王仲才

（南昌理工學院 江西 南昌 330044）

[引理1] 接連的10個正整數中，前5個取負，后5個取正，則它們的代數和是5的整數倍。

證明 設n為正整數，那么接連的10個正整數中，前5個是

前后對應之差都是5，代數和是45=5×9

證畢。

[引理2] 接連的10個正整數的2l次方中（l為正整數），前5個取負，后5個取正，則它們的代數和是5的整數倍。

證明 由[引理1]，l=0時結果成立，由2數平方差

得知，結論對于l=1時成立。

假設結論對于l=h（正整數）成立，即

是5的整數倍，那么，對于l=h+1時

由假設得悉，它是5的整數倍，總的代數和自然也是5的整數倍。

證畢。

[定理2] 接連的10個正整數的3l次方 （l為正整數）中，前5個取負，后5個取正，則它們的代數和是5的整數倍。

證明 由2數立方差公式

和[引理1]得悉，對應項之差都是5的整數倍，那么總的代數和自然是5的整數倍，即結論對l=1時成立。

假設l=h(正整數）時結論成立，即

是5整數倍，那么對于l=h+1

由假設它是5的整數倍，那么總的代數和的自然數是5的整數倍。

證畢。

[定理3] 接連的10個正整數的5l次方 （l為正整數）中，前5個取負，后5個取正，則它們的代數和是5的整數倍。

證明 設n,m為正整數，則

它是5的整數倍。

由[引理1]和公式得知（上式取m=1)

即對應項之差是5的整數倍，從而總的代數和自然是5的整數倍，即結論對5次方成立。

假設對于l=h（正整數）結論成立，即

是5的整數倍，那么對于l=h+1

是（1）式和假設，它也是5的整數倍，從而總的代數和是5的整數倍。

證畢。

[定理4] 接連的10個正整數的7l（l為正整數）次方中，前5個取負，后5個取正，則它們的代數和是5的整數倍。

證明 設n,m為正整數，則由（1）式得

它是5的整數倍。

由（2）得悉，結論對l=1成立，即若a-b是5的整數倍，那么a7-b7也是5的整數倍，現假設l=h（正整數）結論成立，即

是5的整數倍，那么對于l=h+1時，

由歸納假設和（2）式得知，它也是5的整數倍，那么總的代數和的自然也是5的整數倍。

證畢。

注意到

li為正整數，那么有

證明 這是反復應用[定理1-4]和式（2）的直接結果。

證畢。

[定理6] 設h為正整數，則10h個正整數（接連的）的2l,3l,5l,7l次方中（l為正整數）的5h個取負，后5h個取正，則它們的代數和都是5的整數倍（h為正整數）。

證明 設n為正整數，則接連的10h個正整數中，前5h個是

后5h個是

對應項之差都是5h，即是5的整數倍。

由[定理1-4]和式（2），即得結論。

證畢。

[引理2] 接連的10個偶數中，前5個取負，后5個取正，它們的代數和是10的整數倍。

證明 設n為正整數，則接連的10個偶數中，前5個是

后5個是

對應項之差都是10，從而它們的代數和是10的整數倍。

[定理7] 接連的10個偶數的2l,3l,5l,7l,10l(l為正整數）的2l,3l,5l,7l中，前5個取負，后5個取正，則它們的代數和都是10的整數倍。

證明 由式（2），取m=2，類似[定理1-4]的證明，即得結論。

證畢。

證明 由[引理2]和類似[核心定理5]的證明，即得結論。

證畢。

證明 10h個偶數中，前5h個是

后5個是

對應項之差都是10h，類似[定理1-4]和式（2）即得結論。

[引理3] 接連的10個奇數中，前5個取負，后5個取正，則它們的代數和是10的整數倍。

證明 接連的10個奇數中，前5個是

后5個是2n+9,2n+11,2n+13,2n+15,2n+17

對應項之差都是10，那么的代數和是10的整數倍。

證畢。

[定理10] 接連的10個奇數的2l,3l,5l,7l,10l(l為正整數）次方中，前5個取負，后5個取正，則它們的代數和都是10的整數倍。

證明 由[引理3]這個證明完全類似[定理7]的證明。

證畢。

證明 由[引理3]，這個證明完全類似[核心定理8]的證明。

證明 接連的10h個奇數中，前5h個是

對應項之差都是10h，由（2）式和[定理9]的證明，即得結論。

證畢。

［1］王仲才.關于12的神奇特征［J］.江西廣播電視大學學報,2012,（2）.

［2］王仲才.關于6的整數倍的第三個神奇特征［J］.江西廣播電視大學學報,2012,（4）.