張曉建，楊甲山

(邵陽(yáng)學(xué)院理學(xué)與信息科學(xué)系，湖南 邵陽(yáng) 422004)

近年來(lái)時(shí)間測(cè)度鏈上動(dòng)力方程有關(guān)理論的研究引起了國(guó)內(nèi)外學(xué)術(shù)界的廣泛興趣和高度關(guān)注[1-13]。本文考慮下面的時(shí)間測(cè)度鏈上一類非常廣泛的具有非線性中立項(xiàng)的三階非線性變時(shí)滯動(dòng)力方程

{r(t)φ([a(t)yΔ(t)]Δ)}Δ+

P(t)F(φ(x(δ(t))))=0,t∈T,t≥t0

(1)

這里y(t)=x(t)+B(t)g(x(τ(t))),T為任意時(shí)間測(cè)度鏈;φ(u)=|u|λ-1u,λ≥1為實(shí)常數(shù);r(t),a(t),B(t),P(t) ∈Crd(T,R);τ(t),δ(t)均為定義在T到T上的滯量函數(shù);g(u),F(u)∈C(R,R),且ug(u)>0(u≠0),uF(u)>0(u≠0)。

關(guān)于時(shí)間測(cè)度鏈上的分析理論和時(shí)間測(cè)度鏈上動(dòng)力方程的基本理論可參閱文獻(xiàn)[1]。在本文中，討論的是方程解的振動(dòng)性, 所以總假設(shè)時(shí)間測(cè)度鏈T是無(wú)界的:supT=+∞。設(shè)t0∈T且t0>0, 定義時(shí)間測(cè)度鏈區(qū)間[t0,+∞)T=[t0,+∞)∩T。方程(1)的解是指定義在T上滿足方程(1)的非平凡實(shí)值函數(shù)x(t),t∈T。方程(1)的解x(t)稱為振動(dòng)的, 如果x(t)既不最終為正, 也不最終為負(fù)。否則, 稱為非振動(dòng)的。方程(1)稱為振動(dòng)的, 如果它的所有解都是振動(dòng)的。本文僅關(guān)注方程(1)的不最終恒為零的解, 并總假設(shè)下列條件成立：

(H2) 0≤B(t)≤1;P(t)>0;r(t)>0,rΔ(t)≥0;a(t)>0,aΔ(t)≥0。

關(guān)于方程(1)的特殊情形,已有文獻(xiàn)作過(guò)研究[2-6], 本文的目的是研究方程(1)的振動(dòng)性, 改善對(duì)方程的條件限制, 得到了該方程振動(dòng)的幾個(gè)新的充分條件, 推廣并改進(jìn)了現(xiàn)有文獻(xiàn)中的某些結(jié)果。

1 幾個(gè)基本引理

引理1[1]若x(t)是Δ可微的且最終為正或最終為負(fù)，則

(2)

引理2[7]設(shè)下面的條件成立：

引理3 設(shè)x(t)是方程(1)的一個(gè)最終正解, 則?t1∈[t0,+∞)T, 當(dāng)t∈[t1,+∞)T時(shí), 只有下列兩種情況：

(i)y(t)>0,yΔ(t)>0,[a(t)yΔ(t)]Δ>0,{r(t)φ([a(t)yΔ(t)]Δ)}Δ<0;

(ii)y(t)>0,yΔ(t)<0,[a(t)yΔ(t)]Δ>0,{r(t)φ([a(t)yΔ(t)]Δ)}Δ<0。

證明完全類似于[4]中的引理2.1, 在此從略。

引理4[8]設(shè)a,b為非負(fù)實(shí)數(shù), 則rabr-1-ar≤(r-1)br,r>1,等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)a=b。

引理6 設(shè)x(t)是方程(1)的滿足引理3情形(ii)的一個(gè)正解, 如果

(3)

或者

(3)'

{r(t)φ([a(t)yΔ(t)]Δ)}Δ=

-P(t)F(φ(x(δ(t))))≤

-LP(t)(x(δ(t)))λ<0

(4)

所以

{r(t)φ([a(t)yΔ(t)]Δ)}Δ≤

(5)

若(3)成立，則對(duì)(5)式兩邊從t2到t(t∈[t2,+∞)T)積分,得

r(t)φ([a(t)yΔ(t)]Δ)≤

r(t2)φ([a(t2)yΔ(t2)]Δ)-

上式兩邊從t2到t(t∈[t2,+∞)T)積分, 得

y(t)≤y(t2)-

Δv→-∞(t→+∞)

鑒于此, 以下均假設(shè)(3)或(3)'之一是成立的。

2 主要結(jié)果和證明

(6)

[1-βB(t)]y(t)≤x(t)

(7)

定義廣義的Riccati變換

(8)

則V(t)>0(t∈[t1,+∞)T), 注意到(4), (8)式, 進(jìn)一步可得

(9)

令u(t)=a(t)yΔ(t), 則由引理3的(i), 得u(t)>0,uΔ(t)>0, 由

{r(t)[a(t)yΔ(t)]Δ}Δ={r(t)uΔ(t)}Δ=

rΔ(t)uΔ(σ(t))+r(t)uΔΔ(t)<0

a(σ(t))yΔ(σ(t))≤

(10)

[(a(t)yΔ(t))λ]Δ≥

λ(a(t)yΔ(t))λ-1(a(t)yΔ(t))Δ

(11)

將(7), (10),(11)式代入(9)式, 得

(12)

(13)

因此, 由(10) ,(13)式, ?T0∈[t0,+∞)T且T0≥max{t2,t1/2}, 使得當(dāng)t∈[T0,+∞)T時(shí), 有

在臺(tái)達(dá)吳江生產(chǎn)制造基地，生產(chǎn)臺(tái)達(dá)自動(dòng)化產(chǎn)品的智能制造示范線已落成投運(yùn)，通過(guò)引入工業(yè)機(jī)器人、RFID檢測(cè)識(shí)別、機(jī)器視覺及AGV物料配送等智能化設(shè)備，配合制造執(zhí)行系統(tǒng)（MES），實(shí)現(xiàn)產(chǎn)線優(yōu)化與升級(jí)。生產(chǎn)使用面積減少62%、產(chǎn)線操作人員數(shù)降低88%的同時(shí)，產(chǎn)能提升40%。實(shí)踐的成功經(jīng)驗(yàn)將在臺(tái)達(dá)各廠區(qū)上百條產(chǎn)線復(fù)制展開，結(jié)合大數(shù)據(jù)與AI分析技術(shù)持續(xù)優(yōu)化完善，最終成為工業(yè)客戶實(shí)施“智造升級(jí)”時(shí)至關(guān)重要的保障。

將上式代入(12)式, 得

(14)

現(xiàn)取

代入引理4中的不等式, 得

將其代入(14)式, 得

φ(σ(t))Ψ(t)≤-VΔ(t)+

(15)

兩邊積分, 得

所以

上式取上極限, 得與(6)式矛盾! 定理證畢。

(16)

證明同定理1, 只需證明x(t)滿足引理3中的情形(i)即可。由定理1的證明可得(15)式, 即當(dāng)s∈[T0,+∞)T時(shí), 有

上式兩邊同時(shí)乘以H(t,s), 并從T0到t(t∈[T0,+∞)T)積分, 由時(shí)間測(cè)度鏈上的分部積分法可得

H(t,T0)V(T0)≤H(t,t0)V(T0)

于是

上式取上極限, 得與(16)式矛盾! 定理證畢。

注2 選擇恰當(dāng)?shù)牟煌暮瘮?shù)H(t,s)和φ(t), 就能得到方程(1)的許多不同的具體振動(dòng)準(zhǔn)則。 現(xiàn)在定理2中取H(t,s)=(t-s)m,φ(t)=M(M>0為常數(shù)), 則得

推論2 如果存在常數(shù)m≥1使得

此推論就是三階微分方程的Kamenev型振動(dòng)準(zhǔn)則的推廣。

例1 考慮三階微分方程

{t3[(tx'(t))']4}'+t2(t-1)3·

(4t2-11t+3)x4(t)=0,t≥2

例2 考慮時(shí)間測(cè)度鏈上的三階動(dòng)力方程

P(t)F(φ(x(δ(t))))=0,t∈2Z,t≥2

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