計(jì)算分子與邊界的相互作用;

(4)對計(jì)算區(qū)域內(nèi)的所有分子進(jìn)行重新排序;

(5)進(jìn)行流場宏觀量計(jì)算。

2 計(jì)算結(jié)果

2.1 Knudsen數(shù)對湍流度和雷諾應(yīng)力的影響

圖2為兩平板中心處用Knudsen數(shù)為0.1時(shí)，無量綱化的雷諾應(yīng)力隨Knudsen數(shù)變化，從圖2中可以看出，隨著Knudsen數(shù)的增大，雷諾應(yīng)力有所增大，說明隨著Knudsen數(shù)增大湍流脈動有所增強(qiáng)。

圖3為兩平板中心處用Knudsen數(shù)為0.1時(shí)，無量綱化湍流度隨Knudsen數(shù)變化，從圖3中可以看出，隨著Knudsen數(shù)的增大，湍流度有所增大，說明隨著Knudsen數(shù)增大，湍流脈動有所增強(qiáng)。

圖2 雷諾應(yīng)力隨Knudsen數(shù)變化圖Fig.2 The reynolds stress change followed Knudsen

圖3 湍流度隨Knudsen數(shù)變化圖Fig.3 The turbulence intensity change followed Knudsen

2.2 平板間距離對湍流度和雷諾應(yīng)力的影響

圖4為兩平板中心處用Knudsen數(shù)為0.1，兩平板間距離為y0時(shí)，無量綱化的雷諾應(yīng)力隨兩平板間距離變化，其中y0為初始選擇兩平板間距離，y為兩平板間距離變化后值，從圖4中可以看出，隨著兩平板間距離的減小，雷諾應(yīng)力有所增大，說明隨著兩平板間距離的減小湍流脈動有所增強(qiáng)。

圖5為兩平板中心處用Knudsen數(shù)為0.1，兩平板間距離為y0時(shí)，無量綱化的湍流度隨兩平板間距離變化，其中y0為初始選擇兩平板間距離，y為兩平板間距離變化后值，從圖5中可以看出，隨著兩平板間距離的減小，湍流度有所增大，說明隨著兩平板間距離的減小湍流脈動有所增強(qiáng)。

圖4 雷諾應(yīng)力隨平板間距離變化圖Fig.4 The reynolds stress change followed the distance between the walls

3 結(jié)論

(1)用普朗特混合長度理論計(jì)算出了湍流流動中脈動速度和雷諾應(yīng)力。

(2)Knudsen數(shù)的變化以及兩平板間距離的變化都會影響兩平板間流體的湍流流動。

(3)雷諾應(yīng)力和湍流度反映著流體湍流脈動的強(qiáng)度，增加Knudsen數(shù)、減小兩平板間距離都可以增強(qiáng)附近流體湍流脈動。

圖5 湍流度隨平板間距離變化圖Fig.5 The turbulence intensity change followed the distance between the walls

歐特爾H.2008.普朗特流體力學(xué)基礎(chǔ)［M］.北京:科學(xué)出版社:227-306.

沈青.2003.稀薄氣體動力學(xué)［M］.北京:國防工業(yè)出版社:121-139.

趙君.2008.壁湍流相干結(jié)構(gòu)雷諾應(yīng)力的渦粘性本構(gòu)關(guān)系與控制［D］.天津:天津大學(xué)碩士論文:100-101.