褚寶增　趙俊芳　廉海榮　耿鳳杰

[摘要]同一個定理中含兩種情況時，或不同的相似定理間，在證明過程中對后者往往使用“同理可證”一語代過。多數證明是明顯的同理可證，然也存在一些證明并不是簡單的同理，需要做一定的先期變換方可。教師在備課時應當有所準備。

[關鍵詞]定理證明 同理可證 教師備課

一、同理可證的概念

在數學教學過程中的“同理可證”，對于多年在教學一線的教師而言，確實“同理”即“可證”，對于剛剛接觸到新的學習內容的學生而言，覺得“同理”未必“可證”。如何避免課堂教學過程當中學生提問的突然性，就要求教師在課堂教學前對“同理可證”做充分的教學準備。

“同理可證”是數學定理證明中時常使用的手段，其具有易于閱讀、過程簡潔的特點。從數學理論上說，證明命題A與證明命題B同理是指：證明命題A與證明命題B或者用了相同的定理，或者用了相同的方法[1]。

“同理可證”的使用，必須注意同理的對應范圍，且“同理”得出的結論必須是明顯的，如果過程復雜，不建議用“同理可證”。特別是具有對稱性時，最應選擇“同理可證”。

二、直接的同理可證

例如在《高等數學》中，關于極限保號性的定理，就應該用“同理可證”的手段[2]。

定理（局部保號性） 若 （或<0），

則對任意正數r（0

使得對一切x∈N ，恒有地f（x）>r>0（或f（x）<-r<0）。

證明：當A>0時，取ε=A-r>0，由函數極限的定義，存在正數δ，使得對一切 x∈N 有|f（x）-A|

即0

所以 f（x）>r>0

當A<0時，此處適合使用“同理可證”?！巴怼边^程如下：

取ε=-A-r>0，由函數極限的定義，存在正數δ，

使得對一切x∈N 有|f（x）-A|

即2A+r=A-（-A-r）

所以f（x）<-r<0

從上面這個例子可以看出，除了極少數細節(jié)外，其證明過程幾乎完全一樣[3]。

三、需要調整后的同理可證

例如在《積分變換》中，關于Fourier變換的卷積定理，就無法直接用“同理可證”的手段[4]。

定理 設函數f1（x）和f2（x）都滿足Fourier積分定理的條件，則

① （1）

② （2）

證明①：有定義

交換積分次序得

在內層積分中令x-η=y，則

于是

在證明定理中結論②時，顯然不是直接的“同理可證”。因為定理結論①中等號左邊中括號里是“卷積”，而定理結論②中等號左邊中括號里是“乘積”，意義完全不同。為了解決教材中的“同理可證”，需對定理的結論②做如下處理：

要證明（2）式，即須等價證明

即

亦即

（3）

此時的（3）式與（1）式差別只在F與F-1、1與2π兩點了，由此再結合Fourier逆變換的定義

（3）式與（1）式“同理可證”才稱順理成章了。

總之，對帶有隱蔽性的“同理可證”，教師必須加以小心并課前充分準備。

[參考文獻]

[1]印鑒，李師賢.一種基于事例推理的檢索模型[J].中山大學學報（自然科學版），1999，2：1-10.

[2]褚寶增，陳兆斗.高等數學（上冊）[M].北京：北京大學出版社，2008年8月.

[3] 趙明方.Max（f，g）與Min（f，g）的若干性質及其應用[J].四川師院學報（自然科學版），1981，3：12-16.

[4] 張元林.積分變換[M].北京：高等教育出版社，2003年12月.

（作者單位：中國地質大學（北京）數理學院 北京）