郭月強(qiáng)，陳建春，王永軍

(西安電子科技大學(xué) 電子工程學(xué)院，陜西 西安710071)

波達(dá)方向估計(jì)(DOA)是陣列信號(hào)處理中的重要研究?jī)?nèi)容之一，在雷達(dá)、聲納、通信等領(lǐng)域均得到了廣泛應(yīng)用。自20世紀(jì)60年代起，研究者們提出了多種有效的DOA估計(jì)算法，主要有Capon最小方差法以及Schimidt等提出的以多重信號(hào)分類(lèi)(MUSIC)算法為代表的子空間類(lèi)算法。近年來(lái)，由Donoho等人提出的壓縮感知(Compress Sensing，CS)理論［1－2］受到了關(guān)注，已被廣泛應(yīng)用于圖像處理、通信等領(lǐng)域［3－4］。壓縮感知理論指出若信號(hào)是可壓縮的或稀疏的，則可利用遠(yuǎn)低于奈奎斯特頻率的采樣速率對(duì)信號(hào)進(jìn)行采樣，通過(guò)求解一個(gè)l1最小范數(shù)優(yōu)化問(wèn)題，以較高的概率精確重構(gòu)原信號(hào)［5］。實(shí)際中空域感興趣的目標(biāo)信號(hào)只占據(jù)少量的角度分辨單元，相對(duì)于整個(gè)空間而言目標(biāo)在空域內(nèi)是稀疏的，因此壓縮感知［6］理論在DOA估計(jì)中也得到了廣泛研究。針對(duì)以上問(wèn)題，文中提出一種新的基于奇異值分解的多矢量欠定系統(tǒng)聚焦求解算法(SVDMFOCUSS)，實(shí)現(xiàn)了DOA高分辨估計(jì)。

1 壓縮感知理論

1.1 信號(hào)稀疏性表示

CS理論成立的前提是信號(hào)為稀疏或可壓縮的［7－8］。為簡(jiǎn)化模型，以便更清楚地描述信號(hào)的稀疏表示問(wèn)題，僅考慮長(zhǎng)度為N的實(shí)信號(hào)x，且有x=［x1，x2，…，xN］T。根據(jù)矩陣?yán)碚摽芍?，x可用一組正交基Ψ=［Ψ1，Ψ2，…，ΨM］的線性組合表示，設(shè)對(duì)應(yīng)的系數(shù)為si，i=1，2，…，N，則有

式中，si=＜x，Ψi＞，s與x為N維列向量，Ψ為N×N維矩陣。若信號(hào)x在基Ψ下僅有K(K?N)個(gè)非零或遠(yuǎn)大于零的系數(shù)時(shí)，則稱信號(hào)x為基Ψ上的稀疏信號(hào)。

1.2 投影測(cè)量矩陣設(shè)計(jì)

在CS理論中，通過(guò)變換得到信號(hào)的稀疏系數(shù)s=Ψ－1x后，需設(shè)計(jì)一個(gè)投影測(cè)量矩陣Φ。Φ必須保證:對(duì)信號(hào)x在該投影測(cè)量矩陣上進(jìn)行投影得到M個(gè)投影測(cè)量值，且該M個(gè)測(cè)量值含有信號(hào)x大部分的信息，從而可使用少量的投影測(cè)量數(shù)據(jù)精確地重構(gòu)信號(hào)x。

在壓縮感知測(cè)量模型中，并不是對(duì)稀疏信號(hào)x本身進(jìn)行直接采樣，而是將x映射到投影測(cè)量基Φ=［φ1，φ2，…，φM］T上，得到投影測(cè)量值ym=＜x，φm＞，m=1，2，…，M。用矩陣形式表示為

其中，φm為N維列向量;y為M維列向量;Θ為M×N(M?N)維矩陣;Φ稱為感知矩陣或測(cè)量矩陣。目前，可用于壓縮感知的測(cè)量矩陣主要有高斯隨機(jī)矩陣和二值隨機(jī)矩陣。

對(duì)于多快拍接收數(shù)據(jù)情況，設(shè)陣列接收快拍數(shù)為N，第i次快拍接收的信號(hào)矢量為yi，稀疏系數(shù)矢量為si，噪聲矢量為ni，且服從正態(tài)分布，即ni～N(0，σ2I)，由式(2)可得

其中，Y=［y1，y2，…，yN］，S=［s1，s2，…，sN］，N=［n1，n2，…，nN］。

1.3 稀疏信號(hào)重構(gòu)算法

稀疏信號(hào)重構(gòu)是從少量的觀測(cè)數(shù)據(jù)中重構(gòu)原始信號(hào)，即從長(zhǎng)度為M的觀測(cè)數(shù)據(jù)中重構(gòu)長(zhǎng)度為N(M?N)的原始信號(hào)。在信號(hào)重構(gòu)過(guò)程中，由于觀測(cè)數(shù)據(jù)長(zhǎng)度M遠(yuǎn)小于信號(hào)的長(zhǎng)度N，因此必須要面對(duì)求解欠定方程(2)的情況。理論上，最簡(jiǎn)單的方法是求解l0最小化范數(shù)問(wèn)題

式(4)所示為s的l0范數(shù)問(wèn)題，實(shí)際上是求解向量s中非零元素的個(gè)數(shù)。l0最小化范數(shù)問(wèn)題從理論上看是最優(yōu)的，但在實(shí)際中卻難以實(shí)現(xiàn)，是一個(gè)NP難問(wèn)題。

文獻(xiàn)［9］指出，求解一個(gè)更簡(jiǎn)單的l1最優(yōu)化問(wèn)題可以產(chǎn)生與l0最優(yōu)化問(wèn)題等價(jià)的解

式(5)所示為s的l1范數(shù)問(wèn)題，式(5)與式(4)只有很小的不同，但卻使得問(wèn)題變成了求解一個(gè)凸優(yōu)化問(wèn)題，可簡(jiǎn)化為線性規(guī)劃問(wèn)題。求解該優(yōu)化問(wèn)題的典型算法有:基追蹤(BP)算法、正交匹配追蹤(OMP)算法及多矢量欠定系統(tǒng)聚焦求解(MFOCUSS)算法等。

2 SVD－MFOCUSS算法

2.1 稀疏信號(hào)模型的降維表示

將式(3)的陣列接收數(shù)據(jù)矩陣Y用SVD分解表示為

對(duì)式(6)保留一個(gè)降維后的M×K維矩陣YSV，YSV保留了信號(hào)大部分的能量，且有

式中，DK=［IK，0］T，IK為K×K維單位矩陣;0為K×(T－K)維零矩陣。令SSV=SVDK和NSV=NVDK，則

比較式(3)和式(8)可知，陣列接收數(shù)據(jù)矩陣由M×NL維降低至M×K維，實(shí)際情況中，有K?NL，因此通過(guò)求解式(8)進(jìn)行DOA估計(jì)比直接求解式(3)運(yùn)算量顯著降低。此外，SVD分解本質(zhì)上是一個(gè)信號(hào)分量累積的過(guò)程，這使得在低信噪比情況下也可采用稀疏重構(gòu)算法進(jìn)行有效的DOA估計(jì)。

2.2 稀疏信號(hào)模型優(yōu)化求解

實(shí)際中目標(biāo)信號(hào)在空域是稀疏的，在n個(gè)快拍期間，目標(biāo)信號(hào)未跨角度單元移動(dòng)，即在式(3)中有，，si與sj(i≠j)的非零元素位置相同，故S中僅有K行非0，其余的M－K行為0，所以S為行稀疏矩陣。由于SSV=SVDK的右乘矩陣為陣列初等變換，故SSV與S具有相同的系數(shù)特征。類(lèi)似于信號(hào)矢量稀疏性的描述，稀疏矩陣行的稀疏特性可用其非零行的個(gè)數(shù)描述，即

因此，用MFOCUSS算法對(duì)稀疏問(wèn)題(8)中的SSV進(jìn)行估計(jì)，得到SVD－MFOCUSS算法的譜估計(jì)公式為

3 仿真實(shí)驗(yàn)分析

實(shí)驗(yàn)1考察兩個(gè)相鄰的非相干信號(hào)DOA估計(jì)情況，信號(hào)的入射角度分別為20°、22°，陣元數(shù)為8，陣列接收快拍數(shù)為200，信噪比為10 dB。圖1為Beamforming算法、Capon算法、MUSIC的算法和SVD－MFOCUSS算法的空間頻譜對(duì)比。由圖1可看出SVD－MFOCUSS算法能有效分辨鄰近目標(biāo)信號(hào)，而B(niǎo)eamforming算法、Capon算法及MUSIC算法無(wú)法分辨這兩種鄰近目標(biāo)，即說(shuō)明SVD－MFOCUSS算法具有更高的角度分辨力。

圖1 相鄰非相干信號(hào)的空間譜估計(jì)

實(shí)驗(yàn)2比較各算法在不同信噪比情況下的DOA估計(jì)性能，信號(hào)入射角度分別為20°、30°，陣元數(shù)為8，陣列接收快拍數(shù)為200，信噪比分別為－10 dB和20 dB。圖2為各算法在－10 dB時(shí)的空間譜估計(jì)對(duì)比。圖3為各算法在20 dB時(shí)的空間譜估計(jì)對(duì)比。對(duì)比圖3和圖4可看出，在20 dB情況下，Capon算法、MUSIC算法和SVD－MFOCUSS算法可分辨兩類(lèi)信號(hào)，而B(niǎo)eamforming算法融合了兩個(gè)譜峰;而在－10 dB情況下，唯有SVD－MFOCUSS算法和MUSIC算法可分辨兩個(gè)信號(hào)，而B(niǎo)eamforming算法和Capon算法都融合了兩個(gè)譜峰。由此說(shuō)明SVD－MFOCUSS算法在低信噪比情況下同樣具有良好的DOA估計(jì)性能。

圖2 －10 dB時(shí)的非相干信號(hào)空間譜估計(jì)

圖3 20 dB時(shí)的非相干信號(hào)空間譜估計(jì)

實(shí)驗(yàn)3考察相干信號(hào)的DOA估計(jì)情況，信號(hào)入射角度分別是20°、20°，陣元數(shù)為8，陣列接收快拍數(shù)為200，信噪比為20 dB。比較圖4和圖5可看出，在非相干信號(hào)情況下，Capon算法、MUSIC算法和SVDMFOCUSS算法可分辨出兩個(gè)信號(hào);在相干信號(hào)情況下，SVD－MFOCUSS算法任然可精確分辨出兩類(lèi)信號(hào)，而其他算法的DOA估計(jì)性能明顯下降。

圖4 非相干信號(hào)空間譜估計(jì)

圖5 相干信號(hào)空間譜估計(jì)

4 結(jié)束語(yǔ)

提出一種新的基于CS的DOA估計(jì)算法，SVDMFOCUSS算法本質(zhì)上是采用奇異值分解進(jìn)行信號(hào)降維及能量積累，改善了傳統(tǒng)稀疏信號(hào)恢復(fù)算法的應(yīng)用范圍，可在低信噪比情況下使用，且明顯降低了計(jì)算量;同傳統(tǒng)的DOA估計(jì)算法相比，SVD－MFOCUSS算法能對(duì)任意相干信號(hào)進(jìn)行高分辨DOA估計(jì)，且具有良好的估計(jì)性能。

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