李 銀，位瑞英

(1. 韶關(guān)學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，廣東 韶關(guān) 512005；2.中山大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院，廣東 廣州 510275)

復(fù)雜系統(tǒng)在保密通信、激光物理、化學(xué)反應(yīng)等領(lǐng)域有巨大應(yīng)用潛力[1-6]。人們不斷發(fā)現(xiàn)新的復(fù)雜系統(tǒng)，研究其分叉、混沌現(xiàn)象、混沌吸引子結(jié)構(gòu)和混沌產(chǎn)生的條件等動(dòng)力特性與控制問(wèn)題．如同步控制、模糊控制、反饋控制等[7-13]。

本文針對(duì)復(fù)雜系統(tǒng)模型的動(dòng)力特性特性作進(jìn)一步探討，利用射影同步控制方法實(shí)現(xiàn)該系統(tǒng)的廣義同步控制，并利用Maple數(shù)值仿真試驗(yàn)，得到有效非線性控制器，驗(yàn)證了其方法的有效性。

1 一類復(fù)雜系統(tǒng)模型及其動(dòng)力特性分析

考慮復(fù)雜系統(tǒng)模型[7]：

(1)

(x,y,z)T∈R3為系統(tǒng)的狀態(tài)變量，當(dāng)選取a=6,c=-4時(shí)，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。

1.1 復(fù)雜動(dòng)力性

系統(tǒng)在變換(x,y,z)→(-x,-y,z)下，對(duì)所有的參數(shù)值保持不變性，具有對(duì)稱性。系統(tǒng)模型振蕩的復(fù)雜性和隨機(jī)性演化時(shí)序圖如圖1。

圖1(a)，(b) ，(c)分別表示初值(x(0),y(0),z(0))=(3,-4,2)時(shí)，x，y和z是隨時(shí)間變化的曲線。 由圖可知，系統(tǒng)變量具有復(fù)雜性和隨機(jī)敏感性。

1.2 耗散性

對(duì)于系統(tǒng)(1)，計(jì)算向量場(chǎng)的散度

故系統(tǒng)(1)是耗散的。體積元V(0)在時(shí)間t時(shí)收縮為體積元V(0)e-10t，當(dāng)t→∞時(shí)，包含系統(tǒng)軌線的每個(gè)小體積元以指數(shù)速率10收縮到0，這就意味著系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為最終趨向于一個(gè)吸引子，該奇怪吸引子形成過(guò)程如圖2。

圖1 復(fù)雜性和隨機(jī)性Fig.1 Complex complexity and randomicity

圖2 系統(tǒng)模型(1)奇怪吸引子形成的漸進(jìn)過(guò)程Fig.2 System model (1) strange attractor formation of gradual process

1.3 李雅普諾夫指數(shù)與分形維數(shù)

2 平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性

定理1 (Routh-Hurwitz定理)特征方程：λI-A=λn+a1λn-1+....+an-1λ+an=0, 其中I∈Rn×n單位矩陣，A為的實(shí)矩陣，若系數(shù)滿足Δi>0(i=1,2,...,n):

那么特征方程的所有特征值都具有負(fù)實(shí)部。

命題1 當(dāng)參數(shù)滿足a=6,c=-4時(shí)，系統(tǒng) (1) 的平衡點(diǎn)O(0,0,0)是不穩(wěn)定的。

證明系統(tǒng)(1) 在平衡點(diǎn)O(0,0,0) 的Jacobi矩陣為

(2)

k1=4, (x,y,z)=(3,-4,2)。 圖 3(a-c)為被控系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為，控制器也可取其它函數(shù)等[6]。

圖3 (a) (x, t) 軌跡；(b) (y, t) 軌跡; (c) (z, t) 軌跡Fig.3 (a) (x, t) orbit;(b)(y, t) orbit; (c) (z, t) orbit

3 系統(tǒng)模型(1)的廣義控制

定理2 若定義1中g(shù)(y)滿足Lipschitz連續(xù)條件，控制器被設(shè)計(jì)

u=M-1f(x)-M-1(A-α)e-

(3)

而α=diag(α1,α2......αn),且滿足min(αi)>(LB+A)，則(1)和(2)廣義同步控制。

證明誤差系統(tǒng)：e(t)=x-My。 由定義1和(3)式知

(A+LB-min(αi))e2

(4)

由于復(fù)雜系統(tǒng)對(duì)初值的敏感性, 即使結(jié)構(gòu)相同的2個(gè)復(fù)雜系統(tǒng), 因初值不同, 運(yùn)動(dòng)軌跡也會(huì)產(chǎn)生很大的差別。以下設(shè)計(jì)并實(shí)現(xiàn)同步控制。系統(tǒng)(1)寫成如下:

(5)

假設(shè)系統(tǒng)(5)為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，構(gòu)造響應(yīng)系統(tǒng)

(6)

u1,u2,u3為所要設(shè)計(jì)的控制器。令e1=x1+α1x2,e2=y1+α2y2,e3=z1+α3z2，得到誤差

(7)

根據(jù)(3)式設(shè)計(jì)如下控制器函數(shù)

將式(8)代入系統(tǒng)(7)，原誤差系統(tǒng)簡(jiǎn)化為

(9)

由圖4知, (a),(b),(c) 展示了ei(i=1,2,3)的變化規(guī)律。圖5為同步曲線。

圖6分別是系統(tǒng)模型同步吸引子與相圖。由圖5-6可知，在極短的時(shí)間內(nèi)實(shí)現(xiàn)了復(fù)雜系統(tǒng)的廣義同步控制，達(dá)到系統(tǒng)變量快速跟蹤。

圖4 誤差狀態(tài)：(a) e1=x1+α1x2；(b) e2=y1+α2y2; (c)e3=z1+α3z2Fig.4 The error states: (a)e1=x1+α1x2; (b) e2=y1+α2y2(c)e3=z1+α3z2

圖5 跟蹤狀態(tài)：(a) 紅x1與 藍(lán)α1x2(b) 紅y1與 藍(lán)α2y2; (c) 紅z1與 藍(lán)α3z2Fig.5 Tracking states: (a) the redx1and the blue α1x2;(b)the redy1 and the blue α2y2; (c) the redz1 and the blue α3z2

圖6 混沌吸引子和相圖(紅驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，藍(lán)響應(yīng)系統(tǒng))(a)(x,y,z)空間，(b) x-y平面; (c) x-z平面; (d) y-z平面Fig.6 Chaotic attractor and phase figure (the red is the drive, the blue is the response)(a) (x,y,z)space; (b) (x,y) phase; (c) (x,z) phase; (d) (y,z) phase

4 結(jié) 語(yǔ)

本文將數(shù)值計(jì)算、穩(wěn)定性分析及非線性控制三者相結(jié)合，分析了一類復(fù)雜系統(tǒng)的動(dòng)力特性。基于穩(wěn)定性和控制理論，給出一類新控制器，實(shí)現(xiàn)了該模型的全局控制，而且實(shí)現(xiàn)同步的時(shí)間比較短，是實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)模型控制的有效方法。

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