劉斌

在初中數(shù)學(xué)中，“幾何計算”的意義和作用是非常重大的.

第一，幾何圖形的大小、形狀及位置關(guān)系，需要運用相關(guān)的數(shù)量來表示，無疑地就會涉及到幾何量的計算；

第二，當(dāng)我們注重研究圖形的動點問題、圖形的變換及運動問題，在坐標(biāo)系里研究圖形的一些問題時，就愈是不可避免地要借助幾何量的計算；

第三，那些基于實際而模型化為幾何圖形的應(yīng)用類問題，更是必須依靠幾何量的計算來解決.

因此，新時期的幾何學(xué)習(xí)，計算的份量加大了，層次提高了，掌握幾何計算的基本方法顯得尤為重要.

其實，初中幾何計算主要有兩大“綠色通道”，下面舉例說明.

一、善于用解直角三角形的方法完成幾何計算

例1：如圖1，點A、B、C分別是⊙O上的點，∠B=60°，AC=3，CD是⊙O的直徑，P是CD延長線上的一點，且AP=AC.

（1）求證：AP是⊙O的切線；（2）求PD的長.

分析（1），首先連結(jié)OA，利用圓周角定理，即可求得∠AOC的度數(shù)，利用等邊對等角求得∠PAO=90°，則可證得AP是⊙O的切線.

分析（2）易得∠DAC=90°，然后利用三角函數(shù)與等腰三角形的判定定理，即可求得PD的長.

（1）證明：如圖1，連結(jié)OA，

∵∠B=60°，

∴∠AOC=2∠B=120°.

又∵OA=OC，

∴∠ACP=∠CAO=30°.

∴∠AOP=60°.

又∵AC=AP，

∴∠P=∠ACP=30°.

∴∠OAP=90°.

∴OA⊥AP，故AP是⊙O的切線.

（2）如圖1，連結(jié)AD，

∵CD是⊙O的直徑，

∴∠CAD=90°.

點評：通過上例可以看出，凡涉及到幾何圖形中量的計算時，應(yīng)當(dāng)首先考慮借助于解直角三角形，而在這種情況下，就需要恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造出相應(yīng)的直角三角形.

例2：如圖2，四邊形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，若四邊ABCD的面積

點評：從這個例子可以看出，在圖形比較復(fù)雜時為了在直角三角形中完成計算，需要依據(jù)題目的條件及圖形的其他特征通過有關(guān)的性質(zhì)及定理，把一些數(shù)值和數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化到這個直角三角形中去，因此，這樣的計算也必須以熟練地掌握幾何圖形的基本性質(zhì)為基礎(chǔ).

二、掌握好用兩個三角形相似關(guān)系實施與完成幾何計算

當(dāng)兩個三角形相似時，就會構(gòu)成相關(guān)線段的比例等式，而在比例等式當(dāng)中，若有一條線段是未知的，而其他線段是已知的或是未知線段的代數(shù)式，那么這樣的比例等式就成了未知線段的方程，借此方程求出未知線段，因此，用兩個三角形之間的相似關(guān)系，也可以實施與完成許多幾何計算.

例3：如圖3，在平行四邊形ABCD中，∠ABC的平分線BF分別與AC、AD交于點E、F.

點評：本題綜合考查了平行四邊形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、等角對等邊、相似三角形的性質(zhì)等.

例4：如圖4，在矩形ABCD中，AC、BD相交于O，OE⊥BC于點E，連結(jié)ED，交OC于點F，F(xiàn)G⊥BC作于點G.

（1）CG和CB有怎樣的數(shù)量關(guān)系？說明理由；

（2）若想在CB上確定一點H，使CB=4CH，請依據(jù)（1）得出的結(jié)果，說出畫圖的方法（不必說明理由）.

分析：顯然，圖中有一些相似三角形，比如：

△CFG∽△COE∽△CAB（Ⅰ組）；△EFG∽△EDC（Ⅱ組）；△OEF∽△CDF（Ⅲ組）；△EFC∽△FDA（Ⅳ組）等.

通過分析可知，應(yīng)用到第Ⅰ組，因為其中含有線段CG和CB（即△CFG與△CAB）.

而其中的CF又包含在第Ⅲ組的三角形中，這樣就有：

（2）應(yīng)這樣確定點H，連結(jié)DG，交CO于點M，作MH⊥CB于H，則應(yīng)用CB=4CH，如圖5.

點評：從本例可以看出，有不少情況，需從較多的三角形相似關(guān)系中選取最為直接的能夠?qū)崿F(xiàn)計算目的的兩對或幾對相似三角形，這既需要對圖形性質(zhì)有深刻的認(rèn)識，也需要善于對問題情意及要達到的目的進行深入分析.

點評：利用相似三角形解決問題，首先就要善于從圖形中找到相似三角形，這就需要對三角形相似的條件不僅熟悉，且能靈活運用.

從以上幾例可以看出：認(rèn)識到相似三角形的計算功能，善于選用相似三角形，進而適時又恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造出相似三角形，是充分發(fā)揮相似三角形在幾何計算中重要作用的思想基礎(chǔ)和知識基礎(chǔ).