龐平飛

在上海的初中數(shù)學(xué)教材中，有些與全國的初中數(shù)學(xué)教材出入很大，有些真命題它不能直接作為定理使用，如上海教育出版社出版的九年義務(wù)教育課本八年級第一學(xué)期（適用本）舉例證明例11的證明題，是證等腰三角形的三線合一定理的逆命題的。

已知：如圖1，D是BC上的一點(diǎn)，且BD=CD，∠1=∠2。

求證：AB=AC。

錯解一：學(xué)生錯誤地把三線合一的逆命題當(dāng)作定理使用，直接寫出AB=AC的結(jié)論。其實(shí)上海版的教材中沒有此項(xiàng)逆定理。

錯解二：學(xué)生利用兩邊及其中一邊的對角對應(yīng)相等的兩個三角形全等，實(shí)際上錯誤地利用邊邊角來證明。

在教學(xué)過程中，學(xué)生的分析能力不強(qiáng)，不清楚缺少什么條件，在平時的教學(xué)中可以引導(dǎo)他們思考：“缺少什么條件”，從哪里尋找這些條件，可以構(gòu)造什么圖形，然后有意識地尋找證明思路。這里有兩個已知條件，角平分線和中線，利用中線來添輔助線，碰到中線加倍延長中線。把三角形的中線延長倍長是常用的輔助線添加方法。相當(dāng)于把三角形旋轉(zhuǎn)180°挖掘圖形之間的聯(lián)系。構(gòu)造出不同的圖形，證明思路方法略有不同，這是幾何的微妙之處。下面通過對其多種解法的探究，我們不僅能體會到添加輔助線的重要性，還能從中感悟到添輔導(dǎo)線的規(guī)律，這些對于積累解題經(jīng)驗(yàn)、提高解題技能是十分有益的。

方法一：如圖2，延長AD到點(diǎn)E，使DE=AD，連接EC.由DE=AD，BD=DC， ∠ADB=∠CDE，知△ABD≌△ECD， 可得AB=EC，∠1=∠3，知∠3=∠2.由∠3=∠2，可知AC=EC，所以AB=AC.

碰到中線還想到中位線定理。

方法四：在平行四邊形中，也存在線段的相等關(guān)系，因此構(gòu)造平行四邊形，再利用平行四邊形的性質(zhì)解題。如圖5，過點(diǎn)D作DE∥AB交AC于點(diǎn)E，過點(diǎn)A作AF∥CB交DE 的延長線于點(diǎn)F，連接CF，知四邊形ABDF是平行四邊形，知AB=DF.因?yàn)辄c(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，知四邊形DCFA是平行四邊形，知DE =EF，EC=AE，方法二已證AE=DE，可知DF=AC，所以AB=AC=DF.

方法五：在方法四的基礎(chǔ)上，如果不利用平行四邊形的性質(zhì)，可利用全等三角形的性質(zhì)。如圖5，過點(diǎn)D作DE∥AB交AC于點(diǎn)E，過點(diǎn)A作AF∥CB交DE 的延長線于點(diǎn)F， 知四邊形ABDF是平行四邊形

因此在平時的教學(xué)中，作為教師，應(yīng)該培養(yǎng)我們的學(xué)生一題多解能力，有意識地發(fā)展學(xué)生的思維訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，真正提高學(xué)生的解題能力。