李志遠，梁光河，谷丙洛

1中國科學院礦產(chǎn)資源研究重點實驗室中國科學院地質(zhì)與地球物理研究所，北京 100029

2中國科學院大學，北京 100049

1 引 言

多波多分量地震勘探技術(shù)是具有極大的科學價值和發(fā)展前途的勘探地震學前緣學科之一.它在提高地震資料的分辨率，提高成像精度，精細預測巖性，研究地下介質(zhì)方位各向異性等方面有著常規(guī)縱波勘探無法比擬的優(yōu)勢［1］.多波多分量地震勘探技術(shù)將應(yīng)用于所有的陸地或是海底地震勘探［2］.

隨著多波多分量地震勘探技術(shù)的發(fā)展，多波多分量地震資料處理技術(shù)也得到了快速發(fā)展.基于波場分離的多波多分量處理技術(shù)便是其中很重要的一類處理方法.這類方法以標量波場理論為基礎(chǔ)，首先將多波多分量地震數(shù)據(jù)分解為縱波數(shù)據(jù)和轉(zhuǎn)換橫波數(shù)據(jù)，然后對這兩種數(shù)據(jù)分別進行處理［3］.因此，縱、橫波的分離是多波多分量地震資料處理中很重要的一步.

縱、橫波的分離方法有許多種，例如：偏振濾波法［4－5］，Radon變換法［6］，波動方程法［7］等.本文依據(jù)Helmholtz分解理論分離縱、橫波利用的是這兩種波場偏振特性的差異，屬于偏振濾波法.

由Helmholtz分解理論可知，一個矢量場可以被分解成一個無旋的標量場和一個無散的矢量場.而在各向同性介質(zhì)中，縱波是無旋場，橫波是無散場，因此根據(jù)Helmholtz分解理論，對地震波場分別求取散度和旋度，可以提取出純縱波和純橫波［8］.但是在各向異性介質(zhì)中，縱波的偏振方向并不完全平行于波的傳播方向，橫波的偏振方向也不完全垂直于波的傳播方向.因此對于各向異性介質(zhì)中的波場，直接求散度和旋度無法得到純的縱、橫波.為了在各向異性介質(zhì)中也能夠分離出縱、橫波，Dellinger和Etgen［9］以Helmholtz分解理論為基礎(chǔ)，在頻率－波數(shù)域求解Christoffel方程，得到縱、橫波質(zhì)點的振動方向，繼而得到所謂的波型分離算子（類似于散度和旋度算子），然后再反變換回時間－空間域，從而實現(xiàn)了二維VTI介質(zhì)中的縱、橫波分離.Dellinger［10］又將此方法推廣到三維各向異性介質(zhì)中.但是此分離算子對于均勻介質(zhì)效果很好，而對于非均勻介質(zhì)，其適用性不佳.

Yan和Sava［11－12］在Dellinger理 論 的 基 礎(chǔ) 上，利用Christoffel方程在每個網(wǎng)格節(jié)點上計算分離算子，從而將其適用性從均勻VTI介質(zhì)推廣到非均勻的TTI介質(zhì)和VTI介質(zhì)中.Zhang和McMechan［13］對比研究了前幾種方法，提出了適用性更廣的波場分離方法.該方法以Helmholtz分解理論和Christoffel方程為基礎(chǔ)，推導出可以直接獲得縱、橫波各分量的公式.其物理意義明確，而且可以很好的適用于3D各向異性介質(zhì)中.Yan和Sava［14］針對該方法計算成本高、效率低的問題，提出了更為高效的計算方法.郭鵬等［15］也研究了非均勻VTI介質(zhì)中的縱、橫波分離.

上述的縱、橫波的分離方法，只適用于正演模擬.對于給定的地震記錄，堯德中等［16］從Helmholtz分解理論出發(fā)，在頻率－波數(shù)域?qū)SP地震記錄求取散度和旋度，從而解決了地震記錄中有一個方向上的偏導數(shù)無法求取的問題.然后再反變回時間－空間域，得到純的縱、橫波地震記錄.但是該方法要求各地層的縱、橫波速度為已知.Sun［17］將Helmholtz分解理論與波場延拓相結(jié)合，先將地面地震記錄在均勻空間中延拓到某一位置，然后利用求散度和旋度的方法得到純的縱、橫波，最后再將分離后的波場分別逆向延拓回地面，從而實現(xiàn)地面地震記錄的縱、橫波的分離.Sun等［18］將此方法應(yīng)用到3D介質(zhì)中.但是此方法對波場進行了散度和旋度的運算，使分離后的波場產(chǎn)生了相移，并且使得縱、橫波的振幅比也發(fā)生了改變.因此需要對產(chǎn)生的相移進行校正［19］，并恢復真實的縱、橫波振幅比［20］.

本文依據(jù)Helmholtz分解理論，在頻率－波數(shù)域求解散度和旋度來進行縱、橫波分離.針對地表速度不準確造成縱、橫波分離不徹底的問題，提出了準確估算地表速度值的方法.針對進行散度和旋度運算后，縱、橫波的相位和振幅比會發(fā)生改變的問題，提出了相應(yīng)的相位校正以及縱、橫波振幅比校正的方法.

2 利用散度和旋度進行縱橫波分離的原理

堯德中等［16］指出在頻率－波數(shù)域進行散度和旋度運算可以解決地震記錄中某個方向的偏導數(shù)無法求取的問題.

根據(jù)Helmholtz分解理論，位移場U可表示為一個標量勢的梯度與一個矢量勢的散度之和［8］.用公式表示為

根據(jù)（2）、（3）兩式對（1）式兩邊分別求旋度和散度，可得：

由于S只包含了橫波分量，P只包含了縱波分量，因此可以用S和P來分別表示橫波波場和縱波波場.

在二維情況下，令U＝［u，w］，其中u表示位移場的水平分量，w表示位移場的垂直分量.將（4）、（5）兩式展開，可得（二維情況下S是一標量）：

在時間－空間域中，地面地震記錄z方向的偏導數(shù)是無法求得的.將（6），（7）兩式變換到頻率－波數(shù)域求解［16，21］，有：

由于在地面接收到的是上行波，所以（10）式取負號.對于（8）式，v取縱波波速，對于（9）式，v取橫波波速［16］.求得和后，再反變換回時間－空間域，便可得到分離的縱、橫波.

圖1為合成的地面地震記錄.模型為一均勻介質(zhì)，速度是vp＝3000m／s，vs＝1700m／s，所用震源為集中力震源，置于模型中心.

圖1 合成地震記錄（a）水平分量；（b）垂直分量.Fig.1 Synthetic seismic data（a）horizontal component（b）vetical component

從圖1中抽取一道地震數(shù)據(jù)顯示在圖2中，圖2a是水平分量（用u表示），圖2b是垂直分量（用w表示）.圖2c中的實線是u對z的偏導數(shù)，虛線是w對x的偏導數(shù)；圖2e是圖2c中兩條線相減的結(jié)果.從圖2c和圖2e中可以看出，（6）式中之所以能將縱波成分消除掉，是因為?u／?z和?w／?x中的縱波成分相等，橫波成分不相等，兩者相減便可將縱波成分消除，只保留橫波成分.圖2d中的實線是u對x的偏導數(shù)，虛線是w對z的偏導數(shù)；圖2f是圖2d中兩條線相加的結(jié)果.從圖2d和圖2f中可以看出，（7）式中之所以能將橫波成分消除，是因為?u／?x和?w／?z中的橫波成分振幅大小相等，相位相差π，而縱波成分振幅不等，相位相差很小，兩者相加便可將橫波成分消除，只保留縱波成分.

在上述計算過程中，給出的速度為真實速度.如果給出的速度不準確，結(jié)果如何？我們知道，（8）式和（9）式中的kx是與速度無關(guān)的，由（10）式可知，kz與速度有關(guān).也就是說，速度影響的只是u和w對z的偏導數(shù)（?u／?z和?w／?z）.

圖3a為縱波速度分別為2500、3000、3500m／s時，?u／?z的波形圖.從圖中可以看出速度對?u／?z的振幅影響很明顯，而且速度越快振幅越小，速度越慢振幅越大.速度對相位也有影響，但是影響比較小，在圖中很難看出.這表明，如果速度給的不準確，?u／?z－?w／?x是不能夠?qū)⒖v波成分消除掉的，如圖3c所示，縱波有殘留.圖3b為橫波速度分別為1200、1700、2200m／s時，?w／?z的波形圖.從圖中可以看出速度對?w／?z的影響與對?u／?z的影響一樣有著相同的規(guī)律.在速度不準確的情況下，?u／?x＋?w／?z也無法將橫波成分消除掉，如圖3d所示，橫波有殘留.從上面分析可以知，只有在速度準確的情況下，縱橫波才能分離開.因此，需要估算地表的縱、橫波速度.

圖2 圖1中的一道地震數(shù)據(jù)（a）水平分量u；（b）垂直分量w；（c）?u／?z和?w／?x的波形圖；（d）?u／?x和?w／?z的波形圖；（e）分離出的橫波；（f）分離出的縱波.Fig.2 A trace data of Fig.1（a）Horizontal component u；（b）Vetical component w；（c）Waveform of?u／?zand?w／?x；（d）Waveform of?u／?xand?w／?z；（e）The separated P－waves；（f）The separated S－waves.

3 地表縱、橫波速度的估算

令uP（ω）和wP（ω）分別表示單頻ω上，平面縱波的水平分量和垂直分量，則（x，z）處的uP（ω）和wP（ω）可表示為［20］

圖3 （a）縱波速度取不同值時，?u／?z的波形圖；（b）橫波速度取不同值時，?w／?z的波形圖；（c）縱波速度為3500m／s時，分離出的橫波；（d）橫波速度為1200m／s時，分離出的縱波Fig.3 （a）Waveforms of?u／?zon different P velocities；（b）Waveforms of?w／?zon different S velocities；（c）The separated S－waves using P velocity 3500m／s；（d）The separated P－waves using S velocity 1200m／s

其中，φu（ω）和φw（ω）分別表示單頻ω上，縱波水平分量以及垂直分量的振幅；kxP和kzP分別為水平方向和垂直方向上的波數(shù).

令UP和WP分別為平面縱波的水平分量和垂直分量

通過前面的分析可知，若要消除掉縱波，（15）、（16）兩式應(yīng)相等，于是有：

由（24）、（25）式可知，（?UP／?z）＊和?WP／?x的振幅比近似等于真實縱波速度與所給縱波速度之比.（?WS／?z）＊和?US／?x的振幅比近似等于真實橫波速度與所給橫波速度之比的負數(shù).因此利用（24）、（25）式，可以估算出地表的真實速度值.但這兩個式子是一個粗略的近似，可利用多次迭代提高速度估算的精度.具體的做法是（以估算縱波速度為例）：

（2）計算出（?UP／?z）＊和?WP／?x，求得兩者振幅之比；

（3）判斷振幅比是否滿足要求（接近于1），若滿足，停止計算，若不滿足由（24）式，計算出，重復步驟2；

同理，可估算出地表的橫波速度值.

在實際計算時，我們選取一個子波長度的時間窗口，該窗口內(nèi)的縱波子波或橫波子波與其它子波有很小的干涉.在該窗口內(nèi)計算（?UP／?z）＊和?WP／?x最大振幅之比或（?WS／?z）＊和?Us／?x最大振幅之比.

例如，對于上述地震地面記錄，給定初始的縱波速度值為3500m／s，經(jīng)兩次迭代后，求得（?UP／?z）＊和?WP／?x最大振幅之比為0.9628，利用（24）式求得縱波速度為3012.7m／s.再以此速度計算（?UP／?z）＊和?WP／?x最大振幅之比為0.9956，已經(jīng)非常接近于1，此時估算的縱波速度為2999.4m／s，與真實速度只差0.6m／s.同樣，當給定初始的橫波速度值為2200m／s時，經(jīng)過兩次迭代，求得（?WS／?z）＊和?US／?x最大振幅之比－0.9955，估算的橫波速度為1701.1m／s，與真實速度相差1.1m／s.圖4（a，b）分別為縱、橫波的初始速度為3500m／s以及1200m／s時分離的橫波和縱波，可以看到圖3c中殘留的縱波以及圖3d中殘留的橫波已經(jīng)消除掉.

本文也驗證了所給速度與真實速度相差非常大的情況.如當縱波初始速度給出8000m／s，經(jīng)過5次迭代，估算出的縱波速度為3021.7m／s；橫波初始速度給出6700m／s時，經(jīng)過4次迭代，估算出的橫波為1704.6m／s.分離的縱、橫波如圖4（c，d）所示.又如，當縱波初始速度為20m／s時，經(jīng)過5次迭代，估算出的縱波速度為3022m／s；橫波初始速度為10m／s時，經(jīng)過4次迭代，估算出的橫波速度為1704.6m／s.分離的縱、橫波如圖4（e，f）所示.從圖4（c－f）可以看出在所給出的縱、橫波速度與真實速度相差很大的情況下，也能夠很好地分離縱、橫波.

4 相位和縱橫波振幅比的校正

4.1 相位的校正

Sun等［19］指出在對波場進行散度和旋度計算后，縱、橫波的相位將產(chǎn)生π／2的移動.從（8）式和（9）式可以看出，對波場求取散度和旋度后，等式的右邊被乘上了一個i因子（i＝exp（iπ／2）），從而使分離后的P波和S波產(chǎn)生了π／2的相移.由于Sun是在空間域求取的散度和旋度，因此無法直接在計算的過程中對相位進行校正，需要在求取散度和旋度之后，將分離的縱、橫波分別通過對時間t做Hilbert變換［22］來進行校正.而本文是在頻率波數(shù)域求取的散度和旋度，因此可以在計算過程中將（8）式和（9）式兩邊同乘以－i（－i＝exp（－iπ／2）），直接將產(chǎn)生的π／2的相移校正回去，即：

4.2 縱、橫波振幅比的校正

Sun等［20］指出在對波場進行散度和旋度計算后，使得縱、橫波的振幅比產(chǎn)生了vP／vS的變化，需要在分離后的橫波波場乘以vS／vP，從而將縱、橫波振幅比校正到真實的縱、橫波振幅比上.而對于本文來說，由于在計算（8）式時，為了保證中不含有縱波，（10）式中的速度v取vP，在計算（9）式時，為了保證中不含有橫波，（10）式中的速度v取所以利用（8）式和（9）式計算出的S～和P～，再反變換回時間－空間域時，縱橫波的振幅比實際上是產(chǎn)生了vS／vP的變化（見附錄A）.因此，我們在分離后的橫波波場上乘以vP／vS來校正縱、橫波的振幅比.

圖5是做了相位與縱橫、波振幅比校正的縱、橫波波場圖.在成圖時將分離后的縱、橫波振幅進行了規(guī)格化［20］.通過圖5a與圖2a中的橫波（橫波能量主要集中在水平分量上），圖5b與圖2b中的縱波（縱波能量主要集中在垂直分量上）對比可以看到相位和振幅比得到了恢復.

5 模型驗證

圖6為Sigsbee鹽丘模型.模型表層的縱波速度為1517m／s，橫波速度為876m／s.正演模擬時，震源放在地下50m，采用爆炸震源，檢波器置于地表，中間放炮，兩邊接收，模型四周使用了混合吸收邊界［23］.

圖7是利用圖6所示模型正演出的地面地震記錄.從圖中可以看出記錄中波場的主要能量是來自鹽丘表面的反射，淺部地層的反射能量很微弱.波場很復雜，縱、橫波混疊在一起，尤其是在1.5s以后，幾乎無法將兩者區(qū)分出來.

在進行縱、橫波分離時，假定地表速度未知，給出的初始縱波速度為3000m／s，初始橫波速度為1800m／s.利用上述估算速度值的方法，分別經(jīng)過10次和9次迭代，估算出的地表縱波速度為1517m／s，橫波速度為877m／s，與表層的縱、橫波速度非常接近.圖8（a，b）為最終分離的縱波和橫波，在頻率波數(shù)域計算散度和旋度時，使用的是（26）式和（27）式，并進行了縱、橫波振幅比的校正，以及規(guī)格化［19］.從圖8中可以看出，原本混疊在一起無法區(qū)分的縱、橫波得到了很好的分離.

圖6 Sigsbee鹽丘模型（a）縱波速度，從1517～4564m／s；（b）橫波速度，876～2635m／s.Fig.6 The sigsbee salt model（a）The P－wave velocity ranging from 1517to 4564m／s；（b）The S－wave velocity ranging from 876to 2635m／s.

6 結(jié) 論

本文依據(jù)Helmholtz分解定理，利用對地面地震記錄求散度和旋度的方法，分離出了縱、橫波.分析了地表縱、橫波的速度在波場分離中的重要性，針對速度值不準確會使縱、橫波分離不徹底的問題，提出了估算地表速度值的方法.利用此方法，可以在地表速度值未知時，將其估算出來.雖然（24）式和（25）式只是近似式，但通過鹽丘模型驗證可以看出，經(jīng)過幾次迭代后依然可以比較準確地估算出地表速度值，并且利用估算出的速度值很好地分離出了縱、橫波，說明了本文方法的有效性.估算速度值時，子波的選取很關(guān)鍵，選取比較純凈的縱波子波或橫波子波，估算的速度值才能更加接近真實值.根據(jù)本文波場分離的方法提出了相應(yīng)的相位校正以及縱、橫波振幅比校正的公式.在實際計算時，直接利用（26）和（27）兩式進行計算，不需要再額外進行相位校正，節(jié)省了計算成本.本文只對位移形式表示的波場進行了分離，對于速度形式表示的波場，本文的方法依然是適用的.

附錄A

這部分證明主要參考了文獻［20］.與其不同的是，在對波場求取完散度和旋度后，文獻［20］中的縱、橫波振幅比變?yōu)閏vP／vS，而本文中變?yōu)閏vS／vP.主要原因是，本文需要人為選取波數(shù)，而文獻［20］則不需要.

圖7 （a）模擬地震記錄的水平分量；（b）模擬地震記錄的垂直分量；（c）切除直達波后模擬地震記錄的水平分量；（d）切除直達波后模擬地震記錄的垂直分量.Fig.7 （a）Horizontal component of synthetic seismogram；（b）Vetical component of synthetic seismogram；（c）Horizontal component of synthetic seismogram after removing direct arrival；（d）Vertical component of synthetic seismogram after removing direct arrival.

令UP和US分別表示在坐標（x，z）處的縱波和橫波的位移矢量，則有

其中，φ0（ω）和θ0（ω）分別是頻率為ω時縱波和橫波的振幅；m和n是單位矢量，分別平行于縱波和橫波的偏振方向；kx，kz分別為縱波x方向和z方向上的波數(shù)；lx，lz分別為橫波x方向和z方向上的波數(shù).

令φ0（ω）和θ0（ω）滿足如下關(guān)系式：

c是常量.

彈性波波場U可以表示為縱波波場和橫波場的線性疊加：

圖8 分離出的縱波和橫波（a）分離出的縱波；（b）分離出的橫波.Fig.8 The separated P－and S－wavefield（a）The separated P－waves；（b）The separated S－waves.

同樣，在求旋度時，為保證得到純橫波，求取波數(shù)lz時，β應(yīng)該取縱波速度，因此l＝ω／vP，則

對比（A6）式和（A10）式可以看出，經(jīng)過了散度和旋度運算后，橫波與縱波的振幅比由c變成了cvS／vP.

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