楊新國

(中鐵第一勘察設(shè)計院集團(tuán)有限公司，陜西 西安 710053)

1 GPS水準(zhǔn)高程的原理

由于GPS高程所表示的是大地高h(yuǎn)，但是我國高程系統(tǒng)采用的高程是正高H正高或者是正常高H正常高，這就需要兩者之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換得到我們所需要的高程值。

上式是大地高與正常高、大地高與正高之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，其中，ζ為高程異常值;N0為大地水準(zhǔn)面之間的差距。

2 GPS水準(zhǔn)擬合常用的方法

目前在區(qū)域較小或者平坦的區(qū)域內(nèi)，GPS擬合的精度有所提高，能夠滿足工程一定精度的需要，但是還是要比相應(yīng)等級的水準(zhǔn)測量精度要低很多，如果要更加精確的得到高區(qū)域各GPS點的正高或者是正常高，那就必須獲得各點的大地水準(zhǔn)面的差距值和各點的高程異常值。

求得各點的高程異常值，經(jīng)GPS測量得到各點的大地高，那么就可以根據(jù)式(1)求得各點的正常高。

目前外業(yè)測量所常見的方法有以下幾種:

1)GPS測量與水準(zhǔn)測量相結(jié)合;2)短距離三角高程測量和GPS相結(jié)合;3)經(jīng)緯儀測量和GPS相結(jié)合;4)重力測量與水準(zhǔn)測量相結(jié)合。

后三種方法由于受儀器設(shè)備、觀測條件、已有數(shù)據(jù)資料、精度等因素的限制在實際測量工作中很難使用，而第一種方法，由于只需在GPS點上再測一定數(shù)量的水準(zhǔn)高程就可求解，因此在實際測量工作中應(yīng)用最為廣泛。

3 GPS水準(zhǔn)擬合的模型

截止到現(xiàn)在，用于計算高程異常擬合的數(shù)學(xué)模型很多，歸納起來有以下三種擬合模型:平面擬合模型、曲面擬合模型和常數(shù)擬合模型。

各個模型有各個模型的特點，我們可以利用各個模型的特點為我們在工程測量中解決各種問題，以上三種模型可以根據(jù)實際的地理地形情況選擇合適的模型為我們服務(wù)，從而滿足工程高程測量的精度要求。

3.1 平面擬合模型(平面擬合法)

如果我們所需的控制點在范圍較小或者地形起伏不大的范圍內(nèi)，我們就可以認(rèn)為該區(qū)域的似大地水準(zhǔn)面等同于或者近似于平面。

假設(shè)控制區(qū)域內(nèi)公共點的高程異常和各個點之間的坐標(biāo)有如下的關(guān)系:

或者為 ζi=a1+a2B+a3L。

其中，a1，a2，a3均為模型參數(shù)。

如果公共點的數(shù)目大于3個，則可以列出相應(yīng)的誤差方程為:

平面擬合模型所需要的公共點的個數(shù)一般大于3個，根據(jù)文獻(xiàn)記載，該方法在120 km2平原地區(qū)，擬合精度可達(dá)3 cm～4 cm。

3.2 曲面擬合模型(二次曲面擬合法)

在某些區(qū)域由于地理或者地形條件變化突出，在該區(qū)域內(nèi)高差變化較大引起大地水準(zhǔn)面變化不規(guī)則，那么采用平面擬合模型會引起較大的測量誤差，達(dá)不到所要求的測量精度，不能滿足工程設(shè)計或施工需要，這樣我們就采用曲面擬合法對該區(qū)域進(jìn)行曲面擬合達(dá)到我們所需要的精度，曲面擬合法的方法也有幾種，我們一般采用二次曲面擬合法，也就是在該區(qū)域內(nèi)所有公共點的高程異常和各點的平面坐標(biāo)之間建立相對應(yīng)的關(guān)系，它們之間存在如下的數(shù)學(xué)模型:

或者 ζi=a0+a1B+a2L+a3B2+a4L2+a5BL。

其中，a0，a1，…，a5均為模型所需要求得的參數(shù)，用曲面擬合法求得該模型參數(shù)一般至少需要6個公共點或以上。當(dāng)所求模型區(qū)域內(nèi)公共點的個數(shù)大于6個公共點時，誤差方程表示如下:

按照最小二乘法可以求得模型所需要求得的參數(shù)。

該擬合方法在丘陵地區(qū)或者高差變化較大的地區(qū)，擬合精度可優(yōu)于3 cm甚至更佳。

除了二次曲面擬合法以外，還可以進(jìn)一步的擴(kuò)展，也就是多項式曲面擬合法，多項式曲面擬合法的數(shù)學(xué)模型為:

其誤差方程仍然為:

其中，X為方差矩陣。

在GPS曲面擬合時，三次曲面擬合法實用性不強，隨著高差變化的加大，各點的高程異常變化就會越來越復(fù)雜，計算精度也會越來越低。

當(dāng)測區(qū)范圍地形變化復(fù)雜但是測區(qū)面積較小時可采用的四參數(shù)擬合方法，其數(shù)學(xué)模型如下式:

3.3 常數(shù)擬合模型

常數(shù)模型擬合的基本思想是該測區(qū)內(nèi)高程異常基本一致，不考慮參考橢球面與似大地水準(zhǔn)面之間的差距變化情況，這種方法只適用于極小區(qū)域且要求該區(qū)域內(nèi)似大地水準(zhǔn)面與參考橢球面相對吻合，實際生產(chǎn)過程中一般不用這種方法。

4 GPS水準(zhǔn)擬合精度評定的標(biāo)準(zhǔn)和計算方法

4.1 GPS水準(zhǔn)擬合精度評定標(biāo)準(zhǔn)

GPS水準(zhǔn)擬合精度評定的結(jié)果是直接影響我們使用成果的標(biāo)準(zhǔn)，所以我們從單位權(quán)中誤差，內(nèi)符合精度和外符合精度幾方面來對GPS水準(zhǔn)擬合精度進(jìn)行檢驗，一般來說在控制區(qū)域內(nèi)，我們一般只選擇一部分已知點來求得擬合模型的幾個參數(shù)，其余的已知點只是作為檢核點來評定擬合曲面與區(qū)域(似)大地水準(zhǔn)面的逼近程度。

4.2 單位權(quán)中誤差的計算方法

GPS觀測的是大地高，經(jīng)過同步觀測所得到的各點大地高差精度較高，這樣給出網(wǎng)內(nèi)某點的大地高作為起始大地高，就可以求出其他點相對于起始點的高精度的大地高，采用相應(yīng)等級的聯(lián)測方法聯(lián)測GPS可以求得各點的正常高，根據(jù)式(1)就可以求得各點的高程異常，高程異常變化趨勢平緩，可利用簡單曲面進(jìn)行擬合，以二次曲面擬合為例:

其矩陣形式為:

假設(shè)全網(wǎng)共布設(shè)n個GPS點，觀測了m個GPS水準(zhǔn)點(m＜n)，則擬合的誤差方程式為:

設(shè)為等權(quán)觀測，根據(jù)最小二乘法求得系數(shù):

通過上式即可計算任意擬合點的高程異常值。

由誤差方程可以計算擬合點殘差向量V，計算單位權(quán)中誤差:

4.3 內(nèi)部符合精度的計算方法

根據(jù)參與擬合計算的已知點ζi值與擬合值ζi'，用v=ζi－ζi'求擬合殘差，按下式計算GPS水準(zhǔn)擬合計算的內(nèi)符合精度:

其中，n為v的個數(shù)。

4.4 外部符合精度的計算方法

根據(jù)檢核點ζi值與擬合值ζi'之差，可以按下式計算GPS水準(zhǔn)擬合計算的外符合精度:

其中，n為檢核點的個數(shù);μ，M可以近似地認(rèn)為是擬合點的高程中誤差。

5 實例分析

5.1 案例概況

檢驗段內(nèi)選擇了該40 km作為高程擬合區(qū)域，該區(qū)域共有21個GPS點，我們選其中11個點作為擬合的基準(zhǔn)點(訓(xùn)練點)，其余點作為檢驗點，這11個點均勻分布于測區(qū)，且代表了測區(qū)內(nèi)的高差變化情況，所采集的外業(yè)測量數(shù)據(jù)，在計算中，采用以下兩種計算方法進(jìn)行對比。

平面擬合整個測區(qū)。

分段采用二次曲面擬合，對于重合區(qū)域采用雙三次樣條函數(shù)進(jìn)行重新取值。

5.2 兩個模型擬合后精度比較

由表1中可以看出，曲面擬合精度較好，因為曲面擬合可以根據(jù)地形起伏情況對高程異常面進(jìn)行重新組合，并對區(qū)與區(qū)之間進(jìn)行光滑連接，從而使擬合曲面盡量符合實際分布。

表1 擬合精度比較表 cm

6 GPS擬合精度提高的措施

GPS外業(yè)測量受到多種因素的影響導(dǎo)致GPS高程擬合精度的下降，所以我們必須對GPS外業(yè)的觀測和GPS內(nèi)業(yè)的作業(yè)來提高GPS高程的擬合精度，GPS外業(yè)觀測的方法和GPS內(nèi)業(yè)擬合模型的選擇成為GPS擬合后精度提高的作業(yè)關(guān)鍵，為了這個目的，我們可以采取以下幾種方法:

1)GPS外業(yè)數(shù)據(jù)采集質(zhì)量的提高和外業(yè)數(shù)據(jù)采集數(shù)量的增加;

2)星歷狀況要良好以提高測站測定大地高精度;

3)觀測條件適宜以提高聯(lián)測幾何水準(zhǔn)的精度;

4)選擇合適的模型以提高擬合計算的精度。

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