白海明

(山西省地球物理化學(xué)勘察院，山西運(yùn)城 044000)

GPS定位成果屬于WGS－84地心坐標(biāo)系，而現(xiàn)今實(shí)用的測(cè)量成果屬于某一國(guó)家坐標(biāo)系或地方獨(dú)立坐標(biāo)系(參心坐標(biāo)系)，因此，實(shí)際工作中必須進(jìn)行GPS網(wǎng)WGS－84坐標(biāo)系成果至地面參心系的轉(zhuǎn)換。對(duì)于平面轉(zhuǎn)換，主要采用二維約束平差方法，即以地面網(wǎng)的已知點(diǎn)為約束條件，將GPS網(wǎng)強(qiáng)制附合到地面網(wǎng)中。我們知道，純GPS網(wǎng)具有較高的相對(duì)精度，而以往用傳統(tǒng)方法建立的地面網(wǎng)的相對(duì)精度卻難以與GPS網(wǎng)相比擬。就我國(guó)而言，傳統(tǒng)網(wǎng)存在分階段建立和分區(qū)平差等弊端，再加上長(zhǎng)期地殼的不均勻運(yùn)動(dòng)，使得地面點(diǎn)間往往難以兼容一致。當(dāng)采用一組一致性差的點(diǎn)為基準(zhǔn)，進(jìn)行GPS網(wǎng)二維約束平差時(shí)，必然引起純GPS網(wǎng)的扭曲變形，當(dāng)這種變形不能容忍時(shí)，將極大地?fù)p壞GPS網(wǎng)的原有精度。因此，在進(jìn)行GPS網(wǎng)二維約束平差時(shí)，進(jìn)行基準(zhǔn)點(diǎn)兼容性分析至關(guān)重要。分析GPS網(wǎng)基準(zhǔn)兼容性的方法有多種，但大多對(duì)基準(zhǔn)不兼容造成網(wǎng)的變形缺乏數(shù)量大小的概念和一定的幾何解釋。本文以基準(zhǔn)點(diǎn)間的邊長(zhǎng)為對(duì)象，把彈性力學(xué)中的應(yīng)變分析方法應(yīng)用到GPS網(wǎng)基準(zhǔn)兼容性的叛定，可以很好地解決以往存在的問題。

1 基本原理及方法

1)彈性力學(xué)中變形與應(yīng)變的基本概念和有關(guān)關(guān)系式。由彈性力學(xué)理論可知，彈性體在外力作用下，物體的各點(diǎn)的位置要發(fā)生變化，即發(fā)生位移。位移實(shí)際上由三部分組成，它們是參考點(diǎn)的剛體平移、剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)和純應(yīng)變。前兩種位移后，仍保持各點(diǎn)間的初始狀態(tài)的相對(duì)位置，而純應(yīng)變則改變了各點(diǎn)間的初始狀態(tài)的相對(duì)位置，即產(chǎn)生了變形。這里我們主要研究后一問題。

在假定介質(zhì)是連續(xù)均勻、各向同性和小形變的情況下，可方便地對(duì)彈性體進(jìn)行應(yīng)變分析。在二維狀態(tài)下，彈性體內(nèi)一點(diǎn)的純應(yīng)變，可用其應(yīng)變參數(shù) εx，εy，rxy描述，其幾何意義為:εx，εy分別表示原來與X，Y軸平行的矢量單位長(zhǎng)度的伸長(zhǎng)(或壓縮)，稱為線應(yīng)變，伸長(zhǎng)為正，縮短為負(fù);rxy為變形前與OX，OY軸正向一致的兩正交線段在變形過程中發(fā)生的直角變化量，稱為剪應(yīng)變，直角減小時(shí)為正，反之為負(fù)。

εx，εy，rxy的大小與坐標(biāo)軸有關(guān)，在眾多的任意方向軸的應(yīng)變中，存在著一對(duì)互相垂直的特殊方向，這對(duì)坐標(biāo)方向存在最大和最小線應(yīng)變?chǔ)?，ε2，其間的剪應(yīng)變?yōu)?，稱主應(yīng)變，并有以下關(guān)系式:

其中，r為總剪切;λ為總應(yīng)變。

任意方向a上的線應(yīng)變?chǔ)臿與該線段平均應(yīng)變狀態(tài)分量之間的關(guān)系式如下［1］:

其中，D，D′分別為方向a上邊長(zhǎng)變形前、后的長(zhǎng)度;α為該邊方位角。

從式(5)可知，只要已知任意三個(gè)不同方向上的三個(gè)邊長(zhǎng)D，D′及其方位角α，就可組成三個(gè)線性方程，從中解出三個(gè)應(yīng)變參數(shù)εx，εy，rxy(當(dāng)多于三邊時(shí)采用后述平差方法)。式(5)是本文進(jìn)行應(yīng)變分析采用的基本關(guān)系式。

2)利用已知點(diǎn)間邊長(zhǎng)進(jìn)行GPS網(wǎng)基準(zhǔn)兼容性的應(yīng)變分析原理和方法。

如前所述，GPS網(wǎng)轉(zhuǎn)換為地面坐標(biāo)系時(shí)，常采用二維約束平差，實(shí)際上是將純GPS網(wǎng)強(qiáng)制附合到地面網(wǎng)中。如果將GPS網(wǎng)看作一彈性體，則地面網(wǎng)中已知點(diǎn)間平面邊長(zhǎng)與GPS網(wǎng)中相應(yīng)的平面邊長(zhǎng)的差距，正是GPS網(wǎng)二維基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換時(shí)將引起的彈性變形量。因整個(gè)GPS網(wǎng)變形量的大小，歸根結(jié)底是由基準(zhǔn)點(diǎn)間的變形來引起和決定的，若基準(zhǔn)點(diǎn)間的變形量超過一定的限度，則整個(gè)GPS網(wǎng)的變形當(dāng)然也就不可能容忍，因而，通過對(duì)基準(zhǔn)點(diǎn)間邊長(zhǎng)，根據(jù)式(5)求得的平均應(yīng)變量也就能說明整個(gè)GPS網(wǎng)的變形狀態(tài)。如果對(duì)此應(yīng)變量的大小加以恰當(dāng)?shù)南拗?，則可對(duì)基準(zhǔn)兼容性進(jìn)行叛定，這就是本方法的基本原理。

GPS網(wǎng)變形量限制條件可依不降低GPS測(cè)量精度為前提，同時(shí)滿足生產(chǎn)需要為基本準(zhǔn)則。為此文獻(xiàn)［2］提出判定GPS網(wǎng)基準(zhǔn)兼容性的兩個(gè)準(zhǔn)則:

準(zhǔn)則一:最大與最小線應(yīng)變之差不應(yīng)超過GPS基線測(cè)量精度的比例誤差:

準(zhǔn)則二:最大線應(yīng)變和剪應(yīng)變也不應(yīng)超過GPS基線測(cè)量精度的比例誤差:

準(zhǔn)則一是對(duì)GPS網(wǎng)與地面網(wǎng)轉(zhuǎn)換時(shí)，變形量的均勻性要求，如果超過此限值，則GPS網(wǎng)將會(huì)產(chǎn)生較大扭曲，而準(zhǔn)則二則是變形量大小的限制。

GPS網(wǎng)基準(zhǔn)兼容性的應(yīng)變分析步驟如下:

a.先進(jìn)行GPS網(wǎng)的三維無約束平差，經(jīng)各項(xiàng)檢驗(yàn)合格后，再選擇與地面網(wǎng)相同的參考橢球元素和投影面，以及一致的中央子午線，并固定地面任意一已知點(diǎn)，進(jìn)行GPS網(wǎng)二維自由網(wǎng)平差(或稱最小約束平差)。這時(shí)在二維平面內(nèi)，純GPS網(wǎng)的尺度就與地面網(wǎng)保持一致，并且仍保持GPS網(wǎng)其原有的精度。

b.計(jì)算(或摘錄)已知的地面點(diǎn)間的高斯平面邊長(zhǎng)D′和經(jīng)二維自由網(wǎng)平差后，純GPS網(wǎng)中相應(yīng)點(diǎn)間的高斯平面邊長(zhǎng)D和方位角α。

c.采用不同的基準(zhǔn)組合，以間接平差法，分別求解不同組合條件下的三個(gè)應(yīng)變參數(shù) εx，εy，rxy。

為實(shí)際應(yīng)用方便，式(5)作如下變換:

上式中把D作為非隨機(jī)量來進(jìn)行處理。因一般純GPS網(wǎng)中邊長(zhǎng)的精度是很高的，再加上D與D′相比具有現(xiàn)時(shí)性(不存在變形影響)，這種處理不會(huì)引起應(yīng)變參數(shù)太大的偏差，而能使計(jì)算簡(jiǎn)化。

對(duì)于多條已知邊可以Di′為觀測(cè)值，列立如下誤差方程:

其中，Di以 km 為單位，Li=(Di－D′)/1 000(即 Li以 mm 為單位)。因D′的協(xié)因數(shù)陣往往不能直接給出，而一般情況下，邊長(zhǎng)中誤差與邊長(zhǎng)成正比關(guān)系，為此，簡(jiǎn)便期間，D′的協(xié)因數(shù)陣可取如下對(duì)稱陣:

Qdd也可根據(jù)相應(yīng)等級(jí)邊長(zhǎng)相對(duì)精度分析給出。當(dāng)已知邊長(zhǎng)度及精度相近時(shí)，也可直接采用單位陣E。

根據(jù)式(8)，式(9)即可按間接平差法求出參數(shù) εx，εy，rxy，再據(jù)式(1)～式(4)算出其他參數(shù)。

d.根據(jù)求出的有關(guān)參數(shù)，以前述準(zhǔn)則一、準(zhǔn)則二為依據(jù)，分析判定基準(zhǔn)點(diǎn)兼容性，從中選擇兼容性好的已知點(diǎn)組，參與GPS網(wǎng)的二維平差，獲得最終平差成果。

2 算例

如圖1所示為一實(shí)測(cè)D級(jí)GPS控制網(wǎng)。

圖1 D級(jí)GPS控制網(wǎng)

1，2，3，4為已知點(diǎn)，已通過各種方法判定其間一致性很好。為利用應(yīng)變分析方法進(jìn)行基準(zhǔn)兼容性分析，現(xiàn)分別以兩種情況給2號(hào)，4號(hào)點(diǎn)加入不同的誤差進(jìn)行分析對(duì)比。其中案例一給2號(hào)點(diǎn)坐標(biāo)加入(3 cm，－3 cm)誤差，給4號(hào)點(diǎn)加入(－3 cm，3 cm)誤差;案例二給2號(hào)點(diǎn)加入(3 cm，－3 cm)誤差，給4號(hào)點(diǎn)加入(－5 cm，5 cm)誤差，分別計(jì)算其應(yīng)變參數(shù)如表1～表3所示。

表1 計(jì)算用的基本數(shù)據(jù)表

表2 案例一不同基準(zhǔn)組合下應(yīng)變參數(shù)表

表3 案例二不同基準(zhǔn)組合下應(yīng)變參數(shù)表

因E級(jí)網(wǎng)的比例誤差為b=10 ppm，根據(jù)準(zhǔn)則一、二及上述表2，表3可知:

案例一情況下，1—4組合方案均滿足要求，但以2方案為佳;而5組合方案總剪切較大，會(huì)使網(wǎng)產(chǎn)生較大扭曲，不可取。

案例二情況下，只有2方案滿足要求，其他方案均不可取。從表3可分析認(rèn)為，4號(hào)點(diǎn)與其他點(diǎn)間不兼容，這也與前述假定是一致的。

3 結(jié)語(yǔ)

本文利用基準(zhǔn)點(diǎn)間邊長(zhǎng)進(jìn)行GPS網(wǎng)基準(zhǔn)兼容性的應(yīng)變分析方法，既有數(shù)量概念，又有幾何意義，能夠?qū)鶞?zhǔn)點(diǎn)不兼容而引起GPS網(wǎng)的變形有直觀的判斷和解釋，并且具有較強(qiáng)的靈敏度。特別適用于具有多個(gè)已知點(diǎn)時(shí)的檢驗(yàn)分析。由于通常已知點(diǎn)個(gè)數(shù)總是有限，而所求參數(shù)只有三個(gè)，因而，誤差方程的組成和法方程的解算也就較為方便，不需要專用程序即可進(jìn)行。上述算例的平差過程，就是筆者在Excel上實(shí)現(xiàn)的。通過實(shí)踐證明，本方法具有一定的可靠性和實(shí)用價(jià)值。

［1］ 陶本藻.自由網(wǎng)平差與變形分析［M］.武漢:武漢測(cè)繪科技大學(xué)出版社，2001:170－183.

［2］ 張 勤，李家權(quán).GPS測(cè)量原理及應(yīng)用［M］.北京:科學(xué)出版社，2005:174－212.

［3］ 楊桂通.彈性力學(xué)［M］.北京:高等教育出版社，1998.