劉 喆，陶鳳和，賈長治

（軍械工程學(xué)院，河北 石家莊 050003）

0 引 言

武器裝備是作為一個(gè)整體系統(tǒng)在戰(zhàn)場上使用的，需要經(jīng)?？紤]它整體系統(tǒng)的可靠性指標(biāo)。由于實(shí)驗(yàn)條件的限制，只能假設(shè)裝備各個(gè)構(gòu)件是相互獨(dú)立的，從而對這些構(gòu)件單獨(dú)進(jìn)行試驗(yàn)，根據(jù)獨(dú)立性假設(shè)計(jì)算獲得系統(tǒng)的可靠性。

在裝備的實(shí)際使用過程中，周圍的環(huán)境因素、使用工況等同時(shí)作用于裝備整體，這必將造成零部件的可靠性有共同的發(fā)展趨勢，即各部件有著一定的相關(guān)性，此時(shí)仍采用獨(dú)立性假設(shè)是不合適的；因此，如何根據(jù)裝備各構(gòu)件獨(dú)立的可靠性試驗(yàn)數(shù)據(jù)得出具有相關(guān)性的串聯(lián)機(jī)械系統(tǒng)的可靠性，是本文研究的目的。

在現(xiàn)代的可靠性研究中，一種常用手段是隨機(jī)模擬的方法，然而該方法對算法、建模精度、模擬次數(shù)等要求較高，同時(shí)由于抽樣方法的不同，有可能導(dǎo)致偏差較大。隨機(jī)向量的聯(lián)合分布函數(shù)是刻畫隨機(jī)向量概率性質(zhì)的重要工具之一，它包含了兩方面的信息：一是變量的邊緣分布信息，另一個(gè)是變量間相關(guān)結(jié)構(gòu)的信息。邊緣分布信息相對容易獲得，即對部件單獨(dú)進(jìn)行試驗(yàn)可以得到部件的邊緣分布，但是變量間相關(guān)結(jié)構(gòu)的信息很難獲取。如果能夠在聯(lián)合分布函數(shù)中除去邊緣分布的信息，那么就僅剩下了相關(guān)結(jié)構(gòu)的信息。同時(shí)，如果引入Copula函數(shù)來構(gòu)造多元隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)，將有利于解決相關(guān)部件的系統(tǒng)可靠度求解的問題。

1 Copula函數(shù)的定義和基本性質(zhì)

1959年Sklar[1]最早提出Copula的概念：Copula是由一維隨機(jī)變量的概率積分變換引入的。對于一維的連續(xù)型隨機(jī)變量x，如其有分布函數(shù)F（x），由概率積分變換得到的 F（x）是服從[0，1]上的均勻分布，則一個(gè)二維Copula是滿足以下條件的一個(gè)函數(shù)：

Sklar通過定理[2]說明，若X、Y是具有聯(lián)合分布函數(shù)H（x，y）的隨機(jī)變量且邊緣分布函數(shù)分別是F（x），G（y），則對所有的 x、y存在唯一的與之對應(yīng)的Copula 使：H（x，y）=C（F（x），G（y））。Copula 將 X、Y的聯(lián)合分布函數(shù)H（x，y）與其邊緣分布函數(shù)聯(lián)系起來，展現(xiàn)了聯(lián)合分布函數(shù)由它們的邊緣分布函數(shù)生成的變化特性。許多實(shí)際應(yīng)用中經(jīng)常關(guān)心隨機(jī)變量的壽命問題，如在可靠性理論中討論了串聯(lián)系統(tǒng)的壽命，而且為了方便引入了可靠度函數(shù)R（x）=P（X≥x）==1-F（x），對于具有聯(lián)合分布函數(shù) H（x，y）的二維隨機(jī)變量（X，Y）也有可靠度函數(shù)R（x，y）=P（X≥x，Y≥y），Nelsen 等人提出與之對應(yīng)的生存Copula——（u，ν）=u+ν-1+C（1-u，1-ν），C（1-u，1-ν）表示 P（X≥x，Y≥y）。

研究兩個(gè)隨機(jī)變量的相依性是Copula的一個(gè)重要應(yīng)用，l966年Lehmann引出了正相依和負(fù)相依的概念[3]。設(shè)X1，…，Xn是具有聯(lián)合分布函數(shù)H（x1，…，xn）的隨機(jī)變量，且分別有連續(xù)的邊緣分布F1，…，F(xiàn)n以及 Copula，若對所有的 Rn中的（x1，…，xn），有 H（x1，…，xn）≥F（x1）F（x2）…F（xn），則 X1，X2，…，Xn是正相依的，簡記為 PDQ（X，Y）。

在可靠性理論中，對系統(tǒng)壽命的研究只限于各個(gè)部件獨(dú)立的情況，在本文中將討論部件之間不相互獨(dú)立的時(shí)候系統(tǒng)的可靠度，把系統(tǒng)壽命的問題和Copula函數(shù)聯(lián)系了起來，通過Copula的性質(zhì)來探討系統(tǒng)壽命的一些變化[4]。

2 部件相依的串聯(lián)系統(tǒng)可靠性分析

機(jī)械系統(tǒng)中，可靠度函數(shù)的隨機(jī)變量常常具有真實(shí)的物理意義，如：時(shí)間、循環(huán)數(shù)、行駛里程等。為便于表述，本文在分析中統(tǒng)稱為壽命。

設(shè)某裝備由n個(gè)構(gòu)件組成，構(gòu)件的壽命是隨機(jī)變量 T=（T1，T2，…，Tn），具有聯(lián)合分布函數(shù)為 H（t）=P（T1＜t，T2＜t，…，Tn＜t），且分別具有邊緣分布函數(shù)（即失效函數(shù)，可由試驗(yàn)獲取）為Fi（t），i=1，…，n，Copula函數(shù)為C，生存Copula函數(shù)為C^，則可得

各構(gòu)件的可靠度函數(shù)為Ri（t）=1-Fi（t），系統(tǒng)的可靠度函數(shù)為 R（t）。

2.1 串聯(lián)系統(tǒng)

系統(tǒng)中只要有一個(gè)構(gòu)件發(fā)生故障，系統(tǒng)就發(fā)生故障，這種系統(tǒng)稱為串聯(lián)系統(tǒng)。串聯(lián)系統(tǒng)的可靠性框圖如圖1所示。

圖1 串聯(lián)系統(tǒng)可靠性框圖

系統(tǒng)各構(gòu)件串聯(lián)時(shí)，系統(tǒng)的壽命為各構(gòu)件中壽命最小的，即 T=min（T1，T2，…，Tn），則系統(tǒng)的可靠度可表示為

式（2）表示系統(tǒng)可靠度可由生存Copula函數(shù)求出。需要說明的是，對于多維的情況，生存CopulaC^不一定是Copula函數(shù)。

（1）當(dāng)各構(gòu)件獨(dú)立時(shí)，根據(jù)隨機(jī)變量獨(dú)立的性質(zhì)

即各構(gòu)件獨(dú)立系統(tǒng)的可靠度等于系統(tǒng)中所有構(gòu)件可靠度的乘積[5]。

（2）當(dāng)各構(gòu)件完全相關(guān)時(shí)，根據(jù)最薄弱環(huán)節(jié)理論，即認(rèn)為構(gòu)件可靠度函數(shù)是完全相關(guān)的兩兩線性關(guān)系此時(shí)系統(tǒng)可靠度等于系統(tǒng)中可靠度最小的構(gòu)件的可靠度[6]。

（3）當(dāng)各構(gòu)件部分相關(guān)時(shí)，根據(jù)論文對生存Copula C^的介紹，可以通過構(gòu)造函數(shù)找到滿足Copula函數(shù)定義的C^，該方法簡單易用，是計(jì)算時(shí)的首選，但是在構(gòu)造Copula函數(shù)時(shí)會(huì)受到一定限制。作為一般情況，下面給出2種通用方法。

1）根據(jù)串聯(lián)系統(tǒng)的定義可知，系統(tǒng)中任意一個(gè)構(gòu)件失效系統(tǒng)就失效，即系統(tǒng)的失效率相當(dāng)于各構(gòu)件發(fā)生失效事件的集合的并集，因此可以把式（2）做如下變換

根據(jù) Copula 函數(shù)的性質(zhì)：C（1，…，1，ui，1，…，1）=ui，式（5）變?yōu)?/p>

當(dāng)系統(tǒng)構(gòu)件較多，即維數(shù)n較大時(shí)，式（6）中的Copula函數(shù)C構(gòu)成復(fù)雜，編程難度和計(jì)算量較大，為解決該問題，本文采用下述方法處理高維問題。

2）如圖1所示，首先把構(gòu)件1、2作為一個(gè)子系統(tǒng)，求該子系統(tǒng)的可靠度函數(shù)，然后該子系統(tǒng)與構(gòu)件3組成一個(gè)子系統(tǒng)，求該子系統(tǒng)的可靠度函數(shù)，如此循環(huán)求解直至得到可靠度函數(shù)

步驟如下

該方法在計(jì)算中始終只處理二維問題，C與C^的關(guān)系可由式（2）表示，計(jì)算量小、便于編程，但是運(yùn)算過程中各步出現(xiàn)的Copula函數(shù)不相同，考慮到簡化計(jì)算，可以把整體Copula函數(shù)的二維形式作為統(tǒng)一的Copula函數(shù)進(jìn)行運(yùn)算。

（4）串聯(lián)系統(tǒng)可靠度的界

即各構(gòu)件完全相關(guān)時(shí)的可靠度大于各構(gòu)件獨(dú)立時(shí)的系統(tǒng)可靠度。

在機(jī)械系統(tǒng)中，由于各構(gòu)件之間承受共同載荷沖擊、共同的外部工作環(huán)境等原因，多表現(xiàn)為正相關(guān)性，即在一定應(yīng)力作用下，一個(gè)構(gòu)件的強(qiáng)度會(huì)隨著另一構(gòu)件強(qiáng)度的衰減而衰減[8]。當(dāng)各構(gòu)件完全相關(guān)時(shí)，系統(tǒng)具有最高的一致性；當(dāng)各構(gòu)件獨(dú)立時(shí)，系統(tǒng)具有最大的隨機(jī)性。對于串聯(lián)系統(tǒng)而言，一致性好對系統(tǒng)有利，因此當(dāng)各構(gòu)件完全相關(guān)時(shí)可靠度最大，當(dāng)各構(gòu)件獨(dú)立時(shí)可靠度最小，則式（8）成立

2.2 計(jì)算分析

某型車輛行走系統(tǒng)的扭力軸系統(tǒng)由12根扭力軸組成，對整個(gè)車輛系統(tǒng)起到支撐和減震的作用，該系統(tǒng)是12維的串聯(lián)系統(tǒng)。

在行駛過程中，每根扭力軸依次駛過相同的路面，由于車輛對松軟地面的壓實(shí)作用及車輛前部對所受沖擊的吸收作用，各扭力軸的行駛工況表現(xiàn)為近似相同，但工況分布又呈現(xiàn)出從前至后惡劣程度逐漸減弱的特點(diǎn)，也就是說各扭力軸表現(xiàn)為部分相關(guān)。

在G級路面2擋車速工況下，單個(gè)扭力軸的可靠度函數(shù)為

Gumbel Copula函數(shù)廣泛應(yīng)用于多元聯(lián)合生存函數(shù)的構(gòu)造問題，由于生存函數(shù)和可靠度函數(shù)在數(shù)學(xué)上具有一致性，因而這類分布同樣也適用于聯(lián)合可靠度函數(shù)的構(gòu)造。且該Copula族屬于Archimedean Copula的范疇，構(gòu)造簡單；因此，選取Gumbel Copula函數(shù)作為可靠度Copula函數(shù)，Gumbel Copula聯(lián)合分布函數(shù)的表達(dá)式為

式中：α∈（0，1]。

可以驗(yàn)證，當(dāng)α=1時(shí)隨機(jī)變量獨(dú)立，當(dāng)α減小時(shí)隨機(jī)變量的相關(guān)性加強(qiáng)，當(dāng)α→0時(shí)，隨機(jī)變量趨向于完全相關(guān)。參數(shù)α可以由極大似然法進(jìn)行估計(jì)。但是由于扭力軸的試驗(yàn)數(shù)據(jù)較少，因此論文參考其他機(jī)械可靠性的數(shù)據(jù)給出α=0.2的估計(jì)值。

根據(jù)串聯(lián)系統(tǒng)可靠度的第2）種算法，經(jīng)編程，扭力軸系統(tǒng)在G級路面2擋車速工況下的行駛里程與存活概率的關(guān)系圖如圖2所示。

圖2 G級路面2擋工況扭力軸系統(tǒng)行駛里程與存活概率的關(guān)系圖

從圖2可以得到，自行火炮在G級路面2擋車速工況下，存活概率等于99%時(shí)，扭力軸系統(tǒng)可以行駛1 470 km；當(dāng)存活概率為90%時(shí)，可以行駛3 745km?？梢娪捎诟髋ちS之間具有一定的相關(guān)性，采用獨(dú)立性假設(shè)計(jì)算系統(tǒng)可靠度會(huì)造成比較大的誤差。

3 結(jié)束語

本文介紹了Copula函數(shù)的定義和相關(guān)性質(zhì)，并給出了由Copula函數(shù)來構(gòu)造多隨機(jī)變量聯(lián)合分布函數(shù)的方法?；谠摾碚搶Υ?lián)系統(tǒng)進(jìn)行了詳細(xì)的分析，提出一種計(jì)算部件相關(guān)的串聯(lián)系統(tǒng)的系統(tǒng)可靠性方法。該方法考慮了系統(tǒng)中各部件的相關(guān)性，使得系統(tǒng)可靠度的計(jì)算結(jié)果更為合理，為評估裝備系統(tǒng)的可靠性提供了一種新方法。

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