唐洵

編者注：從近三年的高考試題來看，解三角形問題是高考的熱點，也是得分點，主要考查利用正弦定理、余弦定理解決一些簡單的三角形的度量問題，常與三角恒等變換以及向量等知識點結(jié)合起來命題，重點考查考生的計算能力以及應(yīng)用數(shù)學(xué)知識分析和解決問題的能力。

考點一：利用正弦定理、余弦定理解三角形

定理名稱正弦定理余弦定理

表達式

適用題型已知兩邊和其中一邊的對角；已知兩角和一邊

已知三邊；

已知兩邊和一角

注：表中的R是△ABC的外接圓的半徑。已知兩邊和其中一邊的對角問題，既可以使用正弦定理進行求解，也可以使用余弦定理進行求解，一般情況下優(yōu)先選擇利用正弦定理求解。

點評：已知三角形的兩邊和其中一邊的對角，可以利用正弦定理求其他的角或邊，但要注意利用“大邊對大角”的原理對角的情況進行判斷，這類問題往往有一解、兩解或無解三種情況；也可以根據(jù)給出的角，使用余弦定理，列出關(guān)于剩下的一條邊的一元二次方程進行求解，此時要注意三角形邊長的取值的限制。

例2已知△ABC的三邊的長度成公比為2的等比數(shù)列，則其最大角的余弦值為。

解析：設(shè)最短邊的長度為m。根據(jù)等比數(shù)列的定義，可知其余兩邊的長度分別為2m、2m。

磁場是客觀存在的物質(zhì)。磁場雖然看不見、摸不著，但我們可以根據(jù)磁場的基本性質(zhì)來判斷它的存在。

考點二：三角形形狀的判定

1.判斷三角形的形狀，必須以三角形的“邊角關(guān)系”為核心進行思考。

2.若題設(shè)中含有邊角混合的條件，則可以使用正弦定理或余弦定理實現(xiàn)邊角互化。

3.一般情況下，這類問題主要判斷三角形是否為正三角形、等腰三角形、直角三角形、鈍角三角形或銳角三角形等。

點評：判斷三角形的形狀，有兩條途徑：

（1）消角看邊，即利用正弦定理或余弦定理，將題設(shè)條件轉(zhuǎn)化為三角形的邊與邊之間的關(guān)系式，然后化簡此關(guān)系式，進而判斷三角形的形狀，此類方法注重邊之間關(guān)系的化簡，要求有一定的化簡能力以及運算能力；

（2）消邊看角，即利用正弦定理或余弦定理，將題設(shè)條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于內(nèi)角的三角函數(shù)式，通過三角恒等變換，得到三角形的內(nèi)角滿足的關(guān)系式，進而判斷三角形的形狀，此時要注意應(yīng)用A+B+C=π這個結(jié)論，此類方法注重角之間關(guān)系的變化，要求有一定的轉(zhuǎn)化與化歸能力。

在磁場中放入磁體，只是研究磁場的一種手段，不會因為不放磁體，就使原有的磁場不存在，而只是它的基本性質(zhì)沒有表現(xiàn)出來。

考點四：正弦定理和余弦定理的應(yīng)用

以生活為背景考查解三角形的實際應(yīng)用能力是高考一個重要的出題方向，此類問題一般有三類題型，分別是距離問題、高度問題、角度問題。在處理此類問題時，應(yīng)當找準幾何圖形，注入基本量，把測量目標納入一個可解的三角形中，進而將實際問題轉(zhuǎn)化為解三角形問題進行處理。

圖1

（責(zé)任編輯袁偉剛）